微积分基本公式50625

1、微积分基本公式下面我们先从实际问题中寻找解决问题的线索.为此，我们对变速直线运动中遇到的位置函数s(t)及速度函数v(t)之间的联系作进一步的研究.一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系有一物体在一直线上运动.在这直线上取定原点、 正向及长度单位，使它成为一数轴.设时刻t时物体所在位置为 s(t),速度为v(t).(为了讨论方便起见，可以设v(t) 一 0 .)从第一节知道：物体在时间间隔T1, T2 1内经过的路程可以用速度函数v(t)在T1, T2 1T2上的定积分T1 v(t)dt来表达；另一方面，这段路程又可以通过位置函数S(t)在区间T1, T2 1上增量s(T2)-S(T|

2、)来表达由此可见，位置函数S(t)与速度函数v(t)之间有如下关系：tT2 v(t)dt =s(T2)-如)Ti.(1)因为s(t) =v(t)，即位置函数s(t)是速度函数v(t)的原函数，所以关系式 (1)表示， 速度函数v(t)在区间Ti, T21上的定积分等于v(t)的原函数s(t)在区间Ti, T21上的增量： MT2)- s(T1).上述从变速直线运动的路程这个特殊问题中得出的关系，在一定条件下具有普遍性.事实上，我们将在第三目中证明，如果函数f(x)在区间a, b上连续，那么，f(x)在区间a，b上的定积分就等于f(x)的原函数(设为F(x)在区间a, b上的增量： F(b)-F

3、(a).二、积分上限的函数及其导数设函数f(x)在区间a, b上连续，并且设x为a, b上的一点.现在我们来考察f(x) 在部分区间a, x上的定积分xa f(x)dx .首先，由于f(x)在区间a, x上仍旧连续，因此这个定积分存在这时，x既表示定积分的上限，又表示积分变量因为定积分与积分变量的记法无关，所以，为了明确起见，可以 把积分变量改用其他符号，例如用t表示，则上面的定积分可以写成xa f(t)dt如果上限x在区间a, b上任意变动，则对于每一个取定的x值，定积分有一个对应值，所以它在a，b上定义了一个函数，记作(X):X(x)= f(t)dt (azxb).-a这个函数；:j(x)

4、具有下面定理1所指出的重要性质.定理1如果函数f(x)在区间a, b上连续，则积分上限的函数xG(x)二 a f (t)dt在a，b上可导，并且它的导数是dx(x)f(t)dt = f(x) (a 込xb).a，则证若X (a，b)，设x获得增量 x，其绝对值足够地小，使得X X (a，b) (X)在x _x处的函数值为(x+x)=Mf(t)dta由此得函数的增量山- G(x ：x) G(x)f (t)dt- . f(t)dtaaXX X=a f (t)dt X f (t)dt - a f(t)dtX問Xx f(t)dt再应用积分中值定理，即有等式这里， 在x与x之间.把上式两端各除以x，得函

5、数增量与自变量增量的比值f().由于假设f(x)在a，b上连续，而x 0 时，X，因此 /Xm.Qf()二 f(x).于是令 x 0,对上式两端取极限时，左端的极限也应该存在且等于f(x) 这就是说, 数门(X)的导数存在，并且京(x)二 f (x)若X = a，取h Q ,则同理可证G(a)二f (a)；若X = b，取： 0，则同理可证(bf(b).证毕.这个定理指出了一个重要结论：连续函数f(x)取变上限x的定积分然后求导，其结果还原为函数f(x)本身联想到原函数的定义，就可以从定理1推知“(X)是连续函数f(x)的一个原函数因此，我们引出如下的原函数的存在定理.定理2如果函数f(x)在

6、区间a, b上连续，则函数xf(x)= a f(t)dt就是f(x)在a, b上的一个连续原函数.这个定理的重要意义是：一方面肯定了连续函数的原函数是存在的，另一方面初步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.因此，我们就有可能通过原函数来计算定积分.三、牛顿-莱布尼兹公式现在我们根据定理 2来证明一个重要定理，它给出了用原函数计算定积分的公式.定理3如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间a, b上的一个原函数，则ba f (x)dx 二 F(b) - F (a)证 已知函数F(x)是连续函数f (x)的一个原函数，又根据定理 2知道，积分上限函数x(X)= a f(t)dt也是f (x

7、)的一个原函数于是这两个原函数之差F(x) -(X)在a, b上必定是某个常数C，即F(x) -(X)二 C (a 沁汕).(5)在上式中令x = a，得F(a) - G(a) =C 又由门(x)的定义式 及上节积分的补充规x定可知(a) =0，因此，C =F(a) 以F(a)代入式中的C,以a f(t)dt代入式中的二J(x)，可得x(f(t)dt=F(x)-F(a)在上式中令x=b，就得到所要证明的公式 .由上节定积分的补充规定 可知，式对a b的情形同样成立.为了方便起见，以后把F(b)-F(a)记成F(x)a 公式(4)叫做牛顿(Newton)莱布尼兹(Leibniz)公式.这个公式进

8、一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系.它表明：一个连续函数在区间a, b上的定积分等于它的任一原函数在区间a, b上的增量这就给定积分提供了一个有效而简便的计算方法，大大简化了定积分的计算手续.通常也把公式(4)叫做微积分基本公式.下面我们举几个应用公式(4)来计算定积分的简单例子.例1计算第一节中的定积分0x2dx3x解 由于3是x2的一个原函数，所以按牛顿-莱布尼兹公式，有例2计算x2dx11 x2dx12.3丄1 X1 2 dx = brcta n x解由于arctanx是1 x的一个原函数，所以=arctan . 3 - arctan(-1)=3例3计算几.解当x C

9、0时，x的一个原函数是ln X ,所以空=In x = In 1 -1n 2 - -1n 2 x通过例3，我们应该特别注意： 公式中的函数F(x)必须是f(x)在该积分区间a,b 上的原函数.例4计算正弦曲线y =si nx在0匚上与x轴所围成的平面图形的面积.解 这图形是曲边梯形的一个特例，它的面积A 二 o sin xdx 一 L cosx 0 = ( T) -(T)七 2例5汽车以每小时36km速度行驶，到某处需要减速停车设汽车以等加速度a = -5m/s2刹车.问从开始刹车到停车，汽车驶过了多少距离？解首先要算出从开始刹车到停车经过的时间.设开始刹车时刻为t=0，此时汽车速度v0 二

10、36km/h 二 10 m/s当汽车停住时，速度v(t)二0 ,故从v(t)二10 -5t =0解得t二2 (s).于是在这段时间内，汽车所驶过的距离为s W(105t)dtg5y2=10 (m)0即在刹车后，汽车需驶过 10m才能停住.例6设函数f(x)在闭区间a，b上连续，证明在开区间(a , b)内至少存在一点，使ba f (x)dx= f G)(b a) (a 芒 cb).证因f (x)连续，故它的原函数存在，设为 F(x)，即设在a , b上F (xH f (x) 根据牛顿-莱布尼兹公式，有bf (x)dx =F(b) -F(a)a显然函数F(x)在区间a,b上满足微分中值定理的条件

11、，因此按微分中值定理，在开 区间(a , b)内至少存在一点，使F(b)-F(a) = F ( )(b-a)(a,b),ba f (x)dx 二 f( )(b -a)(a,b)本例的结论是上一节所述积分中值定理的改进.从本例的证明中不难看出积分中值定理与微分中值定理的联系.F面再举几个应用公式(2)的例子.例7设f(x)在0, *)内连续且f(x) 0 证明函数xF(x)二0tf (t)dtx0 f (t)dt在(, 二)内为单调增加函数.exod-由证二 xf(x)f (t)dt = f (x)F (x)二xf(x)0 f(t)dt-f(x)0tf(t)dt0xf(t)dtxf(x) 0(x-t)f(t)dt:f(t)dt按假设，当 O：t：x 时 f(t) 0 , (x-t)f(t)0，可知x0 f(t)dt 00(x-t)f(t)dt 0所以F(x)弋仪0)，从而F(x)在(Oj：)内为单调增加函数.e2dtcosxlim 2例8求xr0x分子可写成解易知这是一个0型的未定式，我们