复合梯形公式(20201123232653)

1、精品文档 复合梯形公式实验报告 实验名称：复合梯形公式成绩： 专业班级：数学与应用数学1202班 姓名：张晓彤 学号：2012254010227 实验日期：2014年11月23日 实验报告日期：2014年11月3日 一、实验目的 (1) 掌握数值积分函数的调用格式 (2) 掌握复合梯形公式的思想和构造过程 (3) 能够应用matlab软件编写复合梯形公式的程序并能熟悉应用，以此来解决 相关例题 (4) 利用复合梯形公式求数值积分的近似值，以解决其它科学实验的计算问题 二、实验内容 2.1验证积分函数的调用格式并求函数积分值 1 2 例1:用两种不同的方法求：I 0e x dx . 1 2 v2

2、 :co 例2:计算二重积分I 1 e sin( x2y)dxdy 2.2编写复合梯形公式程序并验证 1 2 例：用符合梯形求积公式求积分I0ex sinxdx的近似值.要求将区间3等分, 4的等分，6等分，9等分，分别得到积分值，并与真值进行比较能得到什么结 论？ 三、实验环境 该实验应用matlab2014来进行实验的验证和设计. 四、实验步骤和实验结果 4.1验证积分函数的调用格式并求函数积分值 1 x 2 例3:（数值积分）用两种不同的方法求：I 0e x dx . 法一：建立被积函数文件法： 先建立一个函数文件ex.m: fun cti onex=ex(x) ex=exp(-x.A2

3、); end 然后在MATLAB令窗口，输入命令： format long I=quad( ex ,0,1) I = 0.746824180726425 I=quadl( ex ,0,1) I = 0.746824133988447 法二：不建立关于被积函数的函数文件时： g=i nline(exp(-x.A2); I=quadl(g,0,1) I = 0.746824133988447 y )dxdy 1 2 2 例4：(数值积分)计算二重积分I 1 e x 2 sin( X2 (1)建立一个 m文件fxy.m fun cti onf=fxy(x,y) global ki; ki=ki+1;

4、 f=exp(-x42/2).*si n(x42+y); (2) 调用 dblquad 函数求解 global ki;ki=0; I=dblquad( fxy ,-2,2,-1,1) Ki I = 1.574493189744944 ki = 1050 使用 inline 函数不建立被积函数的函数文件，程序如下： f=inline(exp(-x.A2/2).*sin(x.A2+y), x , y); I=dblquad(f,-2,2,-1,1) I = 1.574493189744944 4.2 编写复合梯形公式程序并验证 12 例：用符合梯形求积公式求积分Iex sinxdx的近似值.要求将

5、区间3等分， 0 4的等分， 6等分， 9等分，分别得到积分值，并与真值进行比较 .能得到什么结 论？ 建立复合梯形公式的 fhTX.m 文件： function H = fhTX(a,b,n) %ab分别是积分函数的上下限% %门为区间等分份数% %I返回的是得到的积分近似值 % h=(b-a)/n;%h为步长 % I=0; x=a:h:b;% 等分点出的节点 Xi% f=exp(x.A2).*sin(x);%被积函数表达式 % for k=1:n;%节点xi开始循环% J=f(k)+f(k+1);% 复合梯形公式的递推公式 % I=I+J;%递推公式求和 % end H=I*h/2; En

6、d (1) 将区间 3 等分得到结果 H=fhTX(0,1,3)%函数调用 % H = 0.8246%得到近似解 % I仁quad(exp(x.A2).*sin(x),0,1)%quad计算真值 % I1 = 0.7787 R=abs(I1-H)%近似解和真值之间的误差 % ans = 0.0458 所以，将区间 3 等分后得到的结果为 0.8246，和真值之间存在的误差为 0.0458. 2) 将区间 4 等分得到的结果 H=fhTX(0,1,4)%函数调用% H = 0.8047 %得到近似解 % abs(I1-H) ans = 0.0260%近似解和真值之间的误差 % 通过结果可以看出，

7、 将区间 4 等分后的结果和真值之间的误差缩小为0.0260， 较三等分得到的结果略微良好 . 3) 将区间 6 等分得到的结果 H=fhTX(0,1,6)%函数调用% H = 0.7904 %得到近似解 % abs(I1-H) ans = 0.0116%近似解和真值之间的误差 % 当区间等分数为 6 时，误差减小到 0.0116，比区间等分数为 4 的时候更精 确 4) 将区间 9 等分得到的结果 H=fhTX(0,1,9)%函数调用% H = 0.7839%得到近似解% abs(ll-H) ans = 0.0052%近似解和真值之间的误差% 这时的误差缩小为0.0052,更加靠近真值了 .

8、 通过四种不同的等分区间来对积分值进行近似估计，我们可以发现，区间等 分份数越多，得到的结果越靠近真值，得到的结果越精确 我们用相同的方法得到更多数据的结果入下： n 10 20 30 40 50 I 0.7829408 0.7797954 0.7792120 0.7790078 0.778913 n 100 500 800 1000 10000 I 0.778787 0.7787468 0.7787458 0.7787458 0.7787458 从表格中我们很清楚的可以看到在某个较大的范围内，当n越大时，得到的 结果和真值越接近，当达到一定程度时，近似值将不会再变化. 五、实验讨论、结论 通过四种不同的等分区间来对积分值进行近似估计，我们可以发现，区间等 分份数越多，得到的结果越靠近真值，得到的结果越精确，但符合梯形公式在对 积分值进行估计的过程中存在的问题是： 在某个较大的范围内，无论区间等分多 少份，或者说无论步长取得多么小，总会存在一个更小的步长 h,使得结果过更 加精确，但当超过这个规定的范围，当区间等分份数过大时，得到的近似值将不 会再变价.所以说，采用梯形公式得到的结果，随着区间等分份数的增多，会越 来越接近真值，但永远不能得到最精确的结果. 所以，在对某些函数进行积分计算的时候，一些简单的函数我们可以直接进 行积分到精确的结果，但是对于一些较复杂，找不到原函数的