向量知识点归纳与常见总结

1、精品文档 向量知识点归纳与常见题型总结 、向量知识点归纳 1与向量概念有关的问题 向量不同于数量，数量是只有大小的量（称标量），而向量既有大小又有方向；数量 可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才能比较大小记号“ a b”错了， 而| a | | b |才有意义. 有些向量与起点有关， 有些向量与起点无关.由于一切向量有其共性 （大小和方向）， 故我们只研究与起点无关的向量（既自由向量）.当遇到与起点有关向量时，可平移向量. 平行向量（既共线向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量 单位向量是模为 1的向量，其坐标表示为（x, y）,其中x、y满足x y = 1 (可用(cos ,s

2、in UJU 例如：向量 禺 |AB| AB )(0 W W 2 n)表示).特别： 一 _|AB| 表示与AB同向的单位向量。 ujur -JUL)(0)所在直线过 ABC的内心(是 | AC| BAC的角平分线所在 直线）; 例1、0是平面上一个定点，A B C不共线, uuu uuu P满足OP OA uuu / AB (uuu |AB| uur AC、 uuuu) | AC 0, ) 则点P的轨迹一定通过三角形的内心。 （变式）已知非零向量AB与Ac满足（AB- |AB| + AC) BC=0 且 AB |AC| AC |AB| |AC| D.等边三角形（06陕西） A.三边均不相等的

3、三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形 0的长度为0,是有方向的，并且方向是任意的，实数0仅仅是一个无方向的实数. 有向线段是向量的一种表示方法，并不是说向量就是有向线段 （7）相反向量（长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是一a o ） 2 与向量运算有关的问题 向量与向量相加，其和仍是一个向量.（三角形法则和平行四边形法则） 当两个向量a和b不共线时，a b的方向与a、b都不相同，且|a b | v|a| + | b | ； 当两个向量a和b共线且同向时，a b、a、b的方向都相同，且| a b | |a | |b| ； 当向量a和b反向时，若|a| | b | , a b与

4、a方向相同，且| a b |=| a |-| b| ； I-F-f-I-I- 若 | a| v |b| 时，ab 与 b 方向相同，且| a + b|=| b |-|a |. 向量与向量相减，其差仍是一个向量.向量减法的实质是加法的逆运算 三角形法则适用于首尾相接的向量求和；平行四边形法则适用于共起点的向量求和。 AB BC AC ; AB AC CB 例2: P是三角形ABC内任一点，若CB PA PB, R，则P 一定在（） A、 ABC内部B、AC边所在的直线上C、AB边上 D、BC边上 2 例 3、若 AB - BC AB 0，则 ABC是: A.Rt B.锐角 C.钝角 D.等腰 R

5、t 例4、已知向量a （cos ,sin ）,b（、3, 1），求|2a b|的最大值。 分析：通过向量的坐标运算，转化为函数（这里是三角）的最值问题，是通法。 解：原式=| （2 cos, 3,2sin 1） | （2cos . 3）2 （2sin1）2 t =.8 8si n（）。当且仅当2k （k Z）时，| 2a b|有最大值4. V36 评析：其实此类问题运用一个重要的向量不等式“|a| |b| |a b| |a| |b|”就显得 简洁明快。原式|2a| |b|=2|a| | b| 2 1 2 4，但要注意等号成立的条件（向 量同向）。 围成一周（首尾相接）的向量（有向线段表示）的和

6、为零向量 如，AB BC CA 0,（在 ABC中） AB BC CD DA 0.（ ABCD中） 判定两向量共线的注意事项：共线向量定理 对空间任意两个向量 a、b（b丰0 ） ,a / b 存在实数入使a= b. 如果两个非零向量 a , b，使a =入b （入 R）,那么a / b ； 反之，如a / b，且b丰0,那么a =入b . 这里在“反之”中，没有指出a是非零向量，其原因为a=0时，与入b的方向规定为平行. 数量积的8个重要性质 两向量的夹角为 0W 0,且a、b不同向，a b 0是为锐角的必要 非充分条件；当 分条件； 为钝角时, a ? b v 0, 且a、b不反向，a b

7、 0是 为钝角的必要非充 例5.如已知a (,2 ), b (3 ,2), 如果a与b的夹角为锐角，则 的取值范围是 （答： -或 1 0且 + 3 3 T h*-fc-F 例6、已知i , j为相互垂直的单位向量， a i 2j , b i j。且a与b的夹角为锐角, 求实数的取值范围。 分析：由数量积的定义易得“a,b 解：由a与b的夹角为锐角，得a b 0 ”但要注意问题的等价性。 1 0.有 而当a tb(t0),即两向量同向共线时, 2.此时其夹角不为锐角。 2,2 - 评析：特别提醒的是： 不等价。极易疏忽特例 a,b 是锐角与a “共线”。 2 2 - . - .2 特殊情况有

8、a a a =| a |。或|a|=.aa = a 0不等价; 同样 a,b是钝角与a b 0 x2 如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1, y1),( x2 , y2 ),则 2 2 心|=.(%X2)(y1y2) | a b | |a| |T|。(因 cos 1) 数量积不适合乘法结合律. 如(a b) c a (b c).(因为(a b) c与c共线，而a (b c)与a共线) 数量积的消去律不成立. 若a、b、c是非零向量且a c b c并不能得到a b这是因为向量不能作除数, 1 即1是无意义的. c 向量b在a方向上的投影丨b I cos = a b 3和e2是平

9、面一组基底，则该平面任一向量 a 132 e2 ( 1,2唯一一) uuu uuu 特别：.OP = 1OA2OB则12 1是三点P、A、B共线的充要条件. 注意：起点相同，系数和是1。基底一定不共线 1 uuu uur uuu 例7、已知等差数列 an的前n项和为Sn ,若BO= a1 OA+ a200 OC，且A、B、C 2 三点共线(该直线不过点O),则S200=() A. 50 B. 51C.100D.101 例 例11、设平面向量a!、a2、a3的和6 a2 且ai顺时针旋转30后与bi同向，其中i 1,2,3，则(D)( 06河南高考) 2ai uur uUUAB|uurAUUu|

10、 cuu 丽 r C. MP sin 2 20 MA cos2 70 MB D. MP 分析：本题应知：“ A, B, P共线，等价于存在， csc2 31 MA cot2 31 MB R,使 MP MA MB 且 1 ”。 uuur (8)在 ABC中,PG SPA .uur uur 1(PA PB 3 ABC的重心; uuur PC) G为 ABC的重心，特别地 1 AB - BC AD则AD过三角形的重心; 2 az 0。如果向量D、b2、b3，满足b | AB | PC |BC|PA |CA|PB 0 P ABC 的内心；(选) SAOB= Xba ； 例12、若O是VABC所在平面内

11、一点, uuu uur 且满足OB OC uuu uuur uuu OB OC 2OA ,则 VABC OP = OP1P2 1 x P2(X2,y 2)则 y X1 X2 1;中占 JI 八、 % y 1 X1X2 说明：特别注意各点的顺序， 子分母的位置。 2 重心 * y2 2 分子是起点至分点， X1 X2 X3 x3, y1 y y3 y3- 分母是分点至终点，不能改变顺序和分 的形状为 (答：直角三角形); 例13、若D为 ABC的边BC的中点， ABC所在平面内有一点P ,满足 uuu uuu uuu uuu r | API PA BP CP 0，设kuur，贝U 的值为(答：2

12、)； |PD| uuu uuu uuu ro 例14、若点O是厶ABC的外心，且OA OB CO 0,则内角C为 (答：120); (9)、P分丽的比为 ，则PP = PF2, 0内分； v 0且 丰-1外分. 1 B ；若入=1 则OP = 2(OR + OP2);设 P(x,y),P 1(x1,y1), 例15、已知A (4, -3 ), B (-2 , 6)，点P在直线AB上，且| AB | 3| AP |，则P点的坐 标是()(2, 0), (6, -6 ) uuirx x h (10)、点 P(x,y)按 a (h,k)平移得 P(x,y),则 PP = a 或函数 y f (x)按

13、 y y k a (h,k)平移得函数方程为：y k f (x h) 说明：(1)向量按向量平移，前后不变； (2)曲线按向量平移，分两步：i确定平移方向-与坐标轴的方向一致； ii按左加右减，上加下减(上减下加) 例16、把函数 y 2x的图象 按向量a (2, 2)平移后得到的解析式是 。 y 2x2 8x 6 例17、函数y sin 2x的图象按向量a平移后，所得函数的解析式是 y cos2x 1，则a = (答: ( ,1) 4 结论：已知A(X1，yJ, B(X2, y2),l ： Ax By C 0,过A, B的直线与I交于点P,则P分 Ax1 By1 C AB所成的比是11,若用此结论，以下两题将变得很简单 Ax2 By2 C 例18、已知有向线段PQ的起点P和终点Q的坐标分别是(1,1),(2,2)，若