培优指数函数与对数函数

1、指数函数和对数函数 一、1.根式 (1) 根式的概念 若xn= a，则x叫做a的n次方根，其中n1且n N*.式子 彌叫做根式，这里n叫做根指 数，a叫做被开方数. a的n次方根的表示: xn= a? x= n，a (当n为奇数且n N*时)， x=體(当n为偶数且n N*时) 根式的性质 (na)n= a(n N*). n an |aj= a, a0, a, a0, m, n N*，且 n1); 负分数指数幕： m11*口八 a m (a0, m, n N ，且 n1); nn n a nam 0的正分数指数幕等于 0, 0的负分数指数幕无意义. (2) 有理数指数幕的运算性质： aras=

2、 ar+s(a0 , r, s Q)；(ar)s= a2(a0, r, s Q)； (ab)r = arbr(a0, b0, r Q). 3.指数函数的图象与性质 y ax a1 0a0 时，y1 ;当 x0 时，0y1 当 x0 性质 时，0y0,1)，那么数x叫做以a为底N 的对数，记作x logaN .其中a叫做对数的底数，N 叫做真数 性 质 底数的限制：a0，且1 对数式与指数式的互化：ax N? logaN x 负数和零没有对数,1的对数是零二log a1 0 底数的对数是1: logaa 1,对数恒等式：alogaN _N 运 算 性 质 loga(M N)= logaM + l

3、ogaN a0，且 a* 1， M0，N0 M . logaN= log aM log aN logaMn= nlogaM(n R) 换 底 公 式 公式：logab=器：；但0，且 a* 1; c0，且 cm 1; b0） 推广：logambn logab； logab =. m 0alogba 2对数函数的图象与性质 a1 0a1 时，y0 当 x1 时，y0 当 0 x1 时，y0 当 0 x0 在（0，+ ）上是增函数 在（0，+ ）上是减函数 、选择题 2 x2 5x b 1 2，g(x) 1 x2 2 x 6 1.设函数f （x） ，若 f(x) g(x) 对于任意实数 x 恒成

4、立，则实数 b的取值范围是（） a. b 12 B. b 12 C. b 15 D .b 15 2屈数y f x 是R上的奇函数，满足 f 3 x f 3 x ，当x (0， 3)时 f x 2x ，则 当x ( 6， 3)时，f x =( ) A.2x 先将函数f （ x ） = In 丄 的图像作关于原点的对称变换，然后向右平移 1个单位，再作关于y = x 1 x 的对称变换，则此时的图像所对应的函数的解析式是 。 已知函数y = log 1 ax 2 + 2 x + （ a -1 ）的值域是0， + g ），则参数a的值是。 B.2x 6C. 2* 6 D. 2x 6 3.设1 a b

5、 0， 5.已知函数f x f ( X ) = x a lg a2 1 x a -a， 2 x 则f (盘)+ f (蓝4)+ f (爲)= a 1x 1的定义域为 ，则实数a的取值范围是 三、解答题 ?X b 8已知定义域为 R的函数f(X) f是奇函数 2X1 2 (1) 求 f (x)； (2) 判断函数f(x)的单调性(不必证明) (3) 若对任意的t R，不等式f(t2 2t) f(2t2 k) 0恒成立，求k的取值范围 1 x2 9已知函数 f (x)( ) , x 1,1，函数 g(x) f (x) 2af (x)3 的最小值为 h(a). 3 (1) 求h(a)的解析式； (2

6、) 是否存在实数 m, n同时满足下列两个条件：m n 3;当h(a)的定义域为n,m 时，值域为 n2,m2 ?若存在，求出 m,n的值；若不存在，请说明理由 2 10.函数f(x) log2ax (a 2)x2(a2)在区间a 2,2(a 2)上恒有定义，求实数 a的取 值范围. 11. (本题满分12分)已知函数f(x) lg(x - 2)，其中a是大于0的常数 x (1) 设g x x -,判断并证明g x在a,内的单调性； x (2) 当a (1,4)时，求函数f(x)在2)内的最小值； (3) 若对任意x 2,)恒有f(x) 0,试确定a的取值范围。 -2 ax 12. (12分)

7、已知函数f x x3 log!为奇函数，a为常数. 3 x 2 (1) 求a的值； (2) 当x (3,4时，f x是否存在最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由； 1 1 (3) 设函数g(x) x3 ( )x m，当m为何值时，不等式f(x) g(x)在x (3,4有实数解? 2 13. (12 分)函数 y=f (x)满足 lg (lgy ) =lg3x+lg (3 - x), (1) 求 f (x)； (2) 求f (x)的值域； (3) 求f (x)的递减区间. 2 14.已知二次函数g(x) ax 2ax b 1(a 0)在区间2 , 3上有最大值4，最小值1. (I)

8、求函数g(x)的解析式； (n)设心 g(x) x .若 f(2x)k / 1时恒成立，求k的取值范围 1. D 2. B 试卷答案 3.A 2003 2 5. a 5 或 a 1 3 6. y = ex 7.1 2 8.解(1)因为f (x)是R上的奇函数，所以 1 b f(0)0,即 2 a 2x 从而有f(x) 2v 0,解得b 1 (2) 1 2 2x 1 由(1)知 f(x) k 2 2 .3分 1 x 2 1 2x的单调性可推知 f (x)在R上为减函数 2 .3分 2x 解法一：由(1 )知f(x) 尹 由上式易知f (x)在R上为减函数， 函数，从而不等式 2 2 (3) 1_

9、 2x 1, 又因f (x)是奇 f(t2 因f(x)是R上的减函数，由上式推得t 即对一切t 2t) f (2t k) 0 等价于 f(t 2 2t) 2t 2 f(2t k) 2t2 k. 2 f ( 2t k). 9.解析： .1分 记 g(x) 当 当 当 a 1 3 综述， 4 12k (1)由 R 有 3t22t 0,解得k k 0,从而 3 f (x) (-)x,x1,1 ,知 f(x) 3 y t2 1 一时，g(x)的最小值h(a) 39 3时，g(x)的最小值h(a) 12 2at 3，则g(x)的对称轴为t 28 2a a 3时，g(x)的最小值h(a) 3 6a 3 a

10、2 3,3，令t a，故有: f(x) 28 2a h(a) 3 12 6a (2)当 a 3时, 所以h(a)在n,m h(a) 上的值域为 6a 12 .故m n 3时，h(a)在n,m上为减函数. h(m),h (n) 由题，则有 2 n 2 m 所以m n h(m) h(n) 6，这与m 2 g(x) ax 6m 12 12 2 n，r r _ r 22 2，两式相减得6n 6m n m，又m n m 6n 3矛盾.故不存在满足题中条件的m, n的值. 2 log 2ax (a 2)x 2(a2) 2,2( a 2)上恒成立. 2)x 2(a 2)，则 f(x) 当a 0时， g(x)

11、 2x 4 0 于2, 当a 0时， g(x)的对称轴 a 2 2 2a g(a 2) (a 2)( a 3a 4)0 , 由a 2 0, 2 a 3a 4 0,所以 当a 0时， g(x) 0于a 2,2( a 10.解析：设 (a 0，g(x)在a 2)上恒成立，则 a (0,). 在区间a 2,2( a 2)上恒有定义即g(x) 0在a 4上恒成立. 2,2( a 2)上单调增加，所以, g(a 2) (a 2)(a2 3a 2 0 ,即 卩 a g2(a 4) 0， 2 a 3a 4 g(a 2) 0 g2(a 2)0， 0，得 解得a 2) (a 3亠 或a 2 2; 2 2)(2

12、a 5a 3) 综上, 解析：(I) I|limiMK a 1，所以, 2 0 ,得 2a 3或1 2 5a 30， 3 a( 2, & ( 1,). （iy证明：由（i）知：丨凶I,令 I車: J FTP -i t m Zl x III ）对于3, 4上的每一个x的值，不等式 即: 恒成立 恒成立, io分 BU.BBMK I HI 丁 W a 由（II）知：在R上单调递增, 12分 12. （1） 增函数，用定义证明 a （2）设 u（x） x 2，当 a （1,4）， x 2,）时 x a 由（1）知u（x） x 2在2,）上是增函数 x f（x） lg（x a 2）在2,）上是增函数

13、f(x) lg(x X 2)在2,)上的最小值为 f(2) lg2 (3) 对任意x 2,)恒有f(x) a 3x x2，而 h(x) 3x x2 二 h(x)max h(2)2 , a 2 CD d = -I 13. 0 ,即x a 21对x 2,)恒成立 x (x 3)2 9在x 2,)上是减函数 24 13考点：对数的运算性质；指数函数综合题；对数函数的图像与性质. 专题：函数的性质及应用. 分析： (1)由 lg (lgy ) =lg3x+lg ( 3-x)，可得 Ig (Igy ) =lg3x (3 - x) , 0v xv 3. Igy=3x (3- x)，即可得出. 冷，3)上单

14、调递 (2) 令u=3x (3 - x) =一3 (負一乞)，在(0,勒上单调递增，在 242 减；而10u是增函数，即可得出f (0) f(7)f (丄)， 2 (3) 由(2)可知：函数f (x)的递减区间为丰，3). 解答：(1)v lg ( Igy ) =Ig3x+Ig ( 3 -x)， lg (lgy ) =ig3x (3-x) ，ovxv3. - igy=3 x (3 - x)， 二 f ( x) =y=103x (3-x)，x ( 0， 3). 冷，3)上单调递 (2) 令 u=3x (3 - x) =3疋g)，在0* +)上单调递增，在 242 减；而10u是增函数. 一丁 “一 ， 27 f ( x)的值域为(1，. 1 厲 (3) 由(2)可知：函数f (x)的递减区间为寺 3). 点评：本题考查了对数的运算法则、二次函数与指数函数的单调性、复合函数的单调性，考查了 推理能力与计算能力，属于中档题. 2 14.解: ( I )T g(x) a(x 1) a 1 函数g（x）的图象的对称轴方程为 2 a 0 g(x) a(x 1) b在区间2， 3上递增。