01-第一节-二维随机变量及其分布

1、 第三章多维随机变量及其分布 在实际应用中，有些随机现象需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述.例如，研 究某地区学龄前儿童的发育情况时,就要同时抽查儿童的身高H、体重W ,这里,H和W 是定义在同一个样本空间 S e 某地区的全部学龄前儿童 上的两个随机变量.又如，考 察某次射击中弹着点的位置时，就要同时考察弹着点的横坐标X和纵坐标Y.在这种情况 下，我们不但要研究多个随机变量各自的统计规律，而且还要研究它们之间的统计相依关系， 因而还需考察它们的联合取值的统计规律，即多为随机变量的分布.由于从二维推广到多维 一般无实质性的困难，故我们重点讨论二维随机变量 . 第一节多维随机变量的分布 内

2、容分布图示 二维随机变量 二维随机变量的分布函数例1 二维离散型随机变量及其概率分布 例2例3例4 例5例6 二维连续型随机变量及其概率密度 例7 二维均匀分布 二维正态分布 内容小结 习题3-1 例8例9 例10 例11 课堂练习 内容要点： 一、二维随机变量 S e , e S为样本点，而 定义1设随机试验的样本空间为 X X(e),Y Y(e) 是定义在S上的两个随机变量，称(X,Y)为定义在S上的二维随机变量 或二维随机向量 二、二维随机变量的分布函数 定义2设(X,Y)是二维随机变量，对任意实数x,y ,二元函数 记为 F(x,y) P(X x) P(Y y) P X x,Y y 称

3、为二维随机变量(X ,Y)的分布函数或称为随机变量 X和Y的联合分布函数 联合分布函数的性质： (1) 0 F(x,y) 1,且 对任意固定的y, F( , y) 0, 对任意固定的x,F(x,) 0, F( ,) 0,F(,) 1; (2) F(x,y)关于x和y均为单调非减函数，即 对任意固定的 y, 当 x2 x1,F(x2,y) F(x1,y), 对任意固定的 x, 当 y2 y1,F(x,y2) F(x,y1); (3) F(x,y)关于 x和 y 均为右连续，即 F (x, y) F(x 0, y),F(x,y) F(x, y 0). 三、二维离散型随机变量及其概率分布 定义3若二

4、维随机变量(X,Y)只取有限个或可数个值,则称(X,Y)为二维离散型随机 变量 . 结论：(X,Y)为二维离散型随机变量当且仅当X,Y均为离散型随机变量 若二维离散型随机变量(X,Y)所有可能的取值为(x,yj) i, j 1,2,则称 PX xi,Y yj pij (i, j 1,2, ) 为二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布(分布律),或X与Y的联合概率分布(分布律). 与一维情形类似 ,有时也将联合概率分布用表格形式来表示 , 并称为 联合概率分布表 : 注：对离散型随机变量而言 , 联合概率分布不仅比联合分布函数更加直观 , 而且能够更 加方便地确定(X,Y)取值于任何区域 D上的

5、概率，即 P( X,Y) Dpij , ( xi ,y j ) D 特别地 , 由联合概率分布可以确定联合分布函数 : F(x,y) P X x,Y ypij. xi x,y j y 四、二维连续型随机变量及其概率密度 定义 设(X,Y)为二维随机变量，F (x, y)为其分布函数，若存在一个非负可积的二元函 数 f(x, y) , 使对任意实数 (x, y) , 有 xy F(x,y) f (s,t)dsdt, 则称(X,Y)为二维连续型随机变量，并称f(x, y)为(X,Y)的概率密度(密度函数),或X,Y 的联合概率密度 (联合密度函数 ). 概率密度函数f (x, y)的性质： (1)

6、f(x,y)0;(2) f (x, y)dxdy F( ,)1; (3)设D是xOy平面上的区域，点(X,Y)落入D内的概率为 P( x,y) D f(x, y)dxdy 特别地 , 边缘分布函数 xx FX(x) PX x PX x,Y f(s,t)dsdt 上式表明：X是连续型随机变量，且其密度函数为： fx (x)f (x,y)dy, 同理，Y是连续型随机变量，且其密度函数为： fy(y)f (x, y)dx, 分别称fX(x)和fY(y)为(X,Y)关于X和Y的边缘密度函数 若 f (x,y)在点(x, y)连续，则有 一F(x,y) f (x, y). x y 进一步，根据偏导数的定

7、义，可推得：当x, y很小时，有 Px X x x,y Y y y f (x, y) x y, 即，(X,Y)落在区间(x,x x (y,yy上的概率近似等于 f (x,y) x y. 五、二维均匀分布 设G是平面上的有界区域 其面积为A.若二维随机变量 (X,Y)具有概率密度函数 f(x,y) 丄，(x,y) G A 0,其它 则称(X ,Y)在G上服从均匀分布. 六、二维正态分布 若二维随机变量(X,Y)具有概率密度 f(x, y) 2(1 2) e 2 I 1,则称(X,Y)服从参数为 其中2，1，2，均为常数，且 !0, 20,1 的二维正态分布 注：二维正态随机变量的两个边缘分布都是

8、一维正态分布，且都不依赖于参数，亦 即对给定的1，2，1，2，不同的 对应不同的二维正态分布，但它们的边缘分布都是相同 的，因此仅由关于 X和关于Y的边缘分布，一般来说是不能确定二维随机变量(X,Y)的联合 分布的. 例题选讲： 二维随机变量的分布函数 例1设二维随机变量(x, y)的分布函数为 xy F (x, y) A BarctanCarctan,x ,y 23 试确定常数 A,B,C. (2)求事件2 X ,0 Y 3的概率. 解 (1)由二维随机变量的分布函数的性质，可得 F(, )A(B /2)(C /2) 1, F(, )A(B /2)(C /2) 0, F(, )A(B /2)

9、(C /2) 0, 由这三个等式中的第一个 等式知 A 0, B /20, C /2 0, 故由第二、三个等式知 B/2 0, C /2 0, 于是得B C/2, A 1/ 2 故(X,Y)的分布函数为 F(x,y) 1 2 arcta n? y arctan 2 2 2 3 由式得 P2 X ,0 Y 3 F( ,3) F( ,0)F(2,3)F(2,0)1/16. 二维离散型随机变量及其概率分布 例2 (讲义例1)设随机变量X在1,2, 3, 4四个整数中等可能地取一个值，另一个随机 变量Y在1X中等可能地取一整数值，试求(X,Y)的分布律. 解由乘法公式容易求得(X,Y)的分布律.易知X

10、 i,Y j的取值情况是：i 1,2,3,4, 取不大于i的正整数，且 1 1 PX i,Y j PY j|X iPX i - -, i 1,2,3,4, j i i 4 于是(X,Y)的分布律为 ,设X为三次抛掷中正面出现的次数，而Y为 求(X,Y)的概率分布及(X,Y)关于X,Y的边 PX 0,Y 3 (1/2)3 1/8, PX 1,Y 1 3(1/2)3 3/8, PX 2,Y 1 3/8, PX 3,Y 3 1/8, 故(X,Y)的概率分布如右表. 从概率分布表不难求得 (X,Y)天于 例3 (讲义例2)把一枚均匀硬币抛掷三次 正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值 缘分布. 解 (

11、X,Y)可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3) Y X 1 3 7 0 1/8 3/8 0 2 3/8 0 3 0 1/8 X 1 2 3 4 一、 1 1/4 1/8 1/12 1/16 2 0 1/8 1/12 1/16 3 0 0 1/12 1/16 4 0 0 0 1/16 X,Y的边缘分布. PX 01/8, PX 13/8, PX 23/8, PX 31/8, PY 1 3/8 3/8 6/8, PY 3 1/8 1/8 2/8, 从而得右表 X Y 1 3 PX Xi 0 0 1/8 1/8 1 3/8 0 3/8 2 3/8 0 3/8 3 0 1/8 1/8 P

12、Y yi 6/8 2/8 1 例4设二维随机变量的联合概率分布为 2 0 1 1 0.3 0.1 0.1 1 0.05 0.2 0 2 0.2 0 0.05 求 PX 1,Y0及 F(0,0). 解PX 1,Y0 PX1,Y 0 PX 1,Y 1 PX 1,Y 0 PX 1,Y 1 0.1 0.1 0.2 0 0.4. F (0,0) PX1,Y 2 PX 1,Y 00.3 0.1 0.4. 二维连续型随机变量及其概率密度 例5设(X,Y)的概率分布由下表给出，求 PX0,Y 0, P X 0,Y 0 PXY0, P X Y, P| X | | y |. 表 3 1B X X 1 0 2 0

13、0.1 0.2 0 1 0.2 0.05 0.1 2 0.15 0 0.1 解 PX 0,Y0 PX1,Y0 PX 2,Y00.0500.05, PX 0,Y0PX 0,Y1 PX 0,Y 00.10.20.3, P|X|Y| PX 0,Y 0 PX 1,Y1 PX 1,Y10.2 0.3 0.1 0.6. 例6 一整数N等可能地在1,2,3, ,10十值中取一个值.设D D(N)是能整除N的 正整数的个数，F F(N)是能整除N的素数的个数(注意 1不是素数).试写出D和F 的联合分布律.并求分布律. 解将试验的样本空间及 D,F取值的情况列表如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

14、 D 1 2 2 3 2 4 2 4 3 4 F 0 1 1 1 1 2 1 1 1 2 D所有可能取值为1,2,3,4; 容易得到(D,F)取(i,j), i F所有可能取值为0,1,2. D 1 2 3 4 Pk 1/10 4/10 2/10 3/10 F 0 1 2 Pk 1/10 7/10 2/10 1,2,3,4, j 0,1,2的概率，可得D和F的联合分布律及边缘 分布律如下表 D 1 2 3 4 PF j 0 1/10 0 0 0 1/10 1 0 4/10 2/10 1/10 7/10 2 0 0 0 2/10 2/10 PD i 1/10 4/10 2/10 3/10 1 即

15、有边缘分布律 例7 (讲义例3)设二维随机变量(X,Y)具有概率密度 f(x,y) c (2x y)八 2e , x 0,y 0,其它. 0, (1)求分布函数F(x,y); 求概率PY X. 解F(x,y) f (x, y)dxdy x2e (2X 0 0, y)dxdy, x0, y 0 其它 即有 F (x, y) (1 2x)(1 0, e y), x 0, y 其它 ), (2)将(X,Y)看作是平面上随机点的坐标 平面上直线y x及其下方的部分，如图于是 ,即有Y X (X,Y) G,其中G为xOy PY X P( x, y) G f (x, y)dxdy G 2e y (2x y

16、)dxdy dy 2e (2x y)dx y y e 2x y dy e 3ydy 例8 (讲义例4) 设(X,Y)的概率密度是 f(“雹, 0 x 1,0 y x 其它 求(1) c的值；(2)两个边缘密度 f(x, y)dxdy 1 确定 c. x Qcy(2 x)dy dx c 1x2(2 x) / 2 dx 0 5c/24 i 1 x24 “ 0y(2 0 5 c 24/5. fx(x) x)dy S(2 5 x), 0 x 1 fY(y) 刍(2 y 5 x)dx 24 y 5 2y fx(x) Mx2(2 5 x), 0, 其它 24 fY(y) 2y 0, 其它 二维均匀分布 例

17、9设随机变量 X和Y具有联合概率密度 2 x y 其它 f(x,y) 0, 求边缘概率密度 f x (x), fY (y). fx(x) f(x,y)dy x 26dy 6(x x x2 ), 0, fY(y) f (x, y)dx y 6dx 6( ；. y y), 0, 1 y 其它 y 1 其它 0 x 例10 (讲义例5)设(X,Y)服从单位圆域x2 y21上的均匀分布，求X和Y的边缘概率 密度. 1/ , 当x2 y2 1时 0, 其它 解 f(x,y) 当 x 1 或 x 1 时，f (x, y) 0,从而 fX (x)0. 1 x21 当 1 x 1 时，fx(x)f(x, y)dy2 dy 1 x2 yllx2, 于是我们得到X的边缘概率密度fX（X） 1 x 1 0,其它 fY(y) 2 .1 0, 1 y 1 其它 由X和Y在问题中地位的对称性，将上式中的x改成y,就得到Y的边缘概率密度 二维正态分布 例11 （讲义例6）设二维随机变量（X,Y）的概率密度 1（x2 y2） f （x, y） e 2（1 sin xsin