2020年高考理科数学一轮总复习：集合及其运算

1、 2020 年高考理科数学一轮总复习：集合及其运算第 1 讲 集合及其运算1集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号或表示(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法(4)常见数集的记法集合符号自然数集正整数集n (或 n )整数集有理数集实数集n*zqr2.集合间的基本关系表示关系自然语言ab子集集合 a 是集合 b 的子集，且集合 b中至少有一个元素不在集合 a 中ab3.集合的基本运算图形语言abx|xa，或xbabx|xa，且xb ax|xu，且 xu符号语言a导师提醒1熟记三种集合运算的性质(1)并集的性质：aa；aaa

2、；abba；ababa.2020 年高考理科数学一轮总复习第 1 页 共 13 页 (2)交集的性质：a；aaa；abba；abaab.(3)补集的性质：a( a)u；a( a)； ( a)a； (ab)( a)( b)；uuuuuuu (ab)( a)( b)uuu2熟记集合基本关系的四个结论(1)空集是任意一个集合的子集，是任意一个非空集合的真子集(2)任何一个集合是它本身的子集，即 aa.空集只有一个子集，即它本身(3)集合的子集和真子集具有传递性：若 ab，bc，则 ac；若 a b，b c，则 a c.(4)含有 n 个元素的集合有 2 个子集，有 2 1 个非空子集，有 2 1 个

3、真子集，有 2nnnn2 个非空真子集3关注两个易错点(1)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，应时刻关注对空集的讨论，防止漏解(2)在解决含参数的集合问题时，要检验集合中元素的互异性判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)x|yx 1y|yx 1(x，y)|yx 1()222(2)若x ，10，1，则 x0，1.()2(3)x|x1t|t1(4)对于任意两个集合 a，b，(ab)(ab)恒成立(5)若 abac，则 bc.()答案：(1) (2) (3) (4) (5)若集合 pxn|x 2 018，a2 2，则()aap答案：dbapcapdap设集合 ax|2x2，z 为整

4、数集，则集合 az 中元素的个数是(a3 b4 c5 d6解析：选 c.a 中包含的整数元素有2，1，0，1，2，共 5 个，所以 az 中的元素个数为 5.已知集合 a1，2，集合 b 满足 ab1，2，则满足条件的集合 b 的个数为_)解析：因为 a1，2，ba1，2，所以 ba，故满足条件的集合 b 的个数为 224 个答案：4(教材习题改编)已知集合 ax|x 4x30，bx|2x4，则 ab_，22020 年高考理科数学一轮总复习第 2 页 共 13 页 ab_，( a)b_r解析：由已知得 ax|1x3，bx|2x4，所以 abx|2x3，abx|1x4，( a)bx|x1 或 x

5、2r答案：(2，3) (1，4) (，1(2，)集合的概念(自主练透)1(2018高考全国卷)已知集合 a(x，y)|x y 3，xz，yz，则 a 中元素的22个数为(a9c5)b8d4解析：选 a.法一：由 x2y23 知， 3x 3， 3y 3.又 xz，yz，所以 x1，0，1，y1，0，1，所以 a 中元素的个数为 c1c19，故选 a.33法二：根据集合 a 的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆 x2y23 中有 9 个整点，即为集合 a 的元素个数，故选 a.2已知集合 axn|1xlog k，集合 a 中至少有 3 个元素，则()2ak8bk8ck16dk16

6、解析：选 c.因为集合 a 中至少有 3 个元素，所以 log k4，所以 k2416，故选 c.23若集合 axr|ax 3x20中只有一个元素，则 a_298解析：当 a0 时，显然成立；当 a0 时，(3)28a0，即 a .答案：0 或984已知集合 am2，2m m，若 3a，则 m 的值为_2解析：由题意得 m23 或 2m2m3，3则 m1 或 m .2当 m1 时，m23 且 2m2m3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；321232当 m 时，m2 ，而 2m2m3，符合题意，故 m .2020 年高考理科数学一轮总复习第 3 页 共 13 页 答案：32b5设 a，br

7、，集合1，ab，a 0， ， ，则 ba_babb解析：因为1，ab，a 0， ， ，a0，所以ab0，则 1，所以a1，baab1，所以 ba2.答案：2求解与集合中的元素有关问题的注意事项(1)如果题目条件中的集合是用描述法表示的集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合(2)如果是根据已知列方程求参数值，一定要将参数值代入集合中检验是否满足元素的互异性集合的基本关系(典例迁移)(1)已知集合 ax|x x20，bx|1x1，则()2aa bcabbb adab(2)已知集合 ax|x 3x20，xr，bx|0x5，xn，则满

8、足条件 acb2的集合 c 的个数为()a1c3b2d4(3)已知集合 ax|2x5，bx|m1x2m1，若 ba，则实数 m 的取值范围为_【解析】 (1)由题意知 ax|1x2，bx|1x1，则 b a.(2)因为 a1，2，b1，2，3，4，acb，则集合 c 可以为：1，2，1，2，3，1，2，4，1，2，3，4共 4 个(3)因为 ba，所以若 b，则 2m1m1，此时 m2.2m1m1，若 b，则 12，解得 m3.2m2m15.由可得，符合题意的实数 m 的取值范围为 m3.【答案】 (1)b (2)d (3)(，32020 年高考理科数学一轮总复习第 4 页 共 13 页 迁移

9、探究 1 (变条件)本例(3)中，若 b a，求 m 的取值范围？解：因为 b a，若 b，成立，此时 m2.2m1m1，若 b，则 12，且边界点不能同时取得，m2m15，解得 2m3.综合，m 的取值范围为(，3迁移探究 2 (变条件)本例(3)中，若 ab，求 m 的取值范围12， m3，m解：若 ab，则即所以 m 的取值范围为.2m15，m3.迁移探究 3 (变条件)若将本例(3)中的集合 a 改为 ax|x5，试求 m 的取值范围解：因为 ba，所以当 b时，2m1m1，即 m52m14.m4m2综上可知，实数 m 的取值范围为(，2)(4，)(1)判断两集合关系的方法对描述法表示

10、的集合，把集合化简后，从表达式中寻找两集合间的关系；对于用列举法表示的集合，从元素中寻找关系(2)根据两集合间的关系求参数的方法已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、venn图等来直观解决这类问题提醒 空集是任何集合的子集，当题目条件中有 ba 时，应分 b和 b两种情况讨论1已知集合 ax|y 1x ，xr，bx|xm ，ma，则()22aa bcabbb adba解析：选 b.由题意知 ax|y 1x2，xr，2020 年高考理科数学一轮总复习第 5 页 共 13 页 所以 ax|1x1所以 bx|xm2，max|0x

11、1，所以 b a，故选 b.2设 m 为非空的数集，m1，2，3，且 m 中至少含有一个奇数元素，则这样的集合 m 共有()a6 个c4 个b5 个d3 个解析：选 a.由题意知，m1，3，1，2，1，3，2，3，1，2，3，共 6 个3若集合 a1，2，bx|x mx10，xr，且 ba，则实数 m 的取值范围2为_解析：若 b，则 m240，解得2m2，符合题意；若 1b，则 12m10，解得 m2，此时 b1，符合题意；若 2b，则 222m10，521解得 m ，此时 b 2， ，不合题意2综上所述，实数 m 的取值范围为2，2)答案：2，2)集合的基本运算(多维探究)角度一 集合的运

12、算(1)(2018高考全国卷)已知集合 ax|x10，b0，1，2，则 ab()a0b1c1，2d0，1，2(2)(2018高考全国卷)已知集合 ax|x x20，则 a()2rax|1x2bx|1x2cx|x2dx|x1x|x2(3)设集合 ay|y2 ，xr，bx|x 10，则 ab 等于()x2a(1，1)b(0，1)c(1，)d(0，)【解析】 (1)由题意知，ax|x1，则 ab1，2，故选 c.(2)法一：ax|(x2)(x1)0x|x2，所以 ax|1x2，故选 b.r法二：因为 ax|x2x20，所以 ax|x2x20x|1x2，故选 b.r2020 年高考理科数学一轮总复习第

13、 6 页 共 13 页 (3)因为 ay|y0，bx|1x1，所以 ab(1，)，故选 c.【答案】 (1)c (2)b (3)c角度二 利用集合的运算求参数(1)已知集合 ax|x x120，bx|xm若 abx|x4，则实数 m2的取值范围是()a(4，3)c(3，4)b3，4d(，4(2)集合 a0，2，a，b1，a ，若 ab0，1，2，4，16，则 a 的值为()2a0c2b1d4(3)设集合 a0，4，bx|x 2(a1)xa 10，xr 若 abb，则实数22a 的取值范围是_【解析】 (1)集合 ax|x3 或 x4，因为 abx|x4，所以3m4，故选 b.(2)根据并集的概

14、念，可知a，a 4，16，故只能是 a4.2(3)因为 a0，4，abb，所以 b a，分以下三种情况：当 ba 时，b0，4，由此可知，0 和4 是方程 x22(a1)xa210 的两4（a1）24（ 21）0，a个根，由根与系数的关系，得 2（a1）4，解得 a ；1a210，当 b且 b a 时，b0或 b4，并且 4(a1)24(a21)0，解得 a1，此时 b0满足题意；当 b时，4(a1)24(a21)0，解得 a1.综上所述，所求实数 a 的取值范围是(，11【答案】 (1)b (2)d (3)(，11(1)集合运算的常用方法若集合中的元素是离散的，常用 venn图求解；若集合中

15、的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况(2)利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到；2020 年高考理科数学一轮总复习第 7 页 共 13 页 若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解提醒 在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)1已知全集u1，2，3，4，5，6，集合p1，3，5，q1，2，4，则( p)qu()a1b3，5c1，2，4，6d1，2，3，4，5解析：选 c.因为 u1，2，3，4，5，6，p1，3，5，所以 p2，4，6，u因为 q1，2，4，所以( p)q

16、1，2，4，6u2若集合 ax|1x1，xr，bx|y x2，xr，则 ab()a0，1)b(1，)dc(1，1)2，)解析：选 c.由题意得 bx|x2，所以 abx|1x1 或 x2，故选 c.3(2019湖北名校学术联盟 4 月联考)已知 a1，2，3，4，ba1，2a若 ab4，则 a(a3)b2c2 或 3d3 或 1解析：选 a.因为 ab4，所以 a14 或 2a4，若 a14，则 a3，此时 b4，6，符合题意；若2a4，则 a2，此时 b3，4，不符合题意，综上，a3，故选a.4(2019洛阳市第一次统一考试)已知全集 ur，集合 ax|x 3x40，bx|22x2，则如图所

17、示阴影部分所表示的集合为()ax|2x4bx|x2 或 x4dx|1x2cx|2x1解析：选 d.依题意得 ax|x4，因此 ax|1x4，题中的阴影部分r所表示的集合为( a)bx|1x2，选 d.r集合新定义问题中的核心素养2020 年高考理科数学一轮总复习第 8 页 共 13 页 am(1)定义集合的商集运算为 | ， ， ，已知集合 a2，4，6，m a n bx xbnkbbx|x 1，ka ，则集合 中的元素个数为()b2aa6c8b7d9(2)给定集合 a，若对于任意 a，ba，有 aba，且 aba，则称集合 a 为闭集合，给出如下三个结论：集合 a4，2，0，2，4为闭集合；

18、集合 an|n3k，kz为闭集合；若集合 a ，a 为闭集合，则 a a 为闭集合1212其中正确结论的序号是_1 1 12 4 61bb【解析】 (1)由题意知，b0，1，2， 0， ， ， ，1， ，则 b3aa1 1 12 4 6130， ， ， ，1， ，2 ，共有 7 个元素，故选 b.(2)中，4(2)6a，所以不正确；中，设n ，n a，n 3k ，n 3k ，121122k ，k z，则 n n a，n n a，所以正确；中，令 a n|n3k，kz，a 12121212n|n 2k，kz，则 a ，a 为闭集合，但 3k 2k(a a )，故 a a 不是闭集合，所12121

19、2以不正确【答案】 (1)b (2)(1)以集合为背景的新定义问题常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生对新概念的理解，充分体现了核心素养中的数学抽象(2)解决集合的新定义问题的两个切入点正确理解创新定义这类问题不是简单的考查集合的概念或性质问题，而是以集合为载体的有关新定义问题常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等；合理利用集合性质运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，但关键之处还是合理利用集合的运算与性质1设 a，b 是两个非空集合

20、，定义集合 abx|xa，且 xb若 axn|0x5，bx|x27x100，则 ab(a0，1)b1，2c0，1，2d0，1，2，52020 年高考理科数学一轮总复习第 9 页 共 13 页 解析：选 d.a0，1，2，3，4，5，bx|2x5，所以 ab0，1，2，52设 a 是整数集的一个非空子集，对于ka，如果k1a 且 k1a，那么 k 是 a 的一个“单一元”，给定 s1，2，3，4，5，6，7，8，由 s 的 3 个元素构成的所有集合中，不含“单一元”的集合共有_个解析：符合题意的集合为1，2，3，2，3，4，3，4，5，4，5，6，5，6，7，6，7，8，共 6 个答案：6基础题

21、组练1设集合 ax|x x20，集合 bx|1x1，则 ab()2a1，1c(1，2)b(1，1d1，2)解析：选 b.因为 ax|x2x20x|1x2，bx|1x1，所以 abx|1x1故选 b.2设集合 mx|x2k1，kz，nx|xk2，kz，则()amncnmbmndmn解析：选 b.因为集合 mx|x2k1，kz奇数，nx|xk2，kz整数，所以 mn.故选 b.3(2019湖南湘东五校联考)已知集合ax|x 2x30，bx|yln(2x)，则 ab2()a(1，3)c1，2)b(1，3d(1，2)解析：选 c.ax|x22x30x|(x1)(x3)0x|1x3，bx|yln(2x)

22、x|2x0x|x2，则 ab1，2)，故选 c.4(2019山西八校第一次联考)设集合 axz|x 3x40，bx|2 4，则 ab2x()a2，4)c3b2，4d2，3解析：选 d.法一：由 x23x40 得，1x4，因为 xz，所以 a0，1，2，3，由 2 4 得 x2，即 bx|x2，所以 ab2，3，故选 d.x法二：通过验证易知 3a，3b，故排除选项a，b.同理可知 2a，2b，排除选项c.故选 d.5(2019合肥调研性检测)已知集合 ay|ye ，xr，bxr|x x60，则x22020 年高考理科数学一轮总复习第 10 页 共 13 页 ab()a(0，2)b(0，3d2，

23、3c2，3解析：选 b.由已知得 a(0，)，b2，3，所以 ab(0，3，故选 b.6已知集合 ax|x1，bx|3 1，则()xaabx|x0cabx|x1babrdab解析：选 a.因为 3 130，所以 x0，所以 bx|x0，所以 abx|x0，axbx|x1故选 a.7已知全集为整数集 z.若集合 ax|y 1x，xz，bx|x 2x0，xz，则2a( b)(z)a2b1c2，0d2，1，0解析：选 d.由题可知，集合 ax|x1，xz，bx|x0 或 x2，xz，故 a( b)z2，1，0，故选 d.8.(2019太原模拟 )已知全集 ur，集合 ax|x(x2)0，bx|x|1

24、，则如图所示的阴影部分表示的集合是()a(2，1)2)b1，01，d0，1c(2，1)0，1解析：选 c.因为集合 ax|x(x2)0，bx|x|1，所以 ax|2x0，bx|1x1，所 以 ab(2，1，ab1，0)，所以阴影部分表示的集合为 (ab)a b(2，1)0，1，故选 c.9(2019辽宁五校联合体模拟)已知集合 px|x 2x80，qx|xa，pqr，2则 a 的取值范围是(a(2，)c(，2)b(4，)d(，4解析：选 c.集合 px|x22x80x|x2 或 x4，qx|xa，若 pqr，则 a2，即 a 的取值范围是(，2，故选 c.10(2019安徽安庆模拟)已知集合

25、a1，3，a，b1，a a1，若 ba，则实2数 a(a1c1 或 2)b2d1 或1 或 2解析：选 c.因为 ba，所以必有 a2a13 或 a2a1a.2020 年高考理科数学一轮总复习第 11 页 共 13 页 若 a2a13，则 a2a20，解得 a1 或 a2.当 a1 时，a1，3，1，b1，3，满足条件；当 a2 时，a1，3，2，b1，3，满足条件若 a2a1a，则 a22a10，解得 a1，此时集合 a1，3，1，不满足集合中元素的互异性，所以 a1 应舍去综上，a1 或 2.故选 c.b11设集合 a 5， ， ，bb，ab，1，若 ab2，1，则 aba ba_babb2，1，2，1，2.aaa解析：由 ab2，1，可得或当时，此bab1ab2.ab1ba1，1，a时 b2，3，1，所以 ab1，2，3，5；当时，此时不符合1，bab2题意，舍去答案：1，2，3，51812设x表示不大于 x 的最大整数，集合ax|x 2x3，b | 2 8 ，则ab2xx_18解析：不等式 2 8 的解为