6空间解析几何

1、第六章 空间解析几何与向量代数本章的主要内容是向量和空间图形的方程表示.要求熟练掌握向量的各种运算并理解其几何意义；熟练掌握常用的曲面方程.这些内容都是学习 多元微积分的前提.在学习的过程中，读者应多做一些画图练习，以培养 自己的空间想象力.一、向量代数1.具有大小和方向的量称为 向量,只有大小的量称为 数量（实数）.向 量可以用有向线段 AB来表示.2 .向量的长度称为向量的 模，记为II;模为1的向量称为 单位 向量；长度为零的向量称为 零向量，记为0 .两个向量的夹角，规定 0 - v3.与x、y、z三个坐标轴同方向的单位向量分别记为i、j、k ,称为基本单位向量.4 .非零向量a分别与

2、x、y、z三个坐标轴正向的夹角 F J称为a 的方向角；COS ,cos , cos 称为a的方向余弦.5 .若分别在x、y、z三个坐标轴上的投影为a,b,c ,则 -ai bj ck，记为a,b,c，称为向量的坐标；对于给定的点Mi（Xi, %,乙）、M2（X2，y2,z2），贝U皿肌二（X2xji厲yjj（22讥二 * 人，y?%,矿zj 6 .向量的线性运算给定向量、-及数量，可定义向量的加法及数量乘法- 统称为向量的线性运算，满足运算律：1）加法交换律 ? = ?；2）加法结合律）；3） 数量乘法结合律 （）八I（：）=（），其中，与是数量;4） 数量乘法对于数量加法的分配律（I）=

3、；5）数量乘法对于向量加法的分配律7.向量的数量积给定向量与.它们的数量积定义为：一 I |cos，其中 是 与的夹角.数量积满足下列运算律：1）交换律B ；2）结合律）=“ （汀），其中九是数量；3）分配律 （。+ 3 ）了 八+ 3八；8.向量的向量积给疋两个向量-和-，匕们的向量积疋义为一个向量，记为，-，满足:i） rIsin，其中隹与的夹角；ii）的方向垂直于:与所在的平面，并且与 、符合右手法则.向量积满足下列运算律：1 ）反交换律八匕=）；2）结合律 M八阳=（加）汀=厂（汀），其中入是数量3） 左分配律-，右分配律（二9 .向量及其坐标的有关公式给定向量二印，a?, as ,=

4、 Q,鸟，鸟及数量，则 1）二印，a?, as，二印鸟卍2 d,a3 bJ ；2）- |p |cos = ag a?b? asbs，其中是两个向量的夹角.于是可推知cosa?bjbs与-平行的充要条件是它们对应的坐标成比例ai - a2 - a3bib?鸟:与垂直的充分必要条件是 - 0 ,即a?bajb - 0 .6）若 二印，a?, as二 0 ,FT称为单位化向量，它表示0与同方向的单位向量.并有= .此时其中cos，cos 1 ,cos 是的方向余弦.二. 空间中的曲面与曲线1.给定曲面S及三元方程F (x, y,zp 0 .如果曲面S上的点的坐 标都满足方程；反之，方程的解所对应的点

5、都在S上，则称S为方程F (x, y,zp 0所表示的曲面.两个方程 Fi(x, y,z)二0和F2(x, y,z) = 0表示同一个曲面的充分必 要条件是它们为同解方程.2 .空间中的曲线 C可以看作两个曲面的交线，它的一般方程为F (x, y,z) = 0 G(x, y,z) = 0.X 二 x(t)空间曲线C也可表示为参数方程y y(t) , a兰t兰b .J z= z(t)3 .旋转面方程一条平面曲线C绕它所在平面的一条直线L旋转一周所生成的曲面称为旋转曲面(旋转面).曲线C称为旋转曲面的 母线，直线L称为旋转曲面的旋转轴.f (y,z) = 0yoz平面上的曲线C :n绕z轴的旋转面

6、方程为x = 0f 2 y2 , zM 0 ;绕y轴的旋转面方程为 f(y, -、x2 z2) = 0 .类似 可得其它坐标面上的曲线绕坐标轴的旋转面方程.4 .柱面方程平行于定直线L并沿定曲线C移动的直线l所生成的曲面称为 柱面，动直线I在移动中的每一个位置称为柱面的母线，曲线C称为柱面的 准线.f(x, y) = 0以xoy平面上的曲线C : 介为准线，母线平行于 z轴的柱-z 一 U面方程为f (x, yp U .同理方程g(y,z) - 0和h(x,zp U分别表示母线平 行于x轴和y轴的柱面.5 .曲线在坐标面上的投影Fi(x, y,z)= 0在空间曲线的方程C ： F?(x y z

7、)= 0中，经过同解变形分别消去变量x, y, z，则可得到C在yoz、xoz、xoy平面上的投影曲线，分别为:F(y0G(x,z) = 0-L X = 0，.y = 0；、H(x,y) = 0z = 0三、空间中的平面与直线方程1 .平面方程1)点法式：给定空间中的点Po(X0,y0,z)及非零向量n = A,B,C, 则经过点Po与n垂直的平面方程为A(x Xo) B(y- yo) C(z 4) = 0，n称为平面的法向量.2) 一般式：Ax By Cz D = 0，其中A,B,C不全为零.y+z = 13) 截距式：a b c 1 -4) 两个平面之间的关系设两个平面n 1与n 2的法向

8、量依次为nAi,Bi,Ci和%二A2，B2，C2 . ni与口2的夹角规定为它们法向量的夹角 (取锐角).这时cos，I n2 | A A2 BB2 GC2 |ni | |n2 1A2 Bi2 Ci2 .a| b2 c2两个平面平行的充要条件是:两个平面垂直的充要条件是:Ai _ Bi _ CiA2 B2 C2AiA2CqC2 二 02 .直线方程1) 般式：将直线表示为两个平面的交线Aix By CqZ Dq = 0A2x B2y C2z D2 = 0 2)若直线L经过点Po(Xo，%,Zo)且与方向向量v二l,m,n= 0平行，则L的方程为i）对称式：ii）参数式:x X。 y- y。 z

9、 lm nx = X。+ 11y=yo + mt比 (+z = z。十 nt3）两条直线之间的关系设两条直线Li 和L2 方向向量分别为Vi 二li,mi,ni, V2 二12,皿2,址，Li 与L2的夹角规定为它们方向向量的夹角（取锐角）.于是cos八 |Vi 丨 _|l2 mg ne Ihm n1l2m2n2l112m1m2n1n2 =。|vi 1 1 v21 Jl； + m： + n； Jl； + m； + n；Li与L2平行的充要条件是Li与L2垂直的充要条件是3 .直线与平面的关系设直线L的方向向量为v = l,m,n,平面n的法向量为sin|vn|v| |n|n =A,B,C .

10、L与n的夹角规定为L与它在n上投影直线L的夹角（锐角）.这时|IA + mB + nC |l2 m2 n2A2 B2 C2 *l与n垂直的充要条件是I m nABCL与n平行的充要条件是IA mB n C = 0.四、二次曲面 由三元二次方程所表示的曲面统称为 二次曲面.通常使用截痕法来判断二次曲面的形状.一些常用的二次曲面的标准形式如下.1.球面：球心在点Po(Xo,y,Zo)半径为R的球面方程为(X-X。)2 (y - y。)2 (z- Z0)2例如，球心在原点半径为R的球面方程为X2y2z2 .椭球面:x2b22z2c其中a 0, b 0, c 0 (图图22).例如，2 2 2xyz M49 16，x2 2y2 3z2 二 12 .2 2x y3.椭圆抛物面z 二=+ 2 .2 ab其中a0,b0（图 3）.例如z2 . 2二 x y ,2_ Z = Xy2等.222 xy