(整理)曲面的切平面与法线方程0001

1、精品文档曲面的切平面与法线方程设丄中曲面工的方程为F （x , y , z） = 0，函数F （x , y , z）在曲面工上点一一 J处可微，且J加卽龛丿，过点血任意引一条位于曲面工上的曲线r。设其=糧）F=F。）方程为I典），且f f对应于点不全为零。由于曲线r在工上，则有呀 g（x吨）+卩（血吨）皿区池）即W）裁）Y 及朮。该方程表示了曲面上 任意一条过点厂的曲线在该点的切线都与向量Wo） 垂直，并且这些切线都位于同一平面上，这个平面就称为曲面 工在点：处的切平面.点.称为切点.向量二心 2 -1称为曲面工在点-处的一 个法向量。记为戶SJG。基本方法：1、设点1 1 -在曲面F（x,

2、y, z）=0上，而F（x, y, z）在点一丨处存在连续偏导数，且三个偏导数不同时为零，则曲面 F（x, y, z）=0在点处的切平面方程为欣疋）（一几）斗兀厲-片“联见）（工-） = 0.法线方程为尺（血厂久厂札化）2、设点1在曲面z = f （x, y）上，且z = f （x, y）在点 Mo （xo, yo）处存在连续偏导数，则该曲面在点-处的切平面方程为-上昭儿）（心）-力（心小X?-几）2-齢过Xo的法线方程为-力区矶)耳必)1注：方法2实际上是方法1中取,：-的情形3、若曲面刀由参数方程x = x(u, v) , y = y(u, v) , z = z(u, v)给出，刀上的点

3、禺臨片九与uv平面上的点(Uo , vo)对应，而x(u , v) , y(u , v) , z(u , v( uo , vo)处可微.曲面刀在点Xo处的切平面方程及法线方程分别为住制 魂心尸)三、答疑解惑问题：曲面刀的参数方程为 x = x(u , v) , y = y(u , v) , z = z(u , v)，刀上的点：-i - 与u , v平面上 的点(uo , vo)对应，怎样确定刀在点 Xo处的法向量？注释：设x(u , v) , y(u , v) , z(u , v)在(uo , vo)处可微，考虑在刀上过点Xo的两条曲线.r i : x = x(u , vo) , y = y(

4、u , vo) , z = z(u , vo);r 2: x = x(uo, v) , y = y(uo , v) , z = z(uo , v).它们在点Xo处的切向量分别为i=a：%叩,), (心岭)E (兀(知岭h込心分包,)精品文档当：一-一时，得刀在点Xo处的法向量为则刀在点Xo处的法向量为四、典型例题 例1求椭球面x2+2y2+3z2 = 6在（1, 1, 1 ）处的切平面方程与法线方程解设F（x, y, z） = x2+2y2+3z2 - 6,由于八 $; - 二在全平面上处处连续，在（1,1,1 ）处一儿一 一，椭球面在点（1,1,1）处的法向量为（2, 4, 6）.则所求切平

5、面方程为2(z-l) + 4(y-1) -f6(z-1) 0即 x + 2y + 3z = 6.a- 1 _ y- I _1所求法线方程为-x-1 y-L z-1即 1-.卅i z=卡 y例2求曲面- 平行于z = 2x+2y的切平面方程解设切点为兀馆殆.曲面J j2，因此舐则曲面在一聋 八一处的法向量为 曲面在点x0处的切平面方程为瀚（x-心）十2加0-旳）-仗-0）-0又切平面与已知平面 z = 2x+2y平行，因此解得切点坐标为_ ,所求切平面方程为2(-2)+2(y-l)-(z-3)-0即 2x+ ly-3 = 0.例 3 求曲面-11 . .：处的切平面方程和法线方程.解 点厂对应曲

6、面上的点 1 11 1其中一一:勺一 一，:.-Lisin acos gos0-t?sm 鼬 sin 第sin2 sin-dsiii 厲 win 給一占 sin sinuA. j-iCOSj(轴叭 Lacossin则曲面在点T - 处的法向量为扛V 4,亠5所求曲面在点Xo处的切平面方程为a1 tin 贏 cos0(x-iisiii皿 cos) + asm贏 smsm 孔 win R)+ a1 sin 軌 cas & (呂-住cos ) - Cl,即 xsm cos+ ym sin zcosain cqs _ y-sin_ j-ijcos所求的法线方程为 - -J -IJ- -J.I -：-2设所求的切平面的切点为 ; - ，则曲面上L - - 处的法向量为 4 - 7 .且有(3)可 + 以-2)兀 K-lkq-5-O(1)3 + /t 2-215由、(3)解得2t -1代入(2)得? -4M3-0解得 ti = 1, t2 = 3，故 入 1 = 3 ,入 2=7.则所求切平面方程为3x-2y -z-5- 3(j +丿 +z) 0或；;1 1即 6x + y + 2 z = 5 或 10x + 5y + 6 z = 5.例5试证