与内切球外接球半径相关的问题

1、与内切球外接球半径相尖的问题 有矢于内切球、外接球的问题，应该说是一个比较困难的问题，几乎所有同学都会感到无 从下 手，这是正常的，因为这类问题需要强有力的想象力，同时方法性极强。我们就这部分问题， 尽量总结全面。 1 内切球和外接球的基本定义； 立体图形的内切球是指：与该立体图形的所有面都相切的球，注意是与所有面都相切，因此， 很多立体图形是不存在内切球的。 基本14质是：球心到所有面的距离相等，且为内切球半径。 立体图形的外接球是指：立体图形的所有顶点都在球面上。 基本性质是：球心到所有顶点的距离相等、且为外接球半径。 2. 长方体的外接球： 长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为 a,b

2、,c，则体对角线长为la2 b2 c2 几 a2 b2 0 何体的外接球直径2R，长方体体对角线长I，则R2 3. 正方体的外接球： 正方体的棱长为a，则正方体的体对角线为 3a，其外接球的直径2R为3a。 4. 正四面体的内切球、外接球 (1 )正四面体的内切球球心和外接球球心是重合的，并且都在正四面体的高线上。 31 (2)正四面体的高若为h，则外接球半径R h，内切球半径r h 44 5. 直棱柱的外接球：直棱柱外接球半径的思想是：找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接球就是 所求直棱柱的外接球。 (1 )直棱柱的体对角线长就是外接球的直径，这是核心。 222 (2)直棱柱的体对角线=底面图形

3、的外接圆直径+侧棱(即高) 6. 正棱锥的外接球：正棱锥外接球半径的思想是：球心在正棱锥的高线上，根据球心到各个顶 点的距离是外接球半径，列出矢于半径的方程。 我们需要考虑将“球心”“底面正多边形的中心”“底面上任一个顶点”这三个点连接起来， 构成一个直角三角形，利用勾股定理，列出矢于半径的方程。 一般来说这个方程是：(hR) 2 a2 R2或(Rh) 2 a2 R2 这里的h是指正棱锥的高， a是指底面正多边形的对角线长的一半，若底面为正三角形时，a是指正三角形中线长的 2，考生可以划出一个图形，印证一下这些内容。 3 7. 补体法：(1)补体法是用于求锥体的外接球半径的一种简洁方法，而且如

4、果不使用该方 法，会使问题变得非常难于解决。 (2)使用条件：一是由三条两两垂直的棱构成的锥体，可以使用补体法，这时候往往会补 成长方体或正方体；二是有一条棱与底面垂直的锥体，可以将其先补成直棱柱，然后直接 求棱 柱的外接球，参看第5条。 (3)补体法一般是将锥体补成柱体，这样的柱体多为长方体或正方体，我们一般是先画出补 成之后的图形，然后在补成之后的图形中标注出题目中所说的锥体，这样，就更清晰，即所求 的锥体的外接球也就是补成之后立体图形的外接球。 8. 体积分割法体积分割法是用于求锥体或柱体(多为求锥体的)内切球半径的一种非常简单的 方法对于锥体来说，rs1h,r为内切球半径，Si为锥体的

5、底面积，h为该锥体的高，为该锥 S1 体的全面积。对于该公式的由来，可以类比我们初中讲过的三角形中求内切圆半径的面积分割 法。对于柱体的內切球半径求法，r3S1h，但是这时候往往因为柱体的全面积求解 S 比较麻烦而采取其他思路，我们需要注意，柱体的内切球必然要与上下底面相切，那么该柱体 的高也就等于球的直径。这一点很重要。 1 已知一个正方体的所有顶点都在一个球面上，若球的体积为，则正方体的体积为2 2. 平面截球O的球面所得圆的半径为1 球心O到平面的距离为2，则此球的体积为 3. 已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积 为 4. 若所有侧棱长均为1的正

6、四面体的内切球与外接球半径分别为r.R，求它们的比值为 5. 已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的底面边长为6时， 其高的值为 6. 已知正四棱柱的侧棱与底面的边长都为3 2 ，则这个四棱柱的外接球的表面积为 7. 一个三棱柱的底面为正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为的球体与棱柱的所有面都 相切，那么这个三棱柱的表面积为3 8. 在直三 棱柱ABC A1B1C1中，AB 4,AC 6,A,AAi 4 ,则直三棱 柱 3 ABC A1B1C1的外接球的表 面积 9. 正四棱锥S ABCD的底面边长和各侧棱长都为2,点S、A、B、C、D都在同一球 面上，则此球的体积为

7、 10. 正四棱锥S ABCD的底面边长为1，各侧棱长都为2,点S、A、B、C、D都在 同一球面上，则此球的体积为 32 11 正四棱锥O ABCD的体积32，底面边长为3，则以O为球心，为OA半径的球2 的表面积 12. 三棱锥 A BCD 中，AB 平面 BCD，CD BC，AB 3，BC 4，CD 5 则 三棱锥 A BCD外接球的表面积为 13. 四面体ABCD的外接球为O，AD与平面ABC垂直，AD 2，Rt# ABC中， ACB ,AB 3,则球O的表面积为 2 仇呎PABCD 4，- EBCD 5戸0人嗣丹谯2囲pabcd的內站与外接球半径分别为、。 15. 已知三棱锥P ABC

8、 ,点P, A, B, C都在半径为3的球面上， 若PA, PB, PC两两相互垂直，则球心 到截面ABC的距离为。 16. 三棱柱ABC A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上。若AB 3,AC 4,AB AC, AA112,则球O的 半径为。 17. H为球O的直径AB上一点，AH:HB1:2,AB平面，H为垂足，截球O所得截 面的面积 为，则球O的表面积为。 18球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆若两圆的公共弦长为2，则两 圆的圆心距等于 19. A、B、C、D在同一个球的球面上，AB=BC= 2 ,AC=2，若四面体ABCD体积的最大值为 2 , 3则 这个球的表面积为

9、 20. 三棱锥S-ABC的所有顶点都在球o的球面上， ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为 21. 三棱锥P ABC中，PA平面ABC，AC BC,AC BC 1,PA 3,则该三棱锥外接球的表面 积为- 22. 边长为2 2的正三角形ABC内接于体积是4 3的球O ,则球面上 的点到该三角形所在平面最大的距离是 23. 正四面体ABCD的棱长为4，E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，则截面面积的 最小值为 24. 三棱柱侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点在同一个球面上则该球的表面积为 25. 若正四面体的棱长6 则正四面体的外接球的表面积为 2

10、6. 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 圆上，则该正三棱锥的体积是：（） 1的球面上，其中底面的三个顶点在该球 的一个大 A)v侣) (C) (D)3 12 27.如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为 6cm2 x 4cm2和3 cm2 那么它的外 接球的体积是。 参考答案1 分析：设出正方体棱长，利用正方形的体对角线就是外接球 的直径，通过球的体积求出正方体的棱长 解答：解：因为正方体的体对角线就是外接球的直径，设正方体的棱长为a，所以正方体的 体对角线长3a，正方体的外接球的半径 为：为：3a- 2- (1)球的体积为：a?,解得 322 a 3.故答案为： 2.解：因为平截球O

11、的球面所得圆的半径 面为1 球心0到平面 3. 的距离为2，所以球 的半径为：2 13 .体积易求为4 3 3.试题分析：根据正四棱柱的几何特征得：该球的直径为正四棱柱的体对角线，故 2 12122 即得R 1，所以该球的体积V 4 3 1 Sr 而TPFU面休 PARC 扶壬口 v? 3 R24i24. 33 1 G 口 r，相握苛面的 3 分析，4 Vi V2，41S 3 6.正四棱锥的各个顶点到它的底面的中心的距离都为3， 3R 3 正四棱锥外接球的球心在它的底 面的中心且球半径r 3 ，球的表面积S 4 r2 36，因此，本题正确答案是：36 . 4 7.解：此棱柱为正棱柱，体积的球体

12、半径为1 由此可以得到三棱柱的高为 2，底面三 3 角形内切圆的半径为1，故底面三角形高为3，边长为23，所以表面积 S21 2333232 183.因此，本题正确答案是：18 3. 2 1 32 8.由 Vo ABCD 1 AB2 ? ON 可得，ON 2，在 ONA 中，OA? ON2 NA26 . 故球的表面积S 4 ?0A2 24 由已知条件可知，以 PA, PB, PC为棱的正三棱锥可以补充成球的内接正方体， 2 2R，中已知PA PB PC得到PA PB PC 2 .因为 VP ABC VA PBC?空 7 s ABC 1 尹a?spbc，得到 2 2 2 2 PA PBPC 故而

13、球心到截面ABC的 距离为R h 3 如图所示，球心o即为侧 BCC1B1对角线的交点 BC的中点为M，连接OM ，AM ， 即可知0M平面ABC 连接AO 则可知 6, AM 卸在氏AOM中由勾 股定理得球o的半径R . 14. 又由题意得r2，则r 1，故R? 1 1 2 29 3R，即 R2 由球的表面积公 得 S 4 R2 15. 如图， 2.DE为两圆的公共弦，点B为弦的中点，因为0D与0E均为球的半径，所以0D =2，所 以OB DE，因为DE 2，所以0B22 123，因为两个圆所在平面垂直， 所以AB BC ，四边形OABC是矩形，所以圆心距AC OB 3. 3.16 ABC

14、中， AR 1 径 r AC 1 2 1 VDABC $ ABC 2 BC 2, AC 面体 1 2h 2 222 2, AC AB BC, ABC，截面小圆的半 2 ABCD体积的最大值为2 3 2 h2o设球的半径为R，球心为。，。到截 面的距离为d。当D到底面ABC距离最远，即h Rd时，四面体ABCD体积的最大值。 Qd R2r2 R21 R2 1 R2 R2 1 2 R 225 R2 ! R2 4R 4 ,解得 R 这个球的表面积为4 R2 4 4 25 25 164 3,CH 3、 4 OC2 CH 2 QO是SC的中点， 点s到平面 4.17.分析试题：几何问题的解决一般依赖于图形，作出三棱锥SABC ,如下图，。是SC 中点，由于SC