自主招生数学专题讲义 第2讲：不等式(1)培训讲学

1、 精品资料第二讲：不等式第一部分 概述不等式部分包括：解不等式；不等式的证明在复旦大学近三年自主招生试题中，不等式题目占 12%，其中绝大多数涉及到不等式的证明；交大试题中，不等式部分通常占 10%-15%，其中涉及到一些考纲之外的特殊不等式常用不等式及其推广：a,b r ,有+a + b2a + b22(平方平均）(算术平均） a（b 几何平均）(调和平均）1 122+a b推广到n个正实数，有a + a + + aa + a + + a21222n a a a nn12n1 1+ +a a1nn1 2na12n需要适当补充一点超纲知识柯西不等式均值不等式及其推广第二部分 知识补充：1、柯西

2、不等式设a ,a ,a , ,a ,b ,b ,b , ,b 是实数,则123n123n(a + a + + a )(b + b + b ) (a b + a b +a b )22122221222nn1 122n b当且仅当b = 0(i =1,2, ,n)或存在一个数ik,使得a = kb (i =1,2, ,n)时,等号成立ii柯西不等式的证明(a + a + + a )(b + b + b ) (a b + a b + a b ) 21222212222nn1 122n b设a = a + a +l+ a21222，b = a b + a b +la bc = b2 + b2 +l+

3、b2，分析：n1 122nn12n不等式 就是ac b2精品资料 ab + bc + cd + da2222证明：(a + b + c + d )(b + c + d + a )22222222(ab + bc + cd + da)2a b c d a,b,c,d 是不全相等的正数， = = = 不b c d a成立.(a + b + c + d ) (ab + bc + cd + da)2222 22即 + + +a b c d ab bc cd da2222 精品资料例3 已知x + 2 y + 3z = 1,求x + y + z 的最小值.222证明:(x + y + z )(1 + 2

4、 + 3 ) (x + 2y + 3z) = 122222221 x+ y+ z 22214x y z113当且仅当 = = 即x = , y = , z = 时1 2 3 14 1471x2+ y2+ z 取最小值214柯西不等式练习1 1a b r例 21、设 , ,a + b = 1, 求证 + 4a b+2.已知 x+ 2y = 1,求 x + y2 的最小值.21 23.设 x, y r,且 x+2y=36,求+x y的最小值+第三部分 真题精析：令 sin x + cos x = y, y = sin x + cos x + 2 sin xcos x2t-12 , 且t 1, 2令sin x + cos x = t,则sin xcos x =2y2= t + 2-1, 显然，y关于t是单调递增的t22（2004，复旦）精品资料 精品资料（2004，同济）关键步骤提