【2019年整理】07第七节方向导数与梯度

1、数量场与向量场的概念 例1 例4 例2 例5 例7 例8 9) 例10 课堂练习 返回 第七节 方向导数与梯度 分布图示 引例 方向导数的概念 例3 梯度的概念 例6 梯度的运算性质及应用(例 等高线及其画法 内容小结 习题9 7 内容要点 一、场的概念：数量场 向量场 稳定场 不稳定场 方向导数 f =恤 f(x Xyy)-f(x,y) .:l-0 定理1如果函数z二f (x, y)在点P(x, y)是可微分的，则函数在该点沿任一方向I的方 向导数都存在，且 f 二 f cos ： f sin ;:,( 7.1) .I:x:y 其中为x轴正向到方向I的转角(图8-7-2). 三、梯度的概念：

2、gradf (x,yi j. excy f :x sin f cos :; sin = gradf (x, y) e =| gradf (x, y) | cos 函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它 的模为方向导数的最大值. 梯度运算满足以下运算法则：设u,v可微，:为常数，则 (1) grad (、；u 亠 V) grad u 亠， grad v; (2) grad (u v) = u grad v v grad u ; (3) grad f(u) = f(u) grad u . 四、等高线的概念 例题选讲 方向导数 例1( E01)求函数z=xe2y在

3、点P(1,0)处沿从点P(1,0)到点Q(2,-1)的方向的方向导数 解 这里方向I即为PQ =1,-1, 故x轴到方向1 -的转角 J! =._. 4 丁空 =e2y =1, 由方向导数的计算公式知 (3)等于零？ (i ,1) =fx(1,1)cos:亠 fy(1,1)sin i = (2x-y)(1,1)cos：(2y-刈严in： = cos:： 亠sin : =.2 sin, 时，方向导数达到最大值 4 2; 时，方向导数达到最小值 4 一、2; .14 ; - 14. p 3_.7 和时，方向导数等于 0. 44 例3( E02)求函数u =ln(xy2 z2)在点A(1,0,1)处

4、沿点A指向点B(3,-2,2)方向的方 向导数 这里I为AB二2, -2,0的方向， 向量AB的方向余弦为 4, 2 cos , cos ： = -一，cos -3 所以 1 x x i y2z2 .:u .U 1y_1, z y x y2 z2. y2z2:z x . y2 z2 y2 z2 .u .:x 1:：u =0, ;u丿 :N A2 于是 ju ? 0 3 1 2 例4 求f(x, y, z)xy yz zx在点(1,1,2)沿方向I的方向导数,其中I的方向角分 别为 60C , 45 C , 60C . ”1近1 解 与I同向的单位向量 el =cos60 ,cos45 ,cos

5、60 因为函数可微分，且 fx(1,1,2)=(y z)(1,1,2)=3 fy(1,1,2) =(x+z)(1,1,2)=3, fz(11,2) =(yx) (1,1,2) =2. d (1,1,2) 2 W(5 3.2). 例5( E03)设n是曲面2x2 3y2 z2 =6在P(1,1,1)处的指向外侧的法向量，求函数 1 u =丄(6x2 8y2)2在此处方向n的方向导数. z p =6丫卩=6, Fz p=2zp =2, 解 令 F (x, y,z) =2x2 +3y2 +z2 -6, Fx p =4x p =4, Fy 故 n 二Fx,Fy,Fz =4,6,2, | n| = 42

6、 62 22 方向余弦为 2 COS：14 3叮 一 14,COS .14 6x z、6x2 8y2 .u 8y -y z* 6x2 8y2 .u 6x2 8y2 -Z z2 所以-u 二 cos,cos pfx .y 11 -7 例 6 (E04) 2 2 f(x, y,z)=x y 2 z ,求 gradf (1,-1,2). 1 x2 y2 . 解这里 f(x,y) 因为 所以 j. (2) gradf = fx, fy, fz =2x,2y,2z,于是 gradf (1,-1,2) =2,-2,4. 求函数u =x2 2y2 3z2 32y在点(1,1,2)处的梯度，并问在哪些点处梯度

7、 为零？ 解 由梯度计算公式得 - cu du - gradu(x, y, z) i j k =(2x - 3)i(4y2)j 6zk, ox&ya. -3丄,0处梯度为0. 2 2 故 gradu (1,1,2) =5i 2j 12k.在 P0 例8( E05)求函数u 二甘 z3 -xyz在点Po(1,1,1)处沿哪个方向的方向导数最大？最 大值是多少. 解由2 .x =y -yz,二=2xy-xz, a =3z2 -xy,得 .z =0,学 Po创 =1, cu P0 =2. p。 从而 gradu(P0) =0,1,2, grad u(P0) = . 0 14= 5. 于是u在点P0处

8、沿方向0,1,2的方向导数最大，最大值是、5. -dr cr i +一 j + k cycz 丿 例 9( E07) 设 f (r)为可微函数，r =| r |,r =xi yj zk.求 gradf (r), grad f(r) = f (r) grad r = f (r) i ox 因为丄=x，丄二y，丄=二所以 exr cyr czr (x - y - z r f grad f(r)二 f (r) i j k = f (x) f (x)r . lrr r 丿| r | 注：利用场得概念，我们可以说向量函数 grad f(M )确定了一个向量场 一梯度场，它是 由数量场f (M)产生的.通常称函数f (M)为这个向量场的势，而这个向量场又称为势场. 必须注意，任意一个向量场不一定势势场，因为它不一定是某个数量函数的梯度场 例10( E06)试求数量场m所产生的梯度场，其中常数m .0, r =；x2 y2 z2为原 r 点O与点M (x, y, z)间的距离. m ；：r mx 同理屛浮, mz 3 - r 2 r .x 3 r 如果用er表示与OM同方向的单位向量，则 er m m grad2 er. r r 上式右端在力学上可解析为， 位于原点O而质量为m的质点对位于点 M而质量为1 的质点的引力.该引力的