专题10 椭圆及其性质-2019年高考理数母题题源系列(全国Ⅰ专版)(解析版)

1、 专题 10 椭圆及其性质( -1,0)，f (1,0)【母题来源一】【2019 年高考全国卷理数】已知椭圆 c 的焦点为 f，过 f 的直线与 c212| af |= 2 | f b | | ab |=| bf |，则 c 的方程为交于 a，b 两点若，221x2x2y2+ y =1+ =13 2ac2bd2x2yx2y22+ =1+ =15 44 3【答案】b【解析】法一：如图，由已知可设f b = n2af = 2n , bf = ab = 3n，则212a = bf + bf = 4n , af = 2a - af = 2n由椭圆的定义有12124n +9n -9n 1222af bc

2、osf ab =在在中，由余弦定理的推论得22n3n311132af fn n4 +4 -22 2 = 4中，由余弦定理得 nn，解得n=22312x y222a = 4n = 2 3 ,a = 3 ,b = a - c = 3-1 = 2 ,+ =1所求椭圆方程为，故选 b2223 2f b = n2af = 2n , bf = ab = 3n，法二：由已知可设，则211 2a = bf + bf = 4n , af = 2a - af = 2n由椭圆的定义有12124 + 4 - 22 2cosaf f= 4n2n2naf f bf f在又和中，由余弦定理得21，+ 4 - 2n2cosb

3、f f = 9n1212n2221af f , bf fcosaf f + cosbf f = 0互补，2121212 13cos af f ,cos bf f两式消去，得3n + 6 =11n ，解得 n =22212122a = 4n = 2 3 ,a = 3 ,b = a - c = 3-1 = 2 ,222x y22+ =1.3 2所求椭圆方程为故选 b【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养【命题意图】通过考查椭圆的标准方程和简单几何性质，考查数形结合思想的运用和运算求解能力.【命题规律】一般以选择题或

4、填空题的形式考查，题目有一定的难度，主要考查椭圆的标准方程和离心率，注意椭圆的定义和解三角形知识的结合，利用数形结合思想以及题中隐含的相等关系或不等关系进行求解.【答题模板】待定系数法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是：第一步，做判断.根据条件判断椭圆的焦点在 轴上，还是在 轴上，还是两个坐标轴都有可能（这时需要xy分类讨论）.x2yy x222+ =1(a b 0)+ =1(a b 0).第二步，设方程.根据上述判断设方程为或a b22a b22第三步，找关系.根据已知条件，建立关于a,b,c的方程组（注意椭圆中固有的等式关系c a b ）= .222第四步，得椭圆方程.解方程组，将解代

5、入所设方程，即为所求.2 【方法总结】1.求椭圆的方程有两种方法：（1）定义法.根据椭圆的定义，确定 2, 2 的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.a b（2）待定系数法确定参数的值，从而得到椭圆的方程.【注意】用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或mx + ny 1(m 0，n 0且m n)把椭圆的方程设为.222.椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围）有两种方法：c=（1）求出 , ，代入公式ea c求解.a（2）只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式，结合b = a c 转化为 , 的齐次式，然后等式

6、（不a c222等式）两边分别除以 或 2 转化为关于 或 2 的方程（不等式），解方程（不等式）即可得 （ 的取值范围）.aaeee e4x + ky = 4k1【山东省聊城市 2019 届高三三模】若方程表示焦点在 y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范22围为 4 4k = 4ba kc kd0 k 4【答案】dx2y2+ =1【解析】由题得，k44x + ky = 4k表示焦点在 轴上的椭圆，y因为方程22所以0 k 0)，f ，fc412a23 pf + pf = 4 2 ，则 f f =分别为椭圆c 的左、右焦点， 为椭圆c 上任一点，若p121 2a4b23c2d3【答案】a【解析】

7、根据题意，得 =2 2，b2 = 4，af f = 4 .- 4 = 2，所以所以有 =ca21 2故选 a【名师点睛】本题主要考查椭圆的方程及定义，明确方程中a,b,c的关系是求解的关键.xy ( )=1 a 2，直223【广东省东莞市 2019 届高三第二学期高考冲刺试题（最后一卷）】已知椭圆c ： +a24l : y = x - 2 c线过 的一个焦点，则c 的离心率为1213abd22 23c2【答案】cx2 y ( )2: y = x - 2过椭圆c 的一个焦点，可得c = 2，+=1 a 2 ，直线l【解析】椭圆c ：a24c22= =则 =+ = 2 2 ，所以椭圆的离心率为：e

8、a b c222 22a故选 c【名师点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，属于基础题x2 y2+=4【广东省深圳市深圳外国语学校 2019 届高三第二学期第一次热身考试数学】已知椭圆a2b251(a b 0)的离心率为，椭圆上一点 到两焦点的距离之和为 12，则椭圆的短轴长为p3a8c5b6d44 【答案】a5x2 y (2)c+ =1 a b 0【解析】椭圆的离心率：e= =，3a2b2a椭圆上一点 到两焦点的距离之和为12 ，即：p2a =12，可得： a= 6，c = 2 5 ，b = a -c = 36- 20 = 4，22则椭圆的短轴长为2b = 8.故选 a.【名师点睛】本题考查椭

9、圆的定义、简单几何性质的应用，属于基础题x22y22+=1(a b 0)5【河南名校联盟 2019 届高三下学期 2 月联考】椭圆的左、右焦点分别为 f ，f ，ab12af f3f af = 4af f上顶点为 ，若a的面积为，且，则椭圆的方程为121212x2x2y2+ y =1+ =1ac2bd33 2x2x2y2+ y =1+ =14 324【答案】cbc3af f【解析】在中， af = af ,f af = 4af f ，则af f = 30，所以，=12121212123af f3s = bc = 3，即 ，又的面积为12=1,c = 3解得b，= b +c = 2，则 a22x

10、2+ y =1.所以椭圆的方程为24故选 c.【名师点睛】本题主要考查了椭圆标准方程的求解，其中解答中熟记椭圆的标准方程及其简单的几何性质，合理应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.5 6【广东省深圳市高级中学 2019 届高三适应性考试（6 月）数学】在平面直角坐标系xoy 中，已知点a,fx y22p ,q分别为椭圆c :1(a b 0)的右顶点和右焦点，过坐标原点o 的直线交椭圆 于c两点，a b22线段 ap 的中点为 m ，若q ,f ,m三点共线，则椭圆c 的离心率为1a 32b 38c 33 8d 或2 3【答案】a【解析】如图，p x ,y ,q x , y设又，0000

11、x a y0a (a,0),f (c,0)，m,0 ，22q ,f ,m 三点共线，kkqf，mfy00y20，x ac x0c02yy即00，c xx a 2c00c x x a 2c，00a 3c，c 1a 3ce则椭圆 的离心率为故选 a .6 【名师点睛】本题主要考查椭圆的简单性质以及椭圆的离心率，属于中档题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下两种情况：直接求出a,c ，从而求出e ；构造a,c的齐次式，求出e xy (b)1 a b 0的右焦点为 f，过 f227【山西省 2019 届高三考前适应性训练二（二模）】椭圆 c： + =a22oabx作

12、轴的垂线交椭圆 于 ， 两点，若a b是直角三角形( 为坐标原点)，则 的离心率为o cca 5 - 2b 3 -15 -13 -1cd22【答案】c两点，故 ac b2( )f c,0b2a, b,-x作 轴的垂线交椭圆 于 bc【解析】过 ，caa b2b2b4c, c,-= c - = 0由于三角形oab是直角三角形，故oa ob，即oa ob= 0 ，也即 2， a a a2化简得c - 3a c + a = 0，即e - 3e +1 = 0 ，4224423- 55 -1解得e2=,e =.22故选 c【名师点睛】本题主要考查直线与椭圆的交点，考查椭圆离心率的计算，考查化归与转化的数

13、学思想方法，属于常考题.x y228【安徽省皖南八校 2019 届高三第三次联考数学】已知 f 是椭圆c ： + = 的右焦点， 为椭圆c 上1p3 2一点， a(1, 2 2)a 4 + 2+，则 pa pf 的最大值为b4 2d4 3c 4 + 3【答案】d【解析】设椭圆的左焦点为 ，则| |+| |pf pf2 3，f7 又 （1，0），| | =af(-1-1) +（2 2） = 2 3，f22| |+| | 2 3 +| | |，pa pf pa pf易知| | | |，pa pf af当 在线段 的延长线上时，| | |最大，为| | = 2 3 ，pafpa pfaf| |+|

14、|的最大值为pa pf2 3 + 2 3 = 4 3 .故选 d【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程以及椭圆的定义的应用，涉及三角形两边之差小于第三边的几何知识，考查了数形结合思想，属于中档题9【河北省唐山市第一中学 2019 届高三下学期冲刺（二）】已知椭圆的左、右焦点分别为 ， ，过 的直线 交椭圆于 , 两点，若a1的最大值为5，则 的值为bdc【答案】c【解析】由 0 2 可知，焦点在 轴上， =2，bxa过 的直线 交椭圆于 ， 两点，|a b bf af bf af|+|+|+|a a|2 +2 4 8，fla12211|+|bf afab|8| |22当垂直 轴时| |最小，则|a

15、b bf af|的值最大，|+|abx22此时| | 2，58 2，ab bb解得故选 c.【名师点睛】本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了椭圆的定义，解答此题的关键是明确过椭圆焦点的弦中通径长最短，是中档题x2 y ()的左、右焦点2+ =1 a b 010【山东省临沂市 2019 年普通高考模拟考试（三模）数学】若椭圆a2b21分别为 ， ，离心率为 ，过 的直线交椭圆于 ， 两点，f ff2abf的周长为 8，则该椭圆的短ab2112轴长为_.8 【答案】2 3【解析】因为abf的周长为 8，1| f a | + | f b | + | f a | + | f b |= 4a = 8,

16、a = 2所以，11221因为离心率为 ，所以c 11= ,c = a =1，2a 22由 a = b + c ，解得b = 3 ，222则该椭圆的短轴长为2 3 .故答案为2 3 .【名师点睛】本题主要考查椭圆的定义以及椭圆的离心率，意在考查对基础知识的掌握与灵活应用，属于基础题.11【安徽省江南十校 2019 届高三 3 月综合素质检测数学】已知椭圆 ：的左、右焦点分别为 、的取值范围为，以 为圆心作半径为 1 的圆 ， 为椭圆 上一点， 为圆 上一点，则_.【答案】【解析】由椭圆方程可知：由椭圆定义得：，且又，故答案为【名师点睛】本题考查利用椭圆定义求解最值问题，关键在于能够通过定义将问

17、题转化为三角形的三边关系，确定当 三点共线的时候取得最值.12【江西省九江市 2019 届第一次高考模拟统一考试数学】如图，中心在坐标原点，焦点分别在 轴和 轴.上的椭圆的面积为都过点，且椭圆的离心率相等，以椭圆的四个焦点为顶点的四边形，则椭圆 的标准方程为_9 x2y2+ =14 2【答案】x22y2+ =1【解析】由题意可设椭圆 ：c，12ay2x2+ =1（a 2 ，0b 2c ：），2 b22a2- 2 2 -b2=由，得 ab2，2 ，a22由 2可得（ 22）（2 2）2，ab解得 2， 1，abx2y2+=1故椭圆 c ：4 21x2y2+=1故答案为4 2【名师点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查了离心率公式，考查运算求解能力，注意运用方程的思想解题x22y22=1(a b 0)的左、+13【江西省南昌市江西师范大学附属中学 2019 届高三三模数学】已知椭圆ab3, fpf右焦点分别为 f，点 在椭圆上，且p垂直于 x 轴