专题17 立体几何综合-2019年高考理数母题题源系列(全国Ⅱ专版)(原卷版)

1、 专题 17 立体几何综合【母题来源一】【2019 年高考全国卷理数】如图，长方体abcd a b c d的底面是正方形，点abcd e1111在棱上， be ecaa11（1）证明： 平面be；eb c11（2）若ae a e=，求二面角 的正弦值b ec c113【答案】（1）证明见解析；（2）.2abb a1【解析】（1）由已知得， b c平面， be 平面 abb a，1111 1故 b c be 11 eceb c 1 1又 be，所以 be 平面1beb = 90 由题设知rtabe rta b e= 45，所以 aeb ，（2）由（1）知11 1= 2ab= ab aa，故 ae

2、1| da |以 d 为坐标原点，的方向为 轴正方向，x为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 ，d xyzda1 = (0,0,2)ce = (1,-1,1) cc，= (1, 0, 0)则 （0，1，0），b（1，1，0），c （0，1，2），e（1，0，1），cb，c11设平面ebc的法向量为 =（ ， ， ），则x y xn0,x = 0,n =cb即 n = 0, x - y + z = 0,ce(0,-1,-1)所以可取 =n.设平面 ecc 的法向量为 =（ ， ， ），则x y zm10,2z = 0,m =cc1即 x - y + z = 0.m = 0,ce所以可取 =（1

3、，1，0）mnm12于是cos = -| n | m |3- ec - c所以，二面角 b的正弦值为12【名师点睛】本题考查了利用线面垂直的性质定理证明线线垂直以及线面垂直的判定，考查了利用空间向量求二角角的余弦值，以及同角的三角函数关系，考查了数学运算能力.【母题来源二】【2018 年高考全国 ii 卷理数】如图，在三棱锥 -p abc中，= 2 2ab bc=pa = pb = pc = ac = 4， 为o的中点ac（1）证明： 平面；abcpo（2）若点 在棱m上，且二面角 -m pa c- 为30 ，求与平面pc所成角的正弦值pambc2 poacmb3【答案】（1）见解析；（2）4

4、= cp = ac = 4 o ac 的中点，所以op ac， 为【解析】（1）因为 ap，且op=2 32连结ob 因为ab bc=，所以abc为等腰直角三角形，ac21 ac= 2且ob，obac2 ob由op + ob = pb 知 po222 ob,op ac知 po 平面 abc由opu uur- xyz（2）如图，以o为坐标原点，ob的方向为 x 轴正方向，建立空间直角坐标系ou uur(0,0,0), b(2,0,0), a(0,-2,0),c(0,2,0), p(0,0,2 3), ap = (0,2,2 3),由已知得 o取平面 pac 的法向量u uurob = (2,0,

5、0) uuur，则 am(a,2 - a,0)(0 a 2)= (a,4 -a,0)设 m设平面的法向量为n = (x, y, z)pam3 u uuruuur2y + 2 3z = 0由 apn = 0, am n = 0得 ，可取n= ( 3(a - 4), 3a,-a)，ax + (4 - a)y = 0u uurcos ob,n =所以2 3(a - 4) + 3a + a222u uur3| cos ob,n |=由已知可得所以22 3 | a - 4|34=a = -4a =解得（舍去），22 3(a - 4) + 3a + a32228 3 4 3 4所以 =(-,- )n333

6、uuuru uurcos pc,n =3pc = (0,2,-2 3)又，所以43pcpam所以与平面所成角的正弦值为4【母题来源三】【2017 年高考全国理数】如图，四棱锥 p-abcd 中，侧面 pa d 为等边三角形且垂直于底1ab = bc = ad,bad = abc = 90o,面 abcd，e 是 pd 的中点2（1）证明：直线ce平面 pab；m - ab - d（2）点 m 在棱 pc 上，且直线 bm 与底面 abcd 所成角为45 o，求二面角的余弦值10【答案】（1）见解析；（2）5pafef bf的中点 ，连结 ， 【解析】（1）取1e pd因为 是ef ad ef

7、= ad的中点，所以，24 bad = abc = 90 bc得 ad ，由1= ad又 bc，2所以，四边形 bcef 是平行四边形，ce bf ef bc又 bf 平面pab，ce 平面 pab，故ce 平面 pab（2）由已知得，以 为坐标原点，a的方向为 轴正方向，x为单位长，abba adab- xyz建立如图所示的空间直角坐标系 a，( )0,1, 3 ，( ) ( ) ( )0,0,0b 1,0,0c 1,1,0则 a，= (1,0,- 3) ，ab= (1,0,0) ，ppc( )()()m x, y, z 0 x 1= x -1, y, z , pm = (x, y -1,

8、z - 3)设，则bm，( )n = 0,0,1因为所以与底面所成的角为 45，而是底面 的法向量，abcdbmabcd2z( )=cos bm ,n = sin 45- + y - z = 0122，即 x2 ( )2x -1+ y+ z222l,1,3-3l pmpc= l ，则 x= y = z =又 在棱m上，设pc22(22=1+x =1-z =x=1y =1 y) 由解得舍去 ，66z = -222626(1-,1, )am = (1-,1, )所以 m，从而22225 0,(2 -2)x0+2y+ 6z = 0,()m am =设是平面的法向量，则即 00m= x , y , z

9、abm= 0,000ab=0, x0mm n10cos m,n =所以可取，m= (0, - 6, 2)于是m n5105- ab - d因此二面角 m的余弦值为【名师点睛】（1）求解本题要注意两点：两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，利用方程思想进行向量运算，要认真细心、准确计算m n（2）设 ， 分别为平面 ， 的法向量，则二面角 与互补或相等，故有|cos |cos|=求m n m nm nm n解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角【命题意图】高考对本部分内容的考查以能力为主，重点考查线面关系、面面关系、线面角及二面角的求解，考查数形结合的思想，空间想象能力及运算求解

10、能力等【命题规律】高考对该部分内容的考查主要有两种形式：一是利用立体几何的知识证明线面关系、面面关系；二是考查学生利用空间向量解决立体几何的能力，考查空间向量的坐标运算，以及平面的法向量等，难度属于中等偏上，解题时应熟练掌握空间向量的坐标表示和坐标运算，把空间立体几何问题转化为空间向量问题.【答题模板】运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤：（1）建立恰当的空间直角坐标系；（2）求出相关点的坐标；（3）写出向量坐标；（4）结合公式进行论证、计算；（5）转化为几何结论【方法总结】6 1.直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量判定方法设直线 l 的方向向量为 a=(a ，b ，c )，平面 ，

11、的法向量分别为 =(a ，b ，c )，v=(a ，b ，c )，则111222333（1）线面平行：laa =0a a b b c c =0；1 21 21 2（2）线面垂直：laa=ka =ka ，b =kb ，c =kc ；121212（3）面面平行：v=va =a ，b =b ，c =c ；232323（4）面面垂直：vv=0a a b b c c =0.2 32 32 3注意：用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理.如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线 ab，只需证明向量 a=b（r ）即可.若用

12、直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外.2.利用向量求异面直线所成的角把角的求解转化为向量运算，“转化”是求异面直线所成角的关键，一般地，异面直线 ac，bd 的夹角 的u uru u uurac bdu uru u uur余弦值为 cos =.| ac | bd |注意：两条异面直线所成的角 不一定是两直线的方向向量的夹角 ，即 cos =|cos |.3.利用向量求直线与平面所成的角（1）分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；（2）通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是

13、斜线和平面所成的角注意：直线和平面所成的角的正弦值等于平面法向量与直线方向向量夹角的余弦值的绝对值，即注意函数名称的变化设直线 l 的方向向量为 a=(a ，b ，c )，平面 的法向量为 =(a ，b ，c )，直线 l 与平面 的111333| a m |q夹角为 0q ，则sinq =| cos ,m |.a2| a | m |4.利用向量求二面角求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角注意：两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能为两法向量夹角的补角设平面， 的法

14、向| mv | cosq |=| cosm,v |.量分别为 =(a ，b ，c )，v=(a ，b ，c )，平面 ， 的夹角为 (0)，则| m | v |3334445.用向量解决探索性问题的方法7 （1）确定点在线段上的位置时，通常利用向量共线来求（2）确定点在平面内的位置时，充分利用平面向量基本定理表示出有关向量的坐标而不是直接设出 点的坐标（3）解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法解题- abcd中，底面 abcd为1【重庆西南大学附属中学校 20

15、19 届高三第十次月考数学试题】已知四棱锥 p，平面pad 平面= 2，pa pd ad ，点 ， 分别为 pd ， ab 上的菱形，dab=60abcde f= 2ed一点，且 pe， 2bf fa=（1）求证： ae / 平面 pfc ；（2）求 与平面 pcd所成角的正弦值pb2【陕西省汉中市 2019 届高三全真模拟考试数学】如图，四边形 abcd为矩形，平面 平面 abcd，abefefab ，baf = 9021， ad = ， ab = af = ，点 在线段 df 上.p8 （1）求证： af 平面abcd；6- ap-c（2）若二面角 d的余弦值为，求的长度.pf3- a b

16、 c3【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019 届高三第五次测评数学】如图，三棱柱abc中，平111aa = ac = 2cb = 90， acb .面 acc a 平面 abc，111a b c1 1（1）求证：平面 ab c平面；11（2）若 a a 与平面 abc所成的线面角为60，求二面角c ab c 的余弦值.-1119 4【重庆南开中学2019 届高三第四次教学检测考试数学试题】在直角梯形 abcd中 ，abcd ，ab ad ，ab = 2cd = 4 ， ， 分别为e f，bc 的中点（如图 1） 沿 ef 将四边形折起，使得 de bfadefcd（如图 2）（1）求证：平面 abfe 平面；efcd bec eb f- -的余弦值（2）若 ac，求二面角10 - a b c中，abc是等5【宁夏银川市 2019 届高三下学期质量检测数学试题】如图，在直三棱柱abc111腰直角三角形， ac= bc =1， aa = 2，点 d 是侧棱 aa 的上一点11（1）证明：当点 d 是