专题1.12 动力学中的临界极值问题(解析版)

1、 2020 年高考物理备考微专题精准突破专题 1.12 动力学中的临界极值问题【专题诠释】1临界或极值条件的标志(1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，表明题述的过程存在临界点(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程存在“起止点”，而这些起止点往往就对应临界状态(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程存在极值，这个极值点往往是临界点(4)若题目要求“最终加速度”“稳定速度”等，即是求收尾加速度或收尾速度2几种临界状态和其对应的临界条件临界状态速度达到最大两物体刚好分离绳刚好被拉直绳刚好被拉断n绳中张力等于绳能承受的最大拉

2、力【高考领航】【2019江苏高考】如图所示，质量相等的物块 a 和 b 叠放在水平地面上，左边缘对齐。a 与 b、b 与地面间的动摩擦因数均为 。先敲击 a，a 立即获得水平向右的初速度，在 b 上滑动距离 l 后停下。接着敲击 b，b 立即获得水平向右的初速度，a、b 都向右运动，左边缘再次对齐时恰好相对静止，此后两者一起运动至停下。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。求：(1)a 被敲击后获得的初速度大小 v ；a1 (2)在左边缘再次对齐的前、后，b 运动加速度的大小 a 、a ；bb(3)b 被敲击后获得的初速度大小 v 。b【答案】 (1) 2gl (2)3g g (3)2

3、2gl【解析】 a、b 的运动过程如图所示：(1)a 被敲击后，b 静止，a 向右运动，由牛顿第二定律知，a 的加速度大小 a gaa 在 b 上滑动时有 2a lv2aa解得：v 2gl。a(2)设 a、b 的质量均为 m对齐前，a 相对 b 滑动，b 所受合外力大小fmg2mg3mg由牛顿第二定律得 fma ，得 a 3gbb对齐后，a、b 相对静止，整体所受合外力大小 f2mg由牛顿第二定律得 f2ma ，得 g。abb(3)设 b 被敲击后，经过时间 t，a、b 达到共同速度 v，位移分别为 x 、x ，a 的加速度大小等于 aaba则 va t，vv a tbab1212x a t2

4、，x v t a t2baabb且 x x lab解得：v 2 2gl。b【2012重庆理综】某校举行托乒乓球跑步比赛，赛道为水平直道，比赛距离为x.比赛时，某同学将球置于球拍中心，以大小为 a 的加速度从静止开始做匀加速直线运动，当速度达到v 时，再以 v 做匀速直线运动00跑至终点整个过程中球一直保持在球拍中心不动比赛中，该同学在匀速直线运动阶段保持球拍的倾角2 为 ，如图所示设球在运动中受到的空气阻力大小与其速度大小成正比，方向与运动方向相反，不计球0与球拍之间的摩擦，球的质量为 m，重力加速度为 g.(1)求空气阻力大小与球速大小的比例系数k；(2)求在加速跑阶段球拍倾角 随速度 v

5、变化的关系式；(3)整个匀速跑阶段，若该同学速度仍为 v ，而球拍的倾角比 大了 并保持不变，不计球在球拍上的移动00引起的空气阻力变化，为保证到达终点前球不从球拍上距离中心为r 的下边沿掉落，求 应满足的条件【答案】见解析【解析】 (1)在匀速运动阶段，有 mgtan kv00mgtan 得 k0.v0(2)加速阶段，设球拍对球的支持力为 f ，有nf sin kv manf cos mgna v得 tan tan .g v00(3)以速度 v 匀速运动时，设空气阻力与重力的合力为f，有0mgcos 0f球拍倾角为 时，空气阻力与重力的合力不变，设球沿球拍面下滑的加速度大小为a，有 fsin

6、 ma0x vv 2a设匀速跑阶段所用时间为 t，有 t 0012球不从球拍上掉落的条件 at2r2rcos 得 sin 0 .x v 0v 2a0g2【方法技巧】处理临界问题的三种方法极限法 把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)暴3 露出来，以达到正确解决问题的目的临界问题存在多种可能，特别是有非此即彼两种可能时，假设法 或变化过程中可能出现临界条件、也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题将物理过程转化为数学表达式，根据数学表达式解出临界数学法条件【最新考向解码】【例 1】(2019安徽宣城高三上学期期末)质量为 m1 kg、大小不计的物块，在水平桌面上向右运动，经过

7、o 点时速度为 v4 m/s，此时对物块施加 f6 n 的方向向左的拉力，一段时间后撤去拉力，物块刚好能回到 o 点。已知与桌面间动摩擦因数为 0.2，重力加速度 g10 m/s2。求：(1)此过程中物块到 o 点的最远距离；(2)撤去 f 时物块到 o 点的距离。23【答案】 (1)1 m (2) m【解析】 (1)物块向右做匀减速运动时，设物块向左的加速度大小为a ，物块与 o 点的最远距离为 x ，11则有 fmgma1解得 a 8 m/s2；1由 v22a x ，1 1可得 x 1 m。1(2)物块向左运动过程中，有力 f 作用时做匀加速运动，设加速度大小为a ，最大速度大小为 v ，

8、加速位移21大小为 x ，撤去拉力 f 后做匀减速运动，设加速度大小为 a ，减速位移大小为 x ，则有233fmgma ，解得 a 4 m/s222mgma ，解得 2 m/s2a33由 v22a x12 2v22a x13 3x x x2314 2联立解得 x m，3323即撤去 f 时物块到 o 点的距离为 m。【例 2】(2019湖北黄冈中学模拟)如图所示，水平地面上有一车厢，车厢内固定的平台通过相同的弹簧把相同的物块 a、b 压在竖直侧壁和水平的顶板上，已知 a、b 与接触面间的动摩擦因数均为 ，车厢静止时，两弹簧长度相同，a 恰好不下滑，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为 g

9、.现使车厢沿水平方向加速运动，为保证 a、b 仍相对车厢静止，则()a速度可能向左，加速度可大于(1)gc加速度一定向左，不能超过 g【答案】：bb加速度一定向右，不能超过(1)gd加速度一定向左，不能超过(1)gmg【解析】：开始 a 恰好不下滑，对 a 分析有 f mgf f ，解 得 f ，此时弹簧处于压缩状态当ana弹弹mg车厢做加速运动时，为了保证 a 不下滑，侧壁对 a 的支持力必须大于等于 ，根据牛顿第二定律可知加速度方向一定向右对 b 分析，有 f f (f mg)ma，解得 a(1)g，故选项 b 正确，a、c、d弹bmnb错误【例 3】(2019辽宁葫芦岛六校联考)如图所示

10、，木板与水平地面间的夹角 可以随意改变，当 30时，可视为质点的一小木块恰好能沿着木板匀速下滑若让该小木块从木板的底端以大小恒定的初速率v 沿木板0向上运动，随着 的改变，小木块沿木板向上滑行的距离 x 将发生变化，重力加速度为 g.(1)求小木块与木板间的动摩擦因数；5 (2)当 角为何值时，小木块沿木板向上滑行的距离最小，并求出此最小值333v4g20【答案】 (1)(2)60【解析】 (1)当 30时，木块处于平衡状态，对木块受力分析：mgsin fnf mgcos 0n3解得 tan tan 30 .3(2)当 变化时，设沿斜面向上为正方向，木块的加速度为a，则mgsin mgcos

11、ma由 0v22ax 得0vv202x02g（sin cos ）2g 1 sin（）2其中 tan ，则当 90时 x 最小，即 60v3v2020所以 x 最小值为 x 2g（sin 60cos 60） 4gmin【微专题精练】1.如图所示，质量 m2 kg 的小球用细绳拴在倾角 37的光滑斜面上，此时，细绳平行于斜面g 取 10 m/s .2下列说法正确的是 ()a当斜面以 5 m/s 的加速度向右加速运动时，绳子拉力为 20 n2b当斜面以 5 m/s 的加速度向右加速运动时，绳子拉力为 30 n2c当斜面以 20 m/s 的加速度向右加速运动时，绳子拉力为 40 n2d当斜面以 20

12、m/s 的加速度向右加速运动时，绳子拉力为 60 n2【答案】 a【解析】小球刚好离开斜面时的临界条件是斜面对小球的弹力恰好为零斜面对小球的弹力恰好为零时，设绳子的拉力为 f，斜面的加速度为 a .以小球为研究对象，根据牛顿第二定律有fcos ma ，fsin mg000，代入数据解得 a 13.3 m2/.s0(1)由于 a 5 m/s a ，可见小球离开了斜面，此时小球的受力情况如图乙所示220设绳子与水平方向的夹角为 .以小球为研究对象，根据牛顿第二定律有f cos ma ，f sin mg0222代入数据解得 f 20 5 n，选项 c、d 错误22.(2019河北衡水中学二调)如图所

13、示，在光滑水平面上有一辆小车a，其质量为 m 2.0 kg，小车上放一个a物体 b，其质量为 m 1.0 kg.如图甲所示，给 b 一个水平推力 f，当 f 增大到稍大于 3.0 n 时，a、b 开始b相对滑动如果撤去f，对 a 施加一水平推力 f，如图乙所示要使a、b 不相对滑动，则f的最大值 fmax为()a2.0 nc6.0 n【答案】cb3.0 nd9.0 n【解析】：.根据题图甲所示，设 a，b 间的静摩擦力达到最大值 ffmax 时，系统的加速度为 a.根据牛顿第二定律，对 a、b 整体有 f(m m )a，ab对 a 有 f m a，fmaxa7 代入数据解得 f 2.0 n.f

14、max根据题图乙所示情况，设 a、b 刚开始滑动时系统的加速度为 a，根据牛顿第二定律得：以 b 为研究对象有 f m afmaxb以 a、b 整体为研究对象，有 f (m m )amaxab代入数据解得 f 6.0 n故 c 正确max3.如图所示，质量均为 m 的 a、b 两物体叠放在竖直弹簧上并保持静止，用大小等于 mg 的恒力 f 向上拉 b，运动距离 h 时，b 与 a 分离下列说法正确的是()ab 和 a 刚分离时，弹簧长度等于原长bb 和 a 刚分离时，它们的加速度为 gc弹簧的 劲度系数等于mgd在 b 与 a 分离之前，它们做匀加速直线运动h【答案】c【解析】a、b 分离前，

15、a、b 共同做加速运动，由于 f 是恒力，而弹力是变力，故 a、b 做变加速直线运动，当两物体要分离时，f 0，对 b：fmgma，ab对 a：kxmgma.即 fkx 时，a、b 分离，此时弹簧处于压缩状态，由 fmg，设用恒力 f 拉 b 前弹簧压缩量为 x ，0又 2mgkx ，hx x，00mg解以上各式得 k ，综上所述，只有 c 项正确h4.如图所示，悬挂于 o 点的轻质弹簧，劲度系数 k100 n/m，其下端拴一质量 m1 kg 的小物体 a，紧挨物体 a 有一质量 m2 kg 的物体 b，现对 b 施加一个竖直向上、大小为 38 n 的力 f，系统处于静止状态，现突然改变力 f

16、 的大小，使物体 a、b 以加速度 a2 m/s2 匀加速下降，直到 a、b 两物体分离，取 g10 m/s2，则()8 a两物体刚开始匀加速下降时，力 f 大小为 8 nb两物体分离时，弹簧刚好恢复原长c改变力 f 的大小后经 0.4 s a、b 两物体分离d从改变力 f 到两物体分离的过程中，系统克服力 f 做的功为 3.84 j【答案】cd【解析】系统静止时，弹簧处于压缩状态，令压缩量为x ，则f (mm)gkx ，代入数据得x 0.08 m，1011a、b 两物体刚开始匀加速下降时有 kx (mm)gf(mm)a，代入数据得 f32 n，a 错；设经时间 t1两物体分离，a、b 间的弹

17、力为 0，弹簧处于拉伸状态，令拉伸量为 x ，则对 a 有 mgkx ma，代入数据221得 x 0.08 m，b 错；a、b 分离时 a、b 两物体组成的系统下降的距离为 xx x 0.16 m，而 x at2，2212代入数据得 t0.4 s，c 对；因刚开始和两物体分离时，弹簧的形变量一样，整个过程弹簧弹力做功为零，1由动能定理知(mm)gxw (mm)v2，联立 vat 并代入数据得 w 3.84 j，d 对2ff5.(2019陕西宝鸡中学月考)不可伸长的轻绳跨过质量不计的滑轮，绳的一端系一质量m15 kg 的重物，重物静止于地面上，有一质量 m10 kg 的小猴从绳的另一端沿绳上爬，

18、如图所示，不计滑轮摩擦，在重物不离开地面的条件下，小猴向上爬的最大加速度为(g 取 10 m/s2)()a5 m/s2b10 m/s2d25 m/s2c15 m/s2【答案】：a【解析】：小猴以最大加速度向上爬行时，重物对地压力为零，故小猴对细绳的拉力等于重物的重力，即fmg；小猴对细绳的拉力等于细绳对小猴的拉力，即 ff；对小猴受力分析，受重力和拉力，根据牛顿（mm）g第二定律，有 fmgma，解得 a5 m/s2，a 正确m9 6.如图(a)，一物块在 t0 时刻滑上一固定斜面，其运动的 v -t 图线如图(b)所示若重力加速度及图中的 v 、v 、t 均为已知量，则可求出 ()011a斜

19、面的倾角b物块的质量c物块与斜面间的动摩擦因数【答案】：acdd物块沿斜面向上滑行的最大高度vv【解析】：根据牛顿第二定律，向上滑行过程 0gsin gcos ，向下滑行过程 1gsin gcos ，整理tt11v v1，从而可计算出斜面的倾斜角度 以及动摩擦因数，选项 a、c 对小球滑上斜面的初可得 gsin 02t1v速度 v 已知，向上滑行过程为匀变速直线运动，末速度0，那么平均速度即 0，所以沿斜面向上滑行的最远20v2v2v v距离 s 0t ，根据斜面的倾斜角度可计算出向上滑行的最大高度ssin 0t 02gt1v v1，选 项 d 对 仅1v 04g011根据速度时间图象，无法求

20、出物块质量，选项 b 错7.如图所示，水平面上有一个足够长的木板a, 上面叠放着物块 b.已知 a、b 的质量均为 m，a 与地面间动摩擦因数 0.2, a 与 b 间动摩擦因数 0.1，重力加速度 g 取 10 m/s2，若给 a 板一个水平向右的初速度，12在以后的运动过程中，a、b 加速度的大小可能为()aa 5 m/s a 1 m/sba 2 m/s a 2 m/s2,22,2ababca 3 m/s a 1 m/sda 1 m/s a 1 m/s2,22,2abab【答案】：ac【解析】：a 与 b 间动摩擦因数 0.1，则 b 物体的最大加速度为 a g1 m/s2；物块 a 向右

21、滑动，则2bm2 mg 2mg地面给 a 的滑动摩擦力向左，大小为f 2mg；开始时 b 对 a 的摩擦力方向向左，则a 21ma1a1 2mg mg5 m/s2；当后来 b 相对 a 向前滑动时，则 a 1 3 m/s2，故选 a、c.2ma28.(2019安徽芜湖、马鞍山质检)两物体 a、b 并排放在水平地面上，且两物体接触面为竖直面，现用一水平推力 f 作用在物体 a 上，使 a、b 由静止开始一起向右做匀加速运动，如图(a)所示，在 a、b 的速度达到 6m/s 时，撤去推力 f.已知 a、b 质量分别为 m 1 kg、m 3 kg，a 与地面间的动摩擦因数 0.3，b 与地ab10

22、面间没有摩擦，b 物体运动的 v t 图象如图(b)所示g 取 10 m/s2，求：(1)推力 f 的大小(2)a 物体刚停止运动时，物体 a、b 之间的距离【答案】：(1)15 n (2)6 m【解析】：(1)在水平推力 f 作用下，设物体 a、b 一起做匀加速运动的加速度为 a，由 b 物体的 v t 图象得a3 m/s2.对于 a、b 整体，由牛顿第二定律得 fm g(m m )a，代入数据解得 f15 n.aab(2)设物体 a 匀减速运动的时间为 t，撤去推力 f 后，a、b 两物体分离，a 在摩擦力作用下做匀减速直线运动，b 做匀速运动，对于 a 物体有 m gm a ，a g3

23、m/s2，aa aav v a t0，解得 t2 s，t0a1物体 a 的位移为 x v t v t6 m，2a0物体 b 的位移为 x v t12 m，所以，a 物体刚停止运动时，物体 a、b 之间的距离为b0xx 6 m.xab9(2019成都龙泉二中月考)一平台的局部如图甲所示，水平面光滑，竖直面粗糙，物体b 与竖直面动摩擦因数 0.5，右角上固定一定滑轮，在水平面上放着一质量m 1.0 kg、大小可忽略的物块a，一轻绳绕过a定滑轮，轻绳左端系在物块 a 上，右端系住物块 b，物块 b 质量 m 1.0 kg，物 块 b 刚好可与竖直面接触起b始时令两物体都处于静止状态，绳被拉直，设物体a 距滑轮足够远，台面足够高，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，忽略滑轮质量及其与轴之间的摩擦，g 取 10 m/s2，求：(1)同时由静止释放 a、b，经 t1 s，则 a 的速度多大；(2)同时由静止释放 a、b，同时也对物块 b 施加力 f，方向水平向左，大小随时间变化规律如图乙所示，求物块 b 运动过程中的最大速度和物块 b 经多长时间停止运动11 【答案】：(1)5 m/s (2)2.5 m/s 1.7 s【解析】：(1)对 a、b 系统：m g(m m )abab1a g5 m/s22vat5