无穷大与无穷小极限运算法则

1、 拉格朗日曾用无穷小分析的方法拉格朗日曾用无穷小分析的方法,系统系统 地建立了动力学基础地建立了动力学基础,创立了创立了“分析力学分析力学”. 牛顿对微积分的探讨牛顿对微积分的探讨,可以说使用了无可以说使用了无 穷小的方法穷小的方法. 的理论称为的理论称为“无穷小量分析无穷小量分析”. 常常把整个变量常常把整个变量 欧拉于欧拉于1748年写的二卷名著书名冠以年写的二卷名著书名冠以 无穷小分析引论无穷小分析引论. 即所谓无穷小量即所谓无穷小量. 英国数学家、物理学家英国数学家、物理学家(16421727) newton lagrange 意大利数学家、力学家意大利数学家、力学家(17361813

2、) 瑞士数学家瑞士数学家(1707 1783) euler 都可以转化为一种简单而重都可以转化为一种简单而重 要的变量要的变量, 数学分析的历史表明数学分析的历史表明, 较复杂的变量较复杂的变量, 很多变化状态比很多变化状态比 本节讨论极限的求法。利用极限的定义，从变本节讨论极限的求法。利用极限的定义，从变 量的变化趋势来观察函数的极限，对于比较复杂量的变化趋势来观察函数的极限，对于比较复杂 的函数难于实现。为此需要介绍极限的运算法则。的函数难于实现。为此需要介绍极限的运算法则。 首先来介绍无穷小。首先来介绍无穷小。 在实际应用中，经常会遇到极限为在实际应用中，经常会遇到极限为0的变量。的变量

3、。 对于这种变量不仅具有实际意义，而且更具有理对于这种变量不仅具有实际意义，而且更具有理 论价值，值得我们单独给出定义。论价值，值得我们单独给出定义。 1. 定义定义 极限为零的极限为零的变量变量称为称为无穷小量无穷小量, , 简称简称 如如,是是函数函数xsin,0时时当当 x ,时时当当 x是是函数函数 x xsin ,2时时当当 x是是函函数数2 x 无穷小是指无穷小是指 函数变化的趋势函数变化的趋势. ,时时当当 n. )1( 是无穷小是无穷小数列数列 n n ,1时时当当 x .穷小穷小皆非无皆非无 ;无穷小无穷小 ;无穷小无穷小 ;无穷小无穷小 无穷小无穷小. . 一、无穷小一、无

4、穷小 在某个过程中在某个过程中 定义定义1 1 ),(0 不论它多么小不论它多么小 0 使得当使得当 |0 0 xx 恒有恒有 | )(|xf ),0( x或或 ),|(xx 或或 ,)( 0 时的无穷小时的无穷小当当则称则称xxxf 0)(lim 0 xf xx 记作记作 1) 无穷小是变量无穷小是变量,不能与很小很小的数混淆不能与很小很小的数混淆; 2) 零是可以作为无穷小的零是可以作为无穷小的唯一的数唯一的数. 注注 “无穷小量无穷小量”并不是表达量的大小并不是表达量的大小,而是表而是表 达它的变化状态的达它的变化状态的.“无限制变小的量无限制变小的量” )( x或或 ).0)(lim(

5、 xf x 或或 3) 称函数为无穷小，必须指明自变量的变化过程；称函数为无穷小，必须指明自变量的变化过程； 2.无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系: 定理定理 1 1 ),()()(lim 0 xaxfaxf xx 其中其中)(x 是当是当 0 xx 时的无穷小时的无穷小. 证证 必要性必要性,)(lim 0 axf xx 设设 ,)()(axfx 令令 , 0)(lim 0 x xx 则有则有).()(xaxf 充分性充分性),()(xaxf 设设 ,)( 0时的无穷小 时的无穷小是当是当其中其中xxx )(lim)(lim 00 xaxf xxxx 则则)(lim 0 xa x

6、x .a 意义意义1.将一般极限问题转化为特殊极限问题将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷无穷 小小); ).(,)( )(. 2 0 xaxf xxf 误误差差为为 附附近近的的近近似似表表达达式式在在给给出出了了函函数数 3.无穷小的运算性质无穷小的运算性质: 定理定理2 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和有限个无穷小的代数和 仍是无穷小仍是无穷小. 证证,时的两个无穷小时的两个无穷小是当是当及及设设 x 使得使得, 0, 0, 0 21 nn ; 2 1 时恒有时恒有当当nx; 2 2 时恒有时恒有当当nx ,max 21 nnn 取取恒有恒有时时当当,nx 22 , )(

7、0 x 注意注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. . 是无穷小，是无穷小，时时例如例如 n n 1 , .1 1 不是无穷小不是无穷小之和为之和为个个但但 n n 例例 ). 21 (lim 222 n n nn n 求求 解解是无穷小之和是无穷小之和时时, n先变形再求极限先变形再求极限. 2222 21 lim) 21 (lim n n n n nn nn 2 )1( 2 1 lim n nn n ) 1 1( 2 1 lim n n . 2 1 定理定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 证证 内有界，内有界，在在设函

8、数设函数),( 10 0 xuu . 0, 0, 0 101 mu xxm 恒有恒有 时时使得当使得当则则 , 0时的无穷小 时的无穷小是当是当又设又设xx . 0, 0, 0 202 m xx 恒有恒有 时时使得当使得当 ,min 21 取取恒有恒有时时则当则当,0 0 xx uu m m , ., 0 为无穷小为无穷小时时当当 uxx 推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘有极限的变量与无穷小的乘 积是无穷小积是无穷小. 推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小. x x

9、 x xx 1 arctan, 1 sin,0, 2 时时当当例如例如都是无穷小都是无穷小 o y x 例例1. 求求. sin lim x x x 解解: 1sinx 0 1 lim xx 利用定理利用定理 3 可知可知 .0 sin lim x x x x x y sin 二、无穷大二、无穷大 绝对值无限增大的绝对值无限增大的变量变量称为称为无穷大无穷大. 定义定义 2 2 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数m( (不论它多么不论它多么 大大),),总存在正数总存在正数 ( (或正数或正数x),),使得对于适合不等式使得对于适合不等式 0 0 xx( (或或 xx) )的一切的一

10、切x, ,所对应的函数所对应的函数 值值)(xf都满足不等式都满足不等式 mxf )(, , 则称函数则称函数)(xf当当 0 xx ( (或或 x) )时为无穷大时为无穷大, , 记作记作 ).)(lim()(lim 0 xfxf xxx 或或 特殊情形：正无穷大，负无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大 )(lim()(lim )()( 00 xfxf x xx x xx 或或 注意注意 1.无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆; .)(lim. 2 0 认为极限存在认为极限存在切勿将切勿将 xf xx 3. 无穷大是一种特殊的无界变量无穷大是一种特殊的无界变量,但是

11、无但是无 界变量未必是无穷大界变量未必是无穷大. 如如xxysin 是无界函数是无界函数, 但不是但不是无穷大无穷大. 因为取因为取, 2 2时时 nxx n 2 2) 2 2( nnf 而取而取,2时时 nxx n . 0)2( nf )( n当当 所以所以,时时 x f (x)不是不是无穷大无穷大! ! 1 1 lim 1 x x 证明证明 1 1 x y 1 证证 , 0 m , 1 1 m x 要使要使 , 1 1 m x 只要只要 , 1 m 取取 ,10时时当当 x . 1 1 m x 有有. 1 1 lim 1 x x ,)(lim 0 xf xx 如果如果 例例 |1| x解出

12、解出 )( 0 xfyxx 是函数是函数则直线则直线 的图形的的图形的铅直渐近线铅直渐近线(vertical asymptote). 结论结论 x y o 1 铅直渐近线铅直渐近线 三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系 定理定理4 4 在同一过程中在同一过程中, ,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小; ; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. . 证证 .)(lim 0 xf xx 设设 , 1 )( 0, 0, 0 0 xf xx 恒有恒有 时时使得当使得当 . )( 1 , 0 为无穷小为无穷小时时当当 xf xx . 0)(, 0)(lim,

13、0 xfxf xx 且且设设反之反之 , 1 )( 0, 0, 0 0 m xf xxm 恒有恒有 时时使得当使得当 . )( 1 , 0 为无穷大为无穷大时时当当 xf xx 意义意义 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小都可归结为关于无穷小 的讨论的讨论. 两个正两个正(负负)无穷大之和仍为正无穷大之和仍为正(负负)无穷大无穷大; 有界变量与无穷大的和、差仍为无穷大有界变量与无穷大的和、差仍为无穷大; 有非零极限的变量有非零极限的变量(或无穷大或无穷大)与无穷大之与无穷大之 积仍为无穷大积仍为无穷大; 用无零值有界变量去除无穷大仍为无穷用无零值有界变量去除无穷大仍为无穷

14、大大. 容易证明容易证明 例例 )1(limxx x 求求 解解)1(limxx x 四、极限运算法则四、极限运算法则 定理定理1 . 0, )( )( lim)3( ;)()(lim)2( ;)()(lim)1( ,)(lim,)(lim b b a xg xf baxgxf baxgxf bxgaxf 其中其中 则则设设 证证.)(lim,)(limbxgaxf . 0, 0.)(,)( 其中其中bxgaxf 由无穷小运算法则由无穷小运算法则,得得 泛指任一种极限泛指任一种极限)(limxf )()()(baxgxf . 0.)1( 成立成立 )()()(baxgxf abba )( )(

15、ba. 0.)2(成立成立 b a xg xf )( )( b a b a )( bb ab . 0 ab , 0, 0 b又又, 0 ,0 0 时时当当 xx , 2 b bbbb 2 1 b 2 1 , 2 1 )( 2 bbb , 2 )( 1 2 bbb 故故有界，有界， .)3(成立成立 注注此定理对于数列同样成立此定理对于数列同样成立 此定理证明的基本原则：此定理证明的基本原则： )()()(limxaxfaxf (1),(2)可推广到任意有限个具有极限的函数可推广到任意有限个具有极限的函数 (2)有两个重要的推论有两个重要的推论 推论推论1 1 ).(lim)(lim ,)(li

16、m xfcxcf cxf 则则为常数为常数而而存在存在如果如果 常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面. 推论推论2 2 .)(lim)(lim ,)(lim nn xfxf nxf 则则是正整数是正整数而而存在存在如果如果 定理的条件：定理的条件：)(lim),(limxgxf存在存在 商的情形还须加上分母的极限不为商的情形还须加上分母的极限不为0 定理简言之即是：和、差、积、商的极限定理简言之即是：和、差、积、商的极限 等于极限的和、差、积、商等于极限的和、差、积、商 定理中极限号下面没有指明极限过程，是指对定理中极限号下面没有指明极限过程，是指对 任何一个过程都成立任何

17、一个过程都成立 定理定理2 2 ,limaxn n 那末那末 )(lim)1( nn n yx , nn yx 和和设有数列设有数列 ,limbyn n 如果如果 nn n yxlim)2( ,0, 2 , 10)3(时时且且当当 bnyn n n n y x lim ;ba ;ba . b a 提示提示: : 因为数列是一种特殊的函数因为数列是一种特殊的函数 , ,故此定理可由故此定理可由 前面的定理直接得出结论前面的定理直接得出结论 . . 定理定理3),()(xx 如果如果 . ba 那末那末 证证),()()(xxxf 令令 .0)( xf则则由定理由定理1(1), )()(lim)(

18、limxxxf )(lim)(limxx . ba 由保号性定理由保号性定理, 0)(lim xf . ba 即即, 0 ba 故故 ,)(limax 而而 ,)(limbx baxgxf )()(lim 有有 , 0)(),( 0 xfxu内有内有若在若在 . 0 a则必有则必有 有有 注意注意 应用四则运算法则时应用四则运算法则时,要注意条件要注意条件: 参加运算的是参加运算的是有限有限个函数个函数,它们的极限它们的极限 商的极限要求分母的极限不为商的极限要求分母的极限不为0. 不要随便参加运算不要随便参加运算, 因为因为 不是数 不是数,它是 它是 表示函数的一种性态表示函数的一种性态.

19、 都存在都存在, 五、求极限方法举例五、求极限方法举例 解解)35(lim 2 2 xx x 3lim5limlim 22 2 2 xxx xx 3limlim5)lim( 22 2 2 xxx xx 32522 , 03 . 4 3 422 3 例例 35 42 lim 2 3 2 xx x x 求求 4limlim2 2 3 2 xx x )35(lim 2 2 xx x 35 42 lim 2 3 2 xx x x 小小 结结 ,)()1( 1 10n nn axaxaxf 设设 n n xx n xxxx axaxaxf 1 10 )lim()lim()(lim 000 n nn ax

20、axa 1 0100 ).( 0 xf ,0)(, )( )( )()2( 0 xq xq xp xf且且设设 )(lim )(lim )(lim 0 0 0 xq xp xf xx xx xx )( )( 0 0 xq xp ).( 0 xf 则有则有 则有则有 ., 0)( 0 则商的法则不能应用则商的法则不能应用若若 xq 解解 )32(lim 2 1 xx x , 0 商的法则不能用商的法则不能用 )14(lim 1 x x 又又, 03 14 32 lim 2 1 x xx x . 0 3 0 由由无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系, 例例 32 14 lim 2 1 xx x

21、 x 求求 32 14 lim 2 1 xx x x . 得得 解解 例例 3 32 lim 2 3 x xx x 求求 ,3时时x )3( )1)(3( lim 3 x xx x )1(lim 3 x x ) 0 0 (型型 消去零因子法消去零因子法 再求极限再求极限. 3 32 lim 2 3 x xx x 方方 法法, 3 x 4 分子分子,分母的极限都是零分母的极限都是零. 先约去不为零的无穷小因子先约去不为零的无穷小因子 例例 53 123 lim 3 2 xx xx x 求求 解解,时时 x )(型型 3 x . 0 1 0 无穷小因子析出法无穷小因子析出法 分子分子,分母的极限均

22、为无穷大分母的极限均为无穷大. 方方 法法先用先用去除分子分母去除分子分母,分出无穷小分出无穷小, 再求极限再求极限. 32 32 53 1 123 lim xx xxx x 53 123 lim 3 2 xx xx x 先将分子、分母同除以先将分子、分母同除以x 的最高次幂的最高次幂, 无穷小分出法无穷小分出法 以分出以分出 再求极限再求极限. x求有理函数当求有理函数当的极限时的极限时, 无穷小无穷小, ), 0, 0( 00 为非负整数为非负整数nmba n nn m mm x bxbxb axaxa 1 10 1 10 lim 小小 结结 mn 0 0 b a mn 0 mn 例例)s

23、in3cos2( 323 52 lim 5 3 xx xx xx x 求求 解解 323 52 lim 5 3 xx xx x |sin3cos2|xx )sin3cos2( 323 52 lim 5 3 xx xx xx x 0 6 , 0 例例 )12)(12( 1 53 1 31 1 lim nn n 求求 解解 2 1 先作恒等变形先作恒等变形, 和式的项数随着和式的项数随着n在变化在变化, 再求极限再求极限. 使和式的项数固定使和式的项数固定, 原式原式= 12 1 12 1 5 1 3 1 3 1 1 2 1 lim nn n 12 1 1 2 1 lim n n 不能用运算法则不

24、能用运算法则. 方方 法法 例例)13(lim 22 xxx x 求求 解解 )(型型 13 13 lim 22 xxx x x 原式原式 2 1 1 3 1 1 3 lim xx x x 2 3 “根式转移根式转移”法法 化为化为 型型 不满足每一项极限都存在的条件不满足每一项极限都存在的条件,不能直接不能直接 应用四则运算法则应用四则运算法则. 分子有理化分子有理化 )(型型 1 2 1 1 lim)1( 2 1 xx x 求求 解解 原式原式= 1 21 lim 2 1 x x x)1)(1( 1 lim 1 xx x x 2 1 50 3020 )12( )23()32( lim)2(

25、 x xx x 求求 解解 原式原式= 30 2 3 例例 1 求) 12(lim 1 x x 例例 解解 解解 ) 35(lim ) 1(lim 35 1 lim 2 2 3 2 2 3 2 xx x xx x x x x 3 7 3102 12 2 3 例例 2 求 35 1 lim 2 3 2 xx x x 例例 解解 ) 35(lim ) 1(lim 35 1 lim 2 2 3 2 2 3 2 xx x xx x x x x 3 7 3102 12 2 3 11121lim21lim2lim) 12(lim 1 1 1 1 xxx xxxx 11121lim21lim2lim) 12

26、(lim 1 1 1 1 xxx xxxx 11121lim21lim2lim) 12(lim 1 1 1 1 xxx xxxx 11121lim21lim2lim) 12(lim 1 1 1 1 xxx xxxx x x = 3 = 3 时分母为时分母为 0 !0 ! 3 1 lim 3 x x x 9 34 lim 2 2 3 x xx x )3)(3( ) 1)(3( lim 3 xx xx x 6 2 3 1 9 34 lim 2 2 3 x xx x 解解 设函数设函数是由函数是由函数与函数与函数 复合而成复合而成,)( 0 xu 在在 ,),( 00 时时当当 xux 有定义有定义

27、, ,)(lim 0 0 uxg xx 若若 ,)(lim 0 auf uu 且存在且存在, 0 0 有有则则 )(lim 0 uf uu )(lim 0 xgf xx .a 定理定理4 (复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则) )(xgf y )(uf y )(xg u )(xgf y ,)( 0 uxg 六、复合函数求极限六、复合函数求极限 证证知知由由auf au )(lim0, 0 有有时时使当使当,|0 au |)(|auf 得得又由又由ax xx )(lim 0 00 ，对上述对上述 有有时时使当使当,|0 0 xx |)(|ax ax )( 又又 |)(|0ax |)(|

28、axf 由极限定义得由极限定义得aufxf auxx )(lim)(lim 0 )()(xguf和和 )(xgu )(lim 0 xgf xx )(lim 0 0 xgu xx 化为化为 ).(lim 0 uf uu 求求 如果函数如果函数满足满足该定理的条件该定理的条件, 那么作代换那么作代换可把求可把求 )(lim 0 uf uu )(lim 0 xgf xx .a 例例 , 0 a设设 求极限求极限: :ax ax lim 3 解解ax 3 可看作可看作与与axu 复合而成复合而成. .,时时当当ax , 0u uuf )( 3 并且并且 u u0 lim 3 , 0因而因而 ax ax

29、 lim 3 u u0 lim 3 . 0 u 例例. 求求 解解: 令令 . 9 3 lim 2 3 x x x 9 3 2 x x u 已知已知 u x3 lim 6 1 原式原式 =u u 6 1 lim 6 1 6 6 例例 解解 ,)1( 6 1 xu 令令, 1u 1 1 lim 2 3 1 u u u 原式原式= 1 1 lim 2 1 u uu u 2 3 这种用变量代换方法求极限这种用变量代换方法求极限, 实质就是复合函数求极限法实质就是复合函数求极限法. , 0 x则则故故 11 11 lim 0 x x x 求求 3 1.极限的四则运算法则及其推论极限的四则运算法则及其推

30、论; 2.极限求法极限求法: 对某些不能直接利用四则运算法则的极限对某些不能直接利用四则运算法则的极限, 有时可采用下述方法有时可采用下述方法: (1) 利用利用无穷小与无穷大互为倒数的关系无穷小与无穷大互为倒数的关系; (2) 利用利用无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小的无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小的 性质性质; (4) 无穷小因子分出法无穷小因子分出法; (3) 消去零因子法消去零因子法; 七、总结七、总结 (6) 直接利用无穷大的概念判断直接利用无穷大的概念判断; (5) 根式转移法根式转移法; (7) 利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限. 为了对求极限的方法有全面的了解为了对求极限的方法有全面的了解,指出指出 (8) 利用夹逼定理利用夹逼定理; (9) 利用连续函数的性质利用连续函数