广东深圳中学高中数学必修二导学案17点到直线的距离公式

1、17 .点到直线的距离公式贺险峰学习目标1 理解点到直线距离公式的推导，掌握点到直线的距离公式.2 会用点到直线距离公式求解两条平行直线间的距离，掌握两条平行直线间的距离公式.3 会通过方程的思想，根据已知若干点到直线的距离大小（或关系）求点的坐标或直线的方程3一、夯实基础基础梳理1.点到直线的距离平面上一点P xo , yo到一条直线I : Ax By C 0的距离d .2 两平行线间的距离已知li、I2是平行线，求li、I2间距离的方法: 求一条直线上一点到另一条直线的距离;C20，则li与l2之间的距离d设 l1 : Ax By G 0 , l2 : Ax By基础达标1.已知m 0,则

2、点P m, 2m到直线y x的距离是（2A. m22 .动点P在直线xB.3 2m2y 40 上,5m2O为原点，C.1 m2OP的最小值为（D.A.10B. 2 2C.6D. 23 .已知点到直线0的距离为1,则aA.2B.C.D.214 .已知直线l1的方程为3x4y直线12的方程为6x 8y0,则直线l1与l2的距离为（）A. 85C.D. 85 .直线l过点P 1, 2，且 M 2 , 3N 4,5到I的距离相等，求直线l的方程.二、学习指引自主探究1.学生作业：推导点到直线的距离公式已知点P x0 , y0，直线l : Ax By请用你自己的方法求点 P到直线l的距离.2 .两条平行

3、直线的距离(1 )猜想：与两条平行直线 li : Ax By G 0 , /Ax By C?0距离相等的直线方程为.请证明.(2)如图，A、B是平面内两个距离为 a定点， 分别过A、B作相互平行的直线li、I2，旋转两直线, 研究它们之间距离的取值范围.(3)之前这样一个题：已知直线I2: x y 6 0截得的线段长为3 .点到直线的距离公式的应用(1 )直线li与I?相交，求这样的直线有几条?(2)求直线Ax By(3)直线I过P，且 案例分析1 .求过直线I1 : y【解析】设所求直线整理得31x 3I过点P 3, 1且被两平行线I1 : x y 10 ,5,求I的方程你能否利用两平行直线

4、的距离进行解决?li与I2所成角的角平分线所在的直线方程.请说出至少两种方法,0关于点xo , yo对称的直线方程请说出至少两种方法.N到I的距离相等，求直线I的线方程请说出至少两种方法.3x y 0的交点并且与原点相距为1的直线I的方程.I的方程为3y10 3x yy 100 .由点到直线的距离公式可知，d102313解得代入所设，得到直线I的方程为x1 或 4x 3y 52 .在函数y 4x2的图象上求一点使P到直线4x5的距离最短，并求这个最短的17距离.【解析】直线方程化为4x y2P a, 4a ，则点P到直线的距离为4a 4a2521a 2d .v421 221 42当a 1时，点

5、P 1, 1到直线的距离最短，最短距离为 土卫.2 217说明：也可以平移直线 y 4x 5，当直线与抛物线 y 4x2 “相切”时，两条平行直线的距 离即为所求.3 .求证直线 L : m 2 x 1 m y 6 4m 0与点P 4,1的距离不等于 3.【解析】方法一：由点线距离公式，f m 2 W4 1 m W 16 4m|m 3|得 d . I _ I _ .222假设 d 3,得到 m3 9 m 21 m ，整理得 17m2 48m 36 0 .22Q 48 4 17 36 140 0 , 17m 48m 36 0 无实根.d 3，即直线L与点P 4,1的距离不等于3.说明：方法二：把

6、直线 L : m 2 x 1 m y 6 4m 0按参数m整理，得 xy4m2xy60 .x y 4 0x 2由，解得.所以直线L恒过定点Q 2, 2 .2x y 60y 2点P到直线L取最大距离时，PQ L ,即最大距离是 PQ . 24 22 1 2, 5 .Q 53 , 直线L与点P 4,1的距离不等于3.说明：法一妙在反证法思路的运用.法二妙在运用直线Ax Bp C1A2X B?y C2 0恒过一个定点的知识.4 .求与直线l1 : 2x 3y 1 0与I? : 4x 6y 5 0的平行且距离相等的直线方程.【解析】直线I1的方程化为4x 6y 20 .设所求直线的方程为 4x 6y

7、C 0,则所以所求直线方程为 4x 6y 70.25 .求直线I1 : y 2x 3关于直线I : y x 1对称的直线D的方程.y 2x 3【解析】方法一：由y知直线ii与I的交点坐标为2, i,y x 1设直线I2的方程为y 1k x 2，即 kx y 2k 10 .在直线I上任取一点1, 2，由题设知点1, 2到直线h、J的距离相等.由点到直线的距离公式得k 2 2k 1解得k 2k2舍去直线I2的方程为x 2y 0 .P x, y，则在直线I1上必存在一点R xo, y。与点P关于直线I对秒。由题设:直线PP1与直线I垂直,且线段y0y 11X。x，变形得x yyyxx 1yx22方法

8、二：设所求直线上一点代入直线I1 : y 2x 3，得x 12整理得x 2y 0 ,所以所求直线方程为三、能力提升能力闯关PP1的中点F2 - x, - y在直线I 上.2 211，y 13,x 2y 0 .1.点P 2, 1到线段：x y 2 0 2 w x 1上的点的最近距离是.2 .在直线x 3y 0求一点P，使它到原点的距离与到直线 x 3y 2 0的距离相等，则P 点坐标是.3 .已知两条直线h : 7x8y 9 0 和 I2 : 7x 8y 30 ,直线I与I1、J的距离分别为d1、d2，满足d1 : d21 : 2的直线I有几条？请你探求它们的方程.拓展迁移4. ABC中，A 3

9、, 3 , B 2,2 , C 7, 1 .求 A的平分线AD所在直线的方程.5. 已知点P到两个定点M 1, 0、N 1, 0距离的比为.2，点N到直线PM的距离为1, 求直线PN的方程.6 .已知n条直线I1: x yC10 , C 2 , I2 : x yC20 ,I3 :x yC30,，In : x y Cn 0 （其中G C2 C3 L Cn）,在这n条平行直线中，每相邻两条直线之间的距离顺次为2、3、4、n .(1) 求 Cn ；(2) 求x y Cn 0与x轴、y轴围成图形的面积.例如有课程小结 点到直线的距离就是点与直线上点的距离的最小值. 注意到解决距离问题的灵活性， 些点到

10、直线的距离问题并不需要利用距离公式.17点到直线的距离公式一、夯实基础基础梳理1Axo ByoC.2.CiC2#2B2a2B2基础达标1 . E.2 .B.3.c.4 . B5 . 3x 2y7o或4xy6 o直线I与MN平行时，斜率为4，故直线方程为y 24 x 1，即 4xy6o;当1经过MN的中点时,MN的中点为 3 ,1，直线I的斜率为32故直线方程为y 232 x1，即 3x 2y 7o.综上所述，所求直线为3x 2y 7 o 或 4x y6 o .说明：（1）本题通常容易少写一个方程.（2）也可用点到直线的距离公式解决.二、学习指引1 .学生自行推导距离公式，老师进行评价.下面介绍

11、一种方法：设直线I的方程为Ax By C 0 （ A , B不全为0）PQ I于Q，则PQ即为所求，设P xo , yo , Q x , y，则有Ax By C 0.K K K K K K K K B x xoAyyo0.K K K K 22将式整理为Ax xoByoAx。By0 C K K K a2B2xo2yoAx。 Byo C22 Axo Byo C y yoA2于是PQxXo2yoAxo By。C2. (1)直线方程为 Ax ByG C2 /20 .证略.555522 3t 3t 2& 、/口 3t t-，解之得 tdi323 .据题意设 I :7x 8y m o , dim 3(2)

12、 旋转直线，可得距离的取值范围是0, a(3) 作一条与li、J都垂直的直线，它被li、I2截得的线段AB，由于li与12的距离为2 ,2即AB i3i3i一 .点P的坐标为 ， 或 ， 5555 .2 .由直线I被li、I2截得的线段长为5,可知直线I与直线AB所成的角为245 又直线li、I2的倾斜角为135，所以直线I过点P 3 , 1且与两坐标轴垂直，故所求 的直线方程为x 3或y i .3 . (1)这样的直线有两条.方法一：设所求直线上任意一点为x , y，由该点到直线Ii与12的距离相等得到方程.方法二：先求两直线的交点xo , yo，再设点斜式I:y yo k x xo，利用h

13、与I?关于直线I对称解决.方法三：先求两直线的交点 A xo , yo，再找出满足到Ii与I2距离相等的特殊点 P，则直线 AP即为所求.(2)方法一：(轨迹法)设 x , y为I上任意一点，则将该点关于a , b的对称点为2a x , 2b y，这个点一定在直线I上，代入得 A 2a x B 2b y C o，即为I的方程.方法二：|与|平行且到a , b的距离相等.(3)方法一：设|的点斜式方程，再由点 M、N到I的距离相等，建立方程，求得斜率, 要注意斜率是否存在.方法二：直线I为与MN平行或经过MN的中点的直线.三、能力提升1 . 3 .3 i 3 i2 .-,-或一，一. 设点P的坐

14、标为 3t , t，贝UT di :d2 i： 2 ,. d22d .得X 5y125xy 1212255221 x 5y125x y12，或 x 5y 12结合图形，可知口 kAC1kADkAB ,即kAD5设M x , y为 A的平分线AD上任意一点，由角平分线的定义，在直线的方程为y x .设点P的坐标为x，八由题设有兽2，代入式得点P的坐标为 23 , 13或23 ,2 2 2 m 3 2m 9 m3 4 m 9 ，即 m 26 m 105 0 .解之得 m 5 或 m 21 .直线I的方程为7x 8y 5 0或7x 8y 210 .4 .由已知可求得AC边所在直线的方程为x 5y 120 , AB边所在直线方程为5x y 120 .5x y 12，即 y x 6 或 y x .5，所以y x 6舍去.故A的平分线AD所即.x 1 2 y2 .2 . x 1 2 y2 .整理得 x2 y2 6x 1 0 .因为点N到PM的距离为1 , MN 2，所以 P