通信原理课程建设教材系列 通信原理(第3版)

1、 通信原理通信原理(第第3版版) 周炯槃周炯槃 庞沁华庞沁华 等编著等编著 通信原理课程建设教材系列 普通高等教育“九五”国家级重点教材 n3.1 引言 n3.2 随机过程的统计（概率）特性 n3.3 平稳随机过程 n3.4 高斯随机过程（正态） n3.5 平稳随机过程通过线性系统 n3.6 窄带平稳随机过程 n3.7 余弦波加窄带平稳高斯随机过程 n3.8 匹配滤波器 n3.9 循环平稳随机过程 第三章第三章 随机过程随机过程 n通信系统中存在各种干扰和噪声，这些干扰和 噪声的波形更是随机的、不可预测的。我们称 其为随机干扰和随机噪声随机干扰和随机噪声。 n随机信号和随机噪声是不可预测的、随

2、机的， 但它们具有一定的统计规律性。 3.1 引言引言 返回目录返回目录 n随机过程的统计性质可由其分布函数分布函数和概率密度概率密度 描述。 3.2 随机过程的统计（概率）特性随机过程的统计（概率）特性 返回目录返回目录 n 称作随机过程x(t)的一维 分布函数。 n如果存在 则称其为x(t)的一 维概率密度。 11111 ( , )( )f x tp x tx 111 111 1 ( , ) ( , ) f x t p x t x 1. 随机过程的分布函数和概率密度随机过程的分布函数和概率密度 (1) 数学期望(统计平均值) (2) 方差 (3) 自相关函数(统计平均，或称集平均) (4)

3、 自协方差函数 (5) 归一化协方差函数相关系数 2.随机过程的数字特征随机过程的数字特征 n n+m 维随机向量 的联合分布函数定义为 3. 两随机过程的联合分布函数和数字特征两随机过程的联合分布函数和数字特征 / 2 / 121 ,.,);(),.(),( mn yyytxtxtx mm nn mmnn ytyytyyty xtxxtxxtx p tttyyytttxxxf )(,.,)(,)( ,., ,.,.,.,., / 2 / 21 / 1 ;2211 / 2 / 121;2121 若存在 / 2 / 121;2121 2121 / 2 / 121;2121 ,.,.,.,., .

4、 ,.,.,.,., mmnn mn mmnn tttyyytttxxxp yyyxxx tttyyytttxxxf 则称为x（t）和y（t）的n+m维联合概率密度 n互相关函数 n互协方差函数 两个随机过程的数字特征两个随机过程的数字特征 n如果对于任意n和t1,t2,tn以及 有 3.3 平稳随机过程平稳随机过程 ),.,( ,.,., 2121 2121 nn nn tttxxxp tttxxxp 则称x(t)为严平稳随即过程严平稳随即过程 返回目录返回目录 宽平稳随机过程宽平稳随机过程 若x(t)的数学期望 为常数，且 自相关函数 只与 有关，则称x(t)为宽平稳随机过程宽平稳随机过程

5、。 mxex(t) )(),( 21 xx rttr 12 tt 联合宽平稳随机过程联合宽平稳随机过程 若x(t)，y(t)是宽平稳随机过程，且 )()(),( 21 xytxy rtyxettr 其中 12 tt 则称x(t)，y(t)为联合宽平稳随机过程 各态历经性（便利性）各态历经性（便利性） 令x(t)为x(t)的样函数，时间平均值 dttx t tx t t t im )( 2 1 )( 1 n若x(t)的数学期望与样函数的时间平均值 相等的概率为1，即 则x(t)为均值遍历过程。 1)(x(t)txep n样函数的时间平均自相关函数为 dttxtx t txtx t t t im

6、)()( 2 1 )()( 1 n若x(t)的均值和自相关均为遍历的，则x(t) 为宽遍历随机过程。 n若x(t)的所有统计平均特性和其样函数所有 相应的时间平均特性以概率为1项等，则 x(t)为严遍历过程。 n若x(t)是平稳随机过程，且 n则x(t)是遍历过程。 dre)(;0x(t) 平稳随机过程的功率谱密度平稳随机过程的功率谱密度 t f p t t xim 2 )( )( 1 t fe t f ep t t t t ximim 22 )()( )( 11 x(t)的功率谱密度 n平稳随机过程的功率谱密度与自相 关函数互为傅立叶变换。 )()()()(fprpr xxxx 或 平稳随机

7、过程功率谱密度的性质平稳随机过程功率谱密度的性质 0)( x p dffpdptxer xxx )()( 2 1 )()0( 2 drp xx )()0( 均为偶函数和为实平稳随机过程泽若)()()( xx prtx n 若一随机过程的任意n维(n=1,2,)概 率密度是正态分布式,则称此随机过程为高斯高斯 随机过程随机过程。 3.4 高斯随机过程（正态）高斯随机过程（正态） 定义 返回目录返回目录 1)如果高斯过程是宽平稳过程，则其均值、方差与 时刻无关，是常数；其n维概率密度满足严平稳 条件，所以宽平稳的高斯过程就是严平稳的高斯 过程。 2)对于正态随机过程的任何两个时刻的随机变量， 不相

8、关也就是统计独立。 性质性质 n一维正态概率密度表示式为 2 1 2 1() ( )exp() 22 xa p x 一维正态分布一维正态分布 图3.4.1 正态概率密度曲线 （1） 11 1 ( )( ) 2 a a p x dxp x dx 性质性质 2 1 ( )exp() 22 x p x 若a=0，=1，则称为标准化正态分布，即 （2）对称于a n(x)为概率积分函数，简称概率积分概率积分 2 1 ( )exp() 22 x z xdz ()( )1xx n误差函数和互补误差函数 2 0 2 ( ) x t erf xedt 22 ( )1( ) t x erfc xerf xedt

9、n三者关系： ( )2( 2 ) 1erf xx ( )22 ( 2 )erf xx 111 ( )()1() 22222 xx xerferf ( )( )( )( ) ()( )()y tx th txh tdh u x tu du 图3.5.1 平稳随机过程通过线性系统 3.5 平稳随机过程通过线性系统平稳随机过程通过线性系统 返回目录返回目录 ( )(0) yxy m tm hm (0 )()hh u d u 1. 随机过程随机过程y(t)的均值的均值(统计平均统计平均) 与t无关。其中: 12 ( , )( ) yy r t tr 2. 随机过程随机过程y(t)的自相关函数的自相关函

10、数 与t无关。 可见，y(t)为平稳随机过程。 12 ( , )( ) xyxy rt tr 3. x(t)和和y(t)的互相关函数与互功率谱密度的互相关函数与互功率谱密度 x(t) 和y(t) 的互功率谱密度 )()()()()(hphfrfr xxxy ( )( ) xy pr 2 ()|() |() yx php ( )( ) x x pp ( )( ) x x rr 4. y(t) 的功率谱密度的功率谱密度 n(1) 若x(t)是正态随机过程，则y(t)也是正态随机 过程。 n(2) 若过程x(t)带宽 (系统带宽)，则： y(t)趋于高斯过程(正态过程)。 y(t)的概率密度的概率密

11、度 x n令n(t)为高斯随机过程，其功率谱密度 3.6 高斯白噪声高斯白噪声 则称n(t)为高斯白噪声 2 0 n p n 返回目录返回目录 n1、若 为确定函数，则x 为高斯随机变量，数学期望为0，方差等于 高斯白噪声性质高斯白噪声性质 )()()( 0 tdtttnx t 其中 t dtt n x 0 202 )( 2 n2、若 tt dtttnxdtttnx 0 22 0 11 )()(,)()( 其中为确定信号与)()( 21 tt 则 dttt n xxe t )()( 2 )( 2 0 1 0 21 若 ）在（与ttt0)()( 21 正交，则x1与x2 统计独立 n3、限带高斯

12、白噪声，功率谱密度 fhhp h n n 2,)( 0, 0 , 2 0 n令x(t)为平稳随机过程，其功率谱密度px()形状 如图所示。 图3.7.1 窄带随机过程x(t)的双边功率谱密度 3.7 窄带平稳随机过程窄带平稳随机过程 返回目录返回目录 n若 ，则称x(t)为窄带随机过程，其样 函数之一如图所示 图3.7.2 窄带随机过程的样函数 c ( )( )cos( )sin ccsc x txttx tt ( )( )( )( ) c jt l z tx tjx txt e 窄带平稳随机过程的表示式窄带平稳随机过程的表示式 解析信号 n(1) z(t)的自相关函数 ( )2( )( )

13、zxx rrjr ( )21 sgn( )4( ) ( ) zxx pppu 3. 窄带平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度窄带平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度 功率谱密度 n(2) 复包络x(t)的相关函数 ( )( ) c l j xz rre ()() l xzc pp 图3.7.3 解析信号和复包络 的功率谱密度 功率谱密度 n(3) xc(t)，xs(t)的统计特性 ( )( )cos( )sin ccc x tx ttx tt ( )( )cos( )sin scc xtx ttx tt n4. xc(t)，xs(t)，a(t)，(t)的概率密度 22 22 1 (,)()()

14、exp() 22 cscs cs x xcsxcxs xx px xpxpx xc(t)，xs(t)的联合概率密度 n(2) a(t)和(t)的联合概率密度 2 , 22 ( , )exp(),0,02 22 a aa paa n5. 窄带平稳高斯噪声通过相干解调器 图3.7.5 窄带滤波器的传递函数 图3.7.6 低通滤波器的传递函数 图3.7.7 过程图 ( )( )cos( )sin ccsc n tn ttn tt 11 ( )( )( )cos 2( )sin 2 22 pcccsc ntntnttntt 0 1 ( )( ) 2 c ntnt 0 1 ( )( ) 4 c n pp

15、 )( 4 1 )( 2 1 )( 2 1 )( 0 crtntner ncc 0 1 ( )( ) 4 c n pp 222 ( )( )( ) cs ntntnt mcncn pp nc p )()( 0 )( 其它 n令 其中：n(t)为窄带平稳高 斯过程(噪声)，且可表示为 ( )cos( ) c x tatn t ( )( )cos( )sin ccsc n tn tt n tt ( )( )cos( )sin ccsc x tan ttn tt 3.8 余弦波加窄带平稳高斯随机过程余弦波加窄带平稳高斯随机过程 返回目录返回目录 ( )( ) cc ntan t ( ) c nt(

16、) s n t ( ) c nt( ) s n t ( ) c nt ( ) s n t 2 n 令 ，则有 （1） ， 均为高斯过程且在同时刻相互独立； （2） 的均值为a, 的均值为0； （3） 和 的方差均为 。 ( )( )cos( ) c x tr ttt 2 2 ( ) cs r tnn ( ) ( )arctan ( ) s c n t t nt 由此得到 和 的联合概率密度 ( ) c nt( ) s n t 包络包络r的概率密度的概率密度 0)() 2 exp()( 2 0 2 22 2 r a i arr rp r r 引入归一化变量和信噪比 a a r , 则有)() 2 exp()( 0 22 ai a p 图3.9.1 匹配滤波器 3.9 匹配滤波器匹配滤波器 返回目录返回目录 n传输特性 0 ( )( ) j t hkse 0 ( )()h tks tt 传输特性与单位冲激响应传输特性与单位冲激响应 单位冲激响应 n 令 s(t)的匹配滤波器的输入信号为x(t)则其输出 ( ) ( )( )( )( )() sx y tx th th tx tkrtt ( )() s y tkr t t 当x(t)=s(t)时，则