概率论复习知识点总结[向阳教学]

1、一、事件间关系和运算一、事件间关系和运算 子事件子事件 ABA发生必然导致发生必然导致B B发生发生 事件相等事件相等 A=BA、B中其中一个发生另一个也发生中其中一个发生另一个也发生 互不相容（互斥）互不相容（互斥） AB= A、B不同时发生不同时发生 对立（互逆）对立（互逆） AB=, AB= A和和B中有且只有一个发生中有且只有一个发生 （记（记 B B = = ） 差事件差事件 A-B A-B发生 发生 A发生 发生B不发生不发生 积事件积事件 ABAB发生发生A、B都发生都发生 和事件和事件 AB AB发生发生A、B至少有一个发生至少有一个发生 A 第第1 1章要点章要点 二、事件运

2、算满足的定律二、事件运算满足的定律 事件的运算性质和集合的运算性质相同，设事件的运算性质和集合的运算性质相同，设A，B，C为为 事件，则有事件，则有 交换律交换律： 结合律结合律： 分配律分配律： 对偶律对偶律： 例例1.3, 作业作业: 一、一、 3，二、，二、 1，2 ,ABBA BAAB ),()(CBACBA )()(BCACAB ),()()(BCACCBA )()(CBCACAB ,BABA BAAB 第第1 1章要点章要点 三、概率的性质三、概率的性质 (1) P() = 0 (2) (有限可加性有限可加性) 两两互不相容，则两两互不相容，则 (3) (逆事件的概率逆事件的概率)

3、 对任一事件对任一事件A，有，有 (4) (单调性单调性)若若 P(A) P(B) ,且且P(AB) = P(A) - P(B). (5) 对任意两个事件对任意两个事件A,B有有P(AB) = P(A)P(AB) (6)（加法公式加法公式）对于任意两事件）对于任意两事件A，B有有 P(AB) = P(A) + P(B)P(AB) 例例1.4；作业；作业: 一、一、4，11 ； 二、二、3，5，6 . )()( 1 1 n k kk n k APAP n AAA,., 21 ).(1)(APAP ,AB 第第1 1章要点章要点 四、古典概型与几何概型四、古典概型与几何概型 古典概型概率计算公式：

4、古典概型概率计算公式： 作业：三、作业：三、6，8 n kA )A(P 中所有样本点的个数中所有样本点的个数 中所包含样本点的个数中所包含样本点的个数事件事件 第第1 1章要点章要点 五、条件概率与乘法公式五、条件概率与乘法公式 若若P(A)0 若若P(B)0 例例1.11，1.12；作业；作业:一、一、12；二、；二、4,7 ；三、；三、12 )( )( )( AP ABP ABP )()()(ABPAPABP )( )( )( BP ABP BAP )()()(BAPBPABP 第第1 1章要点章要点 六、全概率公式与贝叶斯公式六、全概率公式与贝叶斯公式 全概率公式：全概率公式： 贝叶斯公

5、式：贝叶斯公式： 例例1.16，1.17，作业：三、，作业：三、14，15 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(An)P(B|An) ,n,i P(B) )AB)P(P(A )ABP()P(A )AB)P(P(A B)AP( ii i n i i ii i 21 1 第第1 1章要点章要点 七、事件的相互独立性七、事件的相互独立性 注意几对概念的区别：注意几对概念的区别： 互不相容与互逆互不相容与互逆 互不相容与相互独立互不相容与相互独立 相互独立与两两相互独立相互独立与两两相互独立 作业：一、作业：一、8；二、；二、8，9； 三、三、17，19 P(AB)= P

6、(A)P(B) 第第1 1章要点章要点 第第2 2章要点章要点 一、随机变量及其分布一、随机变量及其分布 1.1.随机变量的概念随机变量的概念 2.2.分布函数：分布函数： 定义：定义：F(x)=PXx xR 性质：单调性，有界性，右连续性性质：单调性，有界性，右连续性 利用分布函数求概率：即对任意实数利用分布函数求概率：即对任意实数a, b, 有有 例例2.2，2.4，2.5 ，三，三1，2，4 bXaPaXPbXF aXP )()(aFbF 1aXP )(1aF 第第2 2章要点章要点 二、离散型随机变量二、离散型随机变量 1.1.离散型随机变量的分布律离散型随机变量的分布律 分布律的概念

7、；分布律的概念； 分布律的性质：分布律的性质： 分布律与分布函数的关系：分布律与分布函数的关系： 2.2.常用离散型分布常用离散型分布 二项分布：二项分布：XB(n, p), 0p0 例例2.6，2.7 作业：一、作业：一、2，3；三、；三、6，7，9 xx i i pxF)( , 2, 1, ipxXP ii , 0 i p1 1 i i p 第第2 2章要点章要点 三、连续型随机变量三、连续型随机变量 1.1.连续型随机变量及其分布连续型随机变量及其分布 定义：定义： F(x)与与f(x)关系：关系： f(x) 性质：性质： 由由f(x) 计算概率：计算概率： 例例2.9 ，2.11 作业

8、：三、作业：三、10，11 x dxxfxF)()( , 0)( xf 1)( dxxf b a dxxfbXaP)( 连连续续）)();()(xFxfxF 第第2 2章要点章要点 三、连续型随机变量三、连续型随机变量 2.2.常用连续型随机变量常用连续型随机变量 均匀分布均匀分布 XU(a, b), 指数分布：指数分布：XExp( ), 0, 正态分布：正态分布：XN( , 2), 0 作业：一、作业：一、5，6，7，8，11 , 0 , 1 )( 其其它它， bxa ab xf 0, 0 0, 1 )( 1 x xe xf x xexf x , 2 1 )( 2 2 2 )( 第第2 2章

9、要点章要点 四、随机变量函数的分布四、随机变量函数的分布 1.1.离散型随机变量函数的分布离散型随机变量函数的分布 2.2.连续型随机变量函数的分布连续型随机变量函数的分布 分布函数法分布函数法: 先求分布函数，再求密度函数先求分布函数，再求密度函数. 例例2.6，作业：三、，作业：三、16，17，18 第第3 3章要点章要点 一、一、 二维随机变量及联合分布函数二维随机变量及联合分布函数 联合分布函数的定义：联合分布函数的定义： 二、二维离散型随机变量及其联合分布律二、二维离散型随机变量及其联合分布律 联合分布律定义：联合分布律定义： 性质：性质： ,),(yYxXPyxF , 2 , 1,

10、 jipyYxXP ijji , 0 ij p 1 11 ij ij p 第第3 3章要点章要点 三、二维连续型随机变量及其联合概率密度三、二维连续型随机变量及其联合概率密度 定义：定义： 利用概率密度求概率：随机变量落在区域利用概率密度求概率：随机变量落在区域G内的概率内的概率 xy dudvvufyxF),(),( yxyxfGYXP G dd ),(),( 四、四、 二维随机变量的边缘分布函数与联合分布函数的关二维随机变量的边缘分布函数与联合分布函数的关 系系 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)具有分布函数具有分布函数F(x，y) )(xFX ),(),(limyFyxF x ),(

11、),(lim xFyxF y )(yFY 第第3 3章要点章要点 五、边缘分布律与联合分布律的关系五、边缘分布律与联合分布律的关系 设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量(X，Y)的分布律为的分布律为 PX = xi，Y = yj = pij，i，j = 1，2，则，则 , 2 , 1, 1 ipxXPp j ijii , 2 , 1, 1 jpyYPp i ijjj 第第3 3章要点章要点 六、联合概率密度与边缘概率密度的关系六、联合概率密度与边缘概率密度的关系 二维连续型随机变量二维连续型随机变量(X，Y)的概率密度为的概率密度为f(x，y)，则，则 例例3.5，3.8，3.10，作业，

12、作业 三、三、7， ,),()(dyyxfxf X dxyxfyfY ),()( 第第3 3章要点章要点 七、二维随机变量相互独立的充要条件七、二维随机变量相互独立的充要条件 2) 若离散型随机变量若离散型随机变量 ( X,Y )的联合分布律为的联合分布律为 ).()(),(yFxFyxF YX 相互独立相互独立和和YX 则则有有边边缘缘分分布布函函数数分分别别为为 的的联联合合分分布布函函数数为为设设随随机机变变量量 ),(),( ),(),()1 yFxF yxFYX YX ., 2 , 1, jipyYxXP ijji 相相互互独独立立和和即即YX jiij PPP . , jiji y

13、YPxXPyYxXP 相互独立相互独立和和YX 第第3 3章要点章要点 则则有有边边缘缘概概率率密密度度分分别别为为 的的联联合合概概率率密密度度为为设设连连续续型型随随机机变变量量 ),(),(),( ),(3) yfxfyxf YX YX 相互独立相互独立和和YX 在平面上几乎处处成立。在平面上几乎处处成立。 ).()(),(yfxfyxf YX 作业：作业： 三、三、15，18（1） 第第3 3章要点章要点 八、二维连续型随机变量函数的分布八、二维连续型随机变量函数的分布 1.1.和的分布和的分布 正态分布的性质正态分布的性质 定理定理3.1（正态分布的重要性质）若（正态分布的重要性质）

14、若X1，X2，Xn为相为相 互独立的随机变量，且互独立的随机变量，且 C1，C2，Cn为为n个任意常数，则个任意常数，则 作业作业:二、二、2；三、；三、17 第第3 3章要点章要点 niNX iii ,.,2 , 1),( 2 ),( 2 1 2 11 i n i i i n i i n i ii CCNXC 八、二维连续型随机变量函数的分布八、二维连续型随机变量函数的分布 （最大值与最小值分布）设（最大值与最小值分布）设X1，X2，Xn是相互独立是相互独立 的的n个随机变量，若个随机变量，若Y=max(X1, X2, , Xn), Z=min(X1, X2, , Xn), 试在以下情况下求

15、试在以下情况下求Y和和Z的分布的分布 若若Xi同分布，则同分布，则 作业：作业： 三、三、19 第第3 3章要点章要点 )(yFY, )( 1 n i X yF i )(zFZ n i X zF i 1 )(1 1 ,)()( n Y yFyF n Z zFzF)(1 1)( 第第4 4章要点章要点 一、随机变量的数学期望一、随机变量的数学期望 离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望 1 )( i ii pxXE dxxxfXE )()( 1 )( k kk pxg )()(XgEYE d

16、xxfxg )()( 第第4 4章要点章要点 一、随机变量的数学期望一、随机变量的数学期望 数学期望的性质数学期望的性质 (1) 设设c是常数，则有是常数，则有E(c) = c (2) E(cX) = cE(X)，E(X + c) = E(X) + c (3) E(X + Y) = E(X) + E(Y) (4) 设设X，Y是相互独立的随机变量，则有是相互独立的随机变量，则有 E(XY) = E(X)E(Y) 第第4 4章要点章要点 二、随机变量的方差二、随机变量的方差 定义式：定义式： 计算式：计算式： 性质：性质： (1) 设设c是常数，则是常数，则D(c) = 0； (2) D(cX)

17、= c2D(X)，D(X + c) = D(X)； (3) D(X + Y) = D(X) + D(Y) + 2EX E(X)Y E(Y) 特别，当特别，当X，Y是相互独立的随机变量时，有是相互独立的随机变量时，有 D(X + Y) = D(X) + D(Y)； 2 )(XEXEDX 22 )()(XEXEDX 10 pp)1 (pp 10 , 1 p n np )1(pnp 0 ba 2)(ba 12)( 2 ab 0 2 分布分布参数参数数学期望数学期望方差方差 0-1分布分布 二项分布二项分布 B(n,p) 泊松分布泊松分布 P( ) 均匀分布均匀分布 U(a,b) 指数分布指数分布 E

18、xp( ) 正态分布正态分布 N( , 2) 0, 2 三、重要分布的期望和方差三、重要分布的期望和方差 第第4 4章要点章要点 四、协方差及相关系数四、协方差及相关系数 定义式：定义式： 计算式：计算式： 性质性质: (1) (2) (3) a，b为常数；为常数； (4) (5) 当随机变量当随机变量X与与Y相互独立时相互独立时,有有Cov(X,Y)= 0 )(),(EYYEXXEYXCov )()()(),(YEXEXYEYXCov )()( ),( YDXD YXCov XY )0)(, 0)( YDXD );,(),(XYCovYXCov );(),(XDXXCov ),(),(YXa

19、bCovbYaXCov );,(),(),( 2121 YXCovYXCovYXXCov 第第4 4章要点章要点 例例4.13,4.15,4.13,4.15,例例4.184.18例例4.19,4.19, 作业作业: :一、一、3,43,4，二、，二、1,2,6,8,101,2,6,8,10 三、三、2 2，5 5，7 7，9 9，1818，2020 第第4 4章要点章要点 第第4 4章要点章要点 三、矩的概念三、矩的概念 k阶原点矩阶原点矩 k阶中心矩阶中心矩 k+l 阶混合矩阶混合矩 k+l 阶混合中心矩阶混合中心矩 , 3 , 2,)( kXEXE k , 2 , 1,),( lkYXE

20、lk , 2 , 1,)()( lkYEYXEXE lk , 2, 1),( kXE k 一、契比谢夫一、契比谢夫(Chebyshev)(Chebyshev)不等式不等式 【定理定理5.1】 设随机变量设随机变量X的数学期望的数学期望E(X)及方差及方差D(X) 都存在，则对于任意正数都存在，则对于任意正数 ，有不等式，有不等式 即即 成立成立 2 )( | )(| XD XEXP 2 )( 1| )(| XD XEXP . 第第5 5章要点章要点 第第5 5章要点章要点 二、大数定律：二、大数定律： 三、中心极限定理三、中心极限定理: : 当当n充分大时，充分大时， 例例5.1 例例5.5

21、例例5.6 作业作业:一、一、1,2,3 二、二、6，7 三、三、6,9 ),( 2 1 nnNX n i i 近似近似 ),( 2 n NX 近似近似 )1(,(pnpnpN n 近似近似 独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理 棣莫弗棣莫弗-拉普拉斯中心极拉普拉斯中心极 限定理限定理 )( 1 1 nX n P n i i 辛钦大数定律辛钦大数定律 第第6 6章要点章要点 一、统计量的概念及常用统计量一、统计量的概念及常用统计量 二、抽样分布：统计三大分布二、抽样分布：统计三大分布 2 2分布，分布，t t分布，分布，F F分布分布 三、分位数的概念：三、分位数的概念： 标准正态

22、分布，标准正态分布， 2分布，分布，t分布，分布，F分布的分位数分布的分位数 作业：一、作业：一、1，2，4，7，二、，二、1，2，3、三、三、1，2 第第7 7章要点章要点 一、参数的点估计一、参数的点估计 1 1 矩估计：三步法：矩估计：三步法： 求总体矩；求总体矩； 样本矩代替总体矩；样本矩代替总体矩； 求出矩估计量（矩估计值）求出矩估计量（矩估计值） 2 2 最大似然估计法：最大似然估计法： 二步法：二步法： 求（对数）似然函数；求（对数）似然函数； 求（对数）似然函数的最大值点求（对数）似然函数的最大值点 l例例7.2,7.3,7.5,7.67.2,7.3,7.5,7.6 l作业：一、作业：一、4,8,12,13,4,8,12,13,三、三、3 3，5,6,85,6,8 第第7 7章要点章要点 二、估计量的评价标准二、估计量的评价标准 1.1.无偏性无偏性 2.2.有效性有效性 3.3.相合性相合性 作业作业: :二、二、2,6 2,6 三、三、7,8,97,8,9 三、区间估计三、区间估计 正态总体均值与方差的区间估计正态总体均值与方差的区间估计 例例7.10,7.