平面简谐波的波函数

1、4-6 4-6 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数 物理学物理学 第五版第五版 1 tay a cos 4-6 4-6 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数 物理学物理学 第五版第五版 2 tayocos 设有一平面简谐波沿设有一平面简谐波沿 轴正方向传播，轴正方向传播， 波速为波速为 , ,坐标原点坐标原点 处质点的振动方程为处质点的振动方程为 x uo y x u a a o p x 表示质点表示质点 在在 时刻离开平衡位置的距离时刻离开平衡位置的距离. .t o y o 4-6 4-6 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数 物理学物理学 第五版第五版 3 y x u a a o p x

2、 tayocos 考察波线上考察波线上 点点( (坐标坐标 ) ), , 点比点比 点的点的 振动落后振动落后 , , 点在点在 时刻的位移是时刻的位移是 点点 在在 时刻的位移，由此得时刻的位移，由此得 u x t tt pxpo pto )(ttyy op 4-6 4-6 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数 物理学物理学 第五版第五版 4 ttattyy op cos)( u x ta cos 由于由于 为波传播方向上任一点，因此上为波传播方向上任一点，因此上 述方程能描述波传播方向上任一点的振动述方程能描述波传播方向上任一点的振动, , 具有一般意义，即为沿具有一般意义，即为沿 轴正方

3、向传播的轴正方向传播的 平面简谐波的波函数，平面简谐波的波函数，又称波动方程又称波动方程. . p x tatyocos)( 4-6 4-6 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数 物理学物理学 第五版第五版 5 可得波动方程的几种不同形式：可得波动方程的几种不同形式： 利用利用 x ta x t t a u x tay 2 2 cos cos cos t 2 2 ut和和 4-6 4-6 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数 物理学物理学 第五版第五版 6 )cos( xtay 2 x 2 x 2 4-6 4-6 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数 物理学物理学 第五版第五版 7 )sin(

4、 xta t y v 2 avm )(cos u x ta t y a 2 2 2 4-6 4-6 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数 物理学物理学 第五版第五版 8 )(cos u xx tay 0 x u p u xx u l t 0 a x 4-6 4-6 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数 物理学物理学 第五版第五版 9 二二 波函数的物理含义波函数的物理含义 （波具有时间的周期性）（波具有时间的周期性）)()(ttxytxy, taycos 则则 x 2 令令 x tay 2 cos o y t 1 1、 一定，一定， 变化变化 xt 表示表示 点处质点的振动方程（点处质点的振动

5、方程（ 的关系）的关系）ty x 4-6 4-6 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数 物理学物理学 第五版第五版 10 波线上各点的简谐运动图波线上各点的简谐运动图 4-6 4-6 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数 物理学物理学 第五版第五版 11 ct 令令 （定值）（定值） x ay 2 cos 则则 y o x x tay 2 cos2 2、 一定一定 变化变化x t 该方程表示该方程表示 时刻波传播方向上各质点时刻波传播方向上各质点 的位移的位移, , 即即 时刻的波形（时刻的波形（ 的关系）的关系）t t xy 4-6 4-6 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数 物理学物理学

6、 第五版第五版 12 方程表示在不同时刻各质点的位移，即方程表示在不同时刻各质点的位移，即 不同时刻的波形，体现了波的传播不同时刻的波形，体现了波的传播. . y x u o 3 3、 和和 都变都变xt 4-6 4-6 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数 物理学物理学 第五版第五版 13 tay o cos y x u a a o p x 如图，设如图，设 点振动方程为点振动方程为o u x t 点振动比点振动比 点超前了点超前了 po 4 4 、沿、沿 轴方向传播的波动方程轴方向传播的波动方程 x 4-6 4-6 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数 物理学物理学 第五版第五版 14 从

7、形式上看：从形式上看：波动是波形的传播波动是波形的传播. . 从实质上看：从实质上看：波动是振动的传播波动是振动的传播. . 对波动方程的各种形式，应着重从物对波动方程的各种形式，应着重从物 理意义上去理解和把握理意义上去理解和把握. . 故故 点的振动方程（波动方程）为：点的振动方程（波动方程）为：p )(cos)( u x tattyy o 4-6 4-6 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数 物理学物理学 第五版第五版 15 例例1. 1. 一平面简谐波沿一平面简谐波沿 轴正方向传播已知振轴正方向传播已知振 幅幅 ， ， . . 在在 时坐标原点处的质点在平衡位置沿时坐标原点处的质点在平

8、衡位置沿 轴正向轴正向 运动运动. .求：求： (2)(2) 波形图；波形图；s0 .1t (3) (3) 处质点的振动规律并作图处质点的振动规律并作图. . m5 . 0 x (1)(1)波动方程；波动方程； m0 . 1a0tm0 . 2s0 . 2t ox oy 解解 (1) (1) 写出写出o o点振动方程式点振动方程式 costay 0 t 2 2 4-6 4-6 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数 物理学物理学 第五版第五版 16 解法解法 二二 写出波动方程的标准式写出波动方程的标准式 )(2cos x t t ay m 2 01 0 cos. tym/s 1 t u m 2

9、01)(cos. u x ty m 2 01)(cos. xty 4-6 4-6 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数 物理学物理学 第五版第五版 17 2 0,0 t y yv 00 xt )(2cos x t t ay y a o 2 ) 0 . 20 . 2 (2cos xt y(m) 4-6 4-6 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数 物理学物理学 第五版第五版 18 (2)(2)求求 波形图波形图s0.1t 2 cos0 .1xy 波形方程波形方程 s0.1t 0 m/y m/x 2.0 1.0 -1.0 时刻波形图时刻波形图s0.1t 2 ) 0 . 20 . 2 (2cos0

10、. 1 xt y xsin(m) 4-6 4-6 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数 物理学物理学 第五版第五版 19 (3) (3) 处质点的振动规律并作图处质点的振动规律并作图 m5 . 0 x 2 ) 0 . 20 . 2 (2cos0 . 1 xt y 处质点的振动方程处质点的振动方程m5 .0 x cos ty(m) 0 m/y 1.0 -1.0 s/t2.0 o y * * * * * 处质点的振动曲线处质点的振动曲线m5 .0 x 1 2 3 4 1 2 3 4 1.0 4-6 4-6 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数 物理学物理学 第五版第五版 20 例例2 2 一平面简

11、谐波以速度一平面简谐波以速度 沿直线传播，波线上点沿直线传播，波线上点 a 的简谐运动方程的简谐运动方程 -1 sm20u )4cos(103 2 tya 求求: :(1)(1)以以 a 为坐标原点，写出波动方程；为坐标原点，写出波动方程； (2)(2)以以 b 为坐标原点，写出波动方程；为坐标原点，写出波动方程； (3)(3)求传播方向上点求传播方向上点c、d 的简谐运动方程；的简谐运动方程； (4)(4)分别求出分别求出 bc ，cd 两点间的相位差两点间的相位差. . u abcd 5 m9 m x o 8 m 单位分别为单位分别为m，s).s).yt, ,; ( 4-6 4-6 平面简

12、谐波的波函数平面简谐波的波函数 物理学物理学 第五版第五版 21 (1) (1) 以以 a 为坐标原点，写出波动方程为坐标原点，写出波动方程 m10 ut m103 2 as5 . 0t0 )(2cos x t t ay u abcd 5 m9 m x o 8 m ) 105 . 0 (2cos103 2 xt y (m) 4-6 4-6 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数 物理学物理学 第五版第五版 22 ab ab xx 2 10 5 2 b )4cos(103 2 tyb (2) (2) 以以 b 为坐标原点，写出波动方程为坐标原点，写出波动方程 )4cos(103 2 ty a u

13、abcd 5 m9 m x o 8 m ) 105 . 0 (2cos103 2 xt y(m) 4-6 4-6 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数 物理学物理学 第五版第五版 23 (3) (3) 写出传播方向上点写出传播方向上点c、d的运动方程的运动方程 点点c 的相位比点的相位比点a 超前超前 )24cos(103 2 ac tyc m10 u abcd 5 m9 m x o 8 m )4cos(103 2 ty a ) 5 13 4cos(103 2 t(m) 4-6 4-6 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数 物理学物理学 第五版第五版 24 点点 d 的相位落后于点的相位落后于

14、点 a )2cos(4103 2 ad tyd m10 u abcd 5 m9 m x o 8 m m10 )4cos(103 2 ty a (m) 5 9 cos(4103 2 t 4-6 4-6 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数 物理学物理学 第五版第五版 25 (4)(4)分别求出分别求出 bc ，cd 两点间的相位差两点间的相位差 tya)s4cos()m103( 12 4 . 4 10 22 22 dc dc xx 6 . 1 10 8 22 cb cb xx m10 u abcd 5 m9 m x o 8 m m10 4-6 4-6 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数 物理学物理学 第五版第五版 26 4-6 4-6 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数 物理学物理学 第五版第五版 27 stma1001023 2 . )cos( t t