大一第一学期期末高等数学(上)试题及答案

1、第一学期期末高等数学试卷 一、解答下列各题 （本大题共16小题，总计80分） （本小题5分） 求极限 lim x 2 （本小题5分） (1 （本小题5分） 3 X312x16 2x3 9x212x dx. 求极限 limarctan x x （本小题5分） arcsin 丄 求一dx. 1 x (本小题5分) 求x ,1 t2 dt. dx 0 (本小题5分) 求 cot6 x csc4 xd x. （本小题5分） 1 2 x cos dx. 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、 12、 13、 14、 15、 16、 （本小题5分） t2 设x e2st确定了

2、函数y y（x）,求dy . y e si ntdx （本小题5分） 求 x.、1 xdx. 0 （本小题5分） 求函数 y 4 2x x2的单调区间y （本小题5分） sin x , 2dx. sin x (本小题5分) 设 x(t) ekt(3cos t 4sin t),求 dx. （本小题5分） 设函数y y（x）由方程y2 ln y2 x6所确定，求史. dx （本小题5分） 求函数y 2ex e x的极值 (本小题5分) 求极限 Hm(X 1)2(2x 1)2(3x 1)2吃 x(10 x1)(11x1) (本小题5分) 求cos空dx. 1 sin xcosx 二、解答下列各题 （

3、本大题共2小题，总计14分） 1、（本小题7分） 某农场需建一个面积为 另三边需砌新石条围沿 2、（本小题7分） 2 求由曲线y -和y 2 三、解答下列各题 （本大题6分） 设f （x） x（x 1）（ x 2）（ x 3）,证明f （x）0有且仅有三个实根. 512平方米的矩形的晒谷场，一边可用原来的石条围 沿, ，问晒谷场的长和宽各为多少时,才能使材料最省. 3 所围成的平面图形绕 ox轴旋转所得的旋转体的体积. 8 一学期期末高数考试（答案） 一、解答下列各题 （本大题共16小题，总计77分） 1、（本小题3分） 解:原式 lim23x12 - x 26x 18x12 6x lim x

4、 212x18 2 2、(本小题3分) x2 2 d x x ) d(1 x2) L2 2 (1 x ) 1 c. (1 丄 2 2 1 x 3、（本小题3分） 因为 arctanx 故 limarctan x x 4、(本小题3分) x . dx 1 x 1x1, dx 1 x , dx dx 1 x x In 1 x 5、(本小题3分) 1 而 limarcsin o 2 xx arcsin - o x C. 求 2 1 t2 dt. dx 0 原式2x 1 x4 6、(本小题4分) xd x cot6 x csc4 cot6 x(1 1.7 cot x 7 7、(本小题4分) 2 cot

5、 x)d(cotx) 1.9 cot x c. 9 求2 11门 求pcos dx. xx 211 1 cosd() - x x 2 原式 .1 sin x 1 连续，可导. 0有且仅有三个实根 1)(x 2)(x 设f (x)x(x 证明:f (x)在( 又 f (0) f (1) f (2) f (3)0 则分别在0,1,1,2,2,3上对f(x)应用罗尔定理得，至少存在 1(0,1), 2(1,2), 3(2,3)使f(1) f ( 2) f ( 3)0 即f (x)0至少有三个实根，又f (x)0,是三次方程，它至多有三个实根， 由上述f (x)有且仅有三个实根 高等数学(上)试题及答

6、案 填空题（每小题 3分，本题共15分） 2 1、lim(1 3x) 2、当 k=1 时，f (x) x e 2 x 0处连续. 3、设y In x,则 dx dy x/x+1 4、曲线y ex x在点（0, 1 ）处的切线方程是y=X+1 5、若 f (x)dx sin2x C， C 为常数，则 f(x) C0S2 _。 单项选择题（每小题 3分，本题共15分） x 1、若函数 f（x） ，则 lim f（x）（ D ） x x o 丿 A、0B、1C、1D、不存在 2、下列变量中，是无穷小量的为（ B ） 1X 2 A. In (x 0 ) B. ln x(x 1) C. cosx (x

7、0) D.(x 2) xx4 3、满足方程f (x)0的x是函数y f (x)的(C ). A .极大值点B . 极小值点 C.驻点 D 间断点 4、下列无穷积分收敛的是（ B ) 2x . 1 1 A、sin xdx B、 e dx C、dx D、 dx 0 0 0 x 0 .x 5、设空间三点的坐标分别为 M (1, 1, 1 )、 A (2, 2, 1 )、B (2, 1 , 2)。则 AMB = A A、B、 c、 D、 34 2 三、计算题（每小题7分，本题共56 分） 4 x 2 1、求极限 lim x 0 sin 2x 求极限 求极限 cosx e t dt lim 2 x 0

8、x2 4、 ln(x 1 x2)，求 y 2 “、x ln(1 t ) y(x)由已知 yarcta nt ，求与 dx2 求不定积分 gsinC2 3)dx x x 7、 求不定积分 ex cosxdx 8、 设 f(x) 1 x 1 e 1 1 x 2 0f(x 1)dx 四、应用题 (本题 7分) 求曲线 y x2 与 x y2所围成图形的面积 a以及a饶y轴旋转所产生的旋转体的体积。 五、证明题 (本题7 分) 若f (x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且f(0)f(1)0, f (-)1，证明: 2 在(0,1)内至少有一点，使f ()1。 参考答案 。填空题(每小题 3分，本

9、题共 15分) 1、e6 x 2、k =1 .3、- 1 x 4、 y 15、f (x) 2cos2x 二.单项选择题(每小题 3分，本题共15分) 1、D 2、B 3、C 4、B5、A 三计算题(本题共 56分，每小题7 分) 1.解: lim 4 x 2 x 0 sin2x lim x 0sin2x(, 4 x 2) 2x 0 sin2x(、4 x 2) 2.解 : lim (x 1) lim x x e 0 x(ex1) lim x 0 x e n xex 1 lim = x 0 ex 1 xx e xe 2 cosx 3、解: lim 0 e 1 2 x dt sin xe lim x

10、 0 cos2 x 4、解: (1 5、 解: 2x 1 2e 1 Tx2) 1 x2 dy dx 1 rr 2t 1 2t d2y dx2 d_ dt (dy) 1 1 dx dt t2 6、解: 7、 解: &解: 2 0f(X 3)dx sin (2 3)d(- 3) x 3 x 3) ex cos xdx cosxdex cosx exsin xdx x e cosx sin xdex cosx x e sin x ex cos xdx ex(sin x cosx) C 1 1)dx 1 f (x)dx 0 1f(x)dx 1 of(x)dx 0 dx x e 11 1 dx 01 : 0 1(1 ln(1 x) 1 ln(1 ex) In 2 四. 应用题(本题 解：曲线y x2 *与x 1 ln(1 e ) ln(1 e) 7分) 2 y的交点为(1, 1), 于是曲线yx2与x 2 y所围成图形的面积 a为 dx 2 X 1 O 2 X 1 - 3 A绕y轴旋转所产生的旋转体的体积为: i V ( .y)由零点定理知存在 X1,