单自由度自由振动

1、第2章 单自由度系统自由振动1 第2章 单自由度系统自由振动2 单自由度系统是指可以用一个独立坐标来单自由度系统是指可以用一个独立坐标来 确定系统的位置及其运动规律的振动系统确定系统的位置及其运动规律的振动系统; 单自由度线性系统的振动是最简单的振动单自由度线性系统的振动是最简单的振动 系统系统; 许多实际问题可以足够精确地简化为单自许多实际问题可以足够精确地简化为单自 由度振动系统由度振动系统; 单自由度振动系统的一些概念、特征和研单自由度振动系统的一些概念、特征和研 究方法，是研究复杂振动系统的基础。究方法，是研究复杂振动系统的基础。 第2章 单自由度系统自由振动3 根据振动系统结构形式的

2、不同，建立根据振动系统结构形式的不同，建立 振动微分方程的方法也不同，可以采用牛振动微分方程的方法也不同，可以采用牛 顿定律、动能定理、动量矩定理、拉格朗顿定律、动能定理、动量矩定理、拉格朗 日方程等。日方程等。 第2章 单自由度系统自由振动4 2.2.1 m-k系统的自由振动系统的自由振动 m-k系统虽然非常简单，系统虽然非常简单， 但却是许多实际结构振动问题但却是许多实际结构振动问题 的力学模型。的力学模型。 已知质量为已知质量为m，弹簧的刚，弹簧的刚 度系数为度系数为k。取质量的静平衡。取质量的静平衡 位置为坐标原点位置为坐标原点,当重物偏离当重物偏离 x 时时,利用牛顿定律可得到运动利

3、用牛顿定律可得到运动 微分方程：微分方程： 0kxx m 第2章 单自由度系统自由振动5 扭转振动扭转振动(P9) 圆盘在轴的弹性恢复力矩圆盘在轴的弹性恢复力矩 作用下在平衡位置附近作扭作用下在平衡位置附近作扭 转振动。设转振动。设q q为圆盘相对静平为圆盘相对静平 衡位置转过的角度衡位置转过的角度,J为圆盘对为圆盘对 轴的转动惯量轴的转动惯量,kt为使轴产生为使轴产生 单位转角所需施加的扭矩单位转角所需施加的扭矩(即即 轴的扭转刚度轴的扭转刚度)。则。则 0 t Jkqq 第2章 单自由度系统自由振动6 复摆复摆(P12) 设物体对悬挂点设物体对悬挂点O的的 转动惯量为转动惯量为JO，利用定

4、，利用定 轴转动微分方程可得到轴转动微分方程可得到 用转角用转角f f 表示的转动微表示的转动微 分方程分方程: 0ffmgaJ O 第2章 单自由度系统自由振动7 纯滚动圆盘纯滚动圆盘(P15) 已知已知m、r、R，利，利 用功率方程用功率方程(动能定理动能定理) 或拉格郎日方程可得到或拉格郎日方程可得到 用角度用角度ff表示的运动微表示的运动微 分方程分方程: 0)( 2 3 ffgrR 第2章 单自由度系统自由振动8 梁的横向振动梁的横向振动 质量为质量为m的重物放在简支梁的中部，不计梁的的重物放在简支梁的中部，不计梁的 质量。设梁长为质量。设梁长为l，材料的弹性模量为，材料的弹性模量为

5、E，截面惯，截面惯 性矩为性矩为I。则利用材料力学的概念可得到：。则利用材料力学的概念可得到： 0 48 3 y l EI y m d dst 第2章 单自由度系统自由振动9 振动微分方程的统一形式振动微分方程的统一形式 比较前面几种不同系统的振动微分方程比较前面几种不同系统的振动微分方程 0kxx m 0ffmgaJ O 0)( 2 3 ffgrR 0 t Jkqq 0 48 3 y l EI y m 第2章 单自由度系统自由振动10 可以写成统一的数学形式可以写成统一的数学形式 0 xkxm eqeq meq和和keq分别称为等效质量和等效刚分别称为等效质量和等效刚 度，度，x为广义坐标。

6、为方便起见，以后将为广义坐标。为方便起见，以后将 等效质量和等效刚度直接写为等效质量和等效刚度直接写为m和和k。则。则 方程变为：方程变为： 0kxx m 因此只讨论此方程的解即可。因此只讨论此方程的解即可。 第2章 单自由度系统自由振动11 1. 方程的解方程的解 设设 m k n 2 则方程变为则方程变为 0 2 xx n 通解为通解为 12 cossin nn xbtbt 或或 sin() n xAtf 0kxx m 第2章 单自由度系统自由振动12 设系统的初始条件为：设系统的初始条件为：t0时，时，xx0， 0 xx 0 102 , n x bxb 2 200 0 0 ,arctan

7、 n n xx Ax x f 则可确定上述解中的常数为：则可确定上述解中的常数为： 第2章 单自由度系统自由振动13 2. 概念与名词概念与名词(P6-7) 一阶线性振动微分方程的解是时间一阶线性振动微分方程的解是时间 t 的简的简 谐函数，因此这种振动为简谐振动。谐函数，因此这种振动为简谐振动。 方程的解中方程的解中 n只决定于系统本身的参数只决定于系统本身的参数m 和和k，而与系统的初始条件无关，是系统本身，而与系统的初始条件无关，是系统本身 所固有的特性，所以称为固有频率，或称圆所固有的特性，所以称为固有频率，或称圆 频率或角频率。频率或角频率。 方程解中方程解中的的A称为振幅，是质量偏

8、离静平称为振幅，是质量偏离静平 衡位置的最大距离；衡位置的最大距离；f f称为初相位。称为初相位。 第2章 单自由度系统自由振动14 从方程的解中还可以看出，系统属于周期从方程的解中还可以看出，系统属于周期 振动，振动的周期为振动，振动的周期为 n T 2 周期是系统振动一次所需要的时间，单位周期是系统振动一次所需要的时间，单位 为秒（为秒（s）。）。 周期的倒数称为频率，是系统每秒钟振动周期的倒数称为频率，是系统每秒钟振动 的次数的次数,单位为单位为1/秒秒(1/s)或赫兹或赫兹(Hz)。记作。记作 f 2 1 n T f 第2章 单自由度系统自由振动15 固有频率固有频率 n和频率和频率

9、f 只相差常数只相差常数2 ，因，因 此经常通称为固有频率。是振动分析中极此经常通称为固有频率。是振动分析中极 其重要的参数。其重要的参数。 显然显然 因此因此 n的物理意义是在的物理意义是在2 时间内振动的时间内振动的 次数，单位为弧度次数，单位为弧度/秒秒(rad/s)。 圆有频率、振幅和初相位是简谐振动的圆有频率、振幅和初相位是简谐振动的 三个重要特征量。三个重要特征量。 2 2 n f T 第2章 单自由度系统自由振动16 1. 直接计算法直接计算法 即直接利用固有频率的公式进行计算。即直接利用固有频率的公式进行计算。 求出振动系统微分方程后，利用等效刚度求出振动系统微分方程后，利用等

10、效刚度 和等效质量，即可求出固有频率：和等效质量，即可求出固有频率： m k n 2 第2章 单自由度系统自由振动17 2. 静位移方法静位移方法(P7) m-k系统是所有一阶线性微系统是所有一阶线性微 振动系统的模型，利用此模型振动系统的模型，利用此模型 得出的结论具有一般性。得出的结论具有一般性。 质量在静平衡位置时弹簧的质量在静平衡位置时弹簧的 位移为位移为 st mg k d n st kg m d 则固有频率为则固有频率为 d dst 第2章 单自由度系统自由振动18 复摆系统的固有频率复摆系统的固有频率 用转角用转角f f 表示的转动微分表示的转动微分 方程方程: 0ffmgaJ

11、O mg 则固有频率则固有频率: Oeq eq n J mga m k 第2章 单自由度系统自由振动19 纯滚动圆盘系统纯滚动圆盘系统 用角度用角度ff表示的运动表示的运动 微分方程微分方程: 0)( 2 3 ffgrR 则固有频率则固有频率: )(3 2 rR g m k eq eq n 第2章 单自由度系统自由振动20 扭转振动系统扭转振动系统 转动方程为转动方程为 0 t Jkqq 则固有频率则固有频率: eq t n eq k k mJ 第2章 单自由度系统自由振动21 梁的横向振动系统梁的横向振动系统 利用振动方程利用振动方程 0 48 3 y l EI y m 固有频率固有频率:

12、3 48 ml EI m k eq eq n 或利用材料力学公式计算出静位移或利用材料力学公式计算出静位移: 3 48 st mgl EI d 固有频率固有频率: 3 48 n st gEI ml d d dst 第2章 单自由度系统自由振动22 对无阻尼自由振动系统，能量（机械对无阻尼自由振动系统，能量（机械 能）是守恒的。设系统的动能和势能分能）是守恒的。设系统的动能和势能分 别用别用 T 和和 V 表示，则能量方程为表示，则能量方程为 T+V常数常数 或或 0)(VT dt d 第2章 单自由度系统自由振动23 系统在静平衡位置的速度最大，动能也系统在静平衡位置的速度最大，动能也 最大，

13、而势能取为最大，而势能取为0位置位置; 在质量偏离静平在质量偏离静平 衡位置最大时，速度为衡位置最大时，速度为0，动能也为，动能也为0，而，而 势能达到最大，利用能量守恒关系得到势能达到最大，利用能量守恒关系得到 TmaxVmax 同时还有下面的关系同时还有下面的关系 利用上面两式可以直接求固有频率。利用上面两式可以直接求固有频率。 maxmaxn xx 第2章 单自由度系统自由振动24 P15例例2-3-2 利用能量法求纯滚动圆盘利用能量法求纯滚动圆盘 系统作微幅振动的固有频率。系统作微幅振动的固有频率。 第2章 单自由度系统自由振动25 一般不考虑弹性元件的质量对振动系统的一般不考虑弹性元

14、件的质量对振动系统的 影响，若这些质量不可忽略的时候，影响，若这些质量不可忽略的时候，“瑞利法瑞利法” 的思想，是将这些弹性元件所具有的多个集中的思想，是将这些弹性元件所具有的多个集中 质量或分布质量简化到系统的集中质量上去，质量或分布质量简化到系统的集中质量上去， 从而变成典型的单自由度振动系统。从而变成典型的单自由度振动系统。 简化的原则是：简化后系统的动能与原系简化的原则是：简化后系统的动能与原系 统的动能相等，但并不考虑重力势能的影响。统的动能相等，但并不考虑重力势能的影响。 这种简化只是一种近似方法，但误差不大。这种简化只是一种近似方法，但误差不大。 第2章 单自由度系统自由振动26

15、 例例2-4-1 质量质量-弹簧系弹簧系 统，集中质量为统，集中质量为m，弹簧，弹簧 长度为长度为l，刚度为，刚度为k，质量，质量 为为m1，求考虑弹簧质量，求考虑弹簧质量 影响时的固有频率。影响时的固有频率。 d dst l s ds 第2章 单自由度系统自由振动27 题题2.13(a) 求图示系统的固有频率。求图示系统的固有频率。 第2章 单自由度系统自由振动28 题题2.15 求图示系统微幅振动的微分方求图示系统微幅振动的微分方 程（程（m2视为均质圆盘）。视为均质圆盘）。 作业：作业：T2.1，4，13 第2章 单自由度系统自由振动29 无阻尼系统振动过程中能量守恒，振幅保无阻尼系统振

16、动过程中能量守恒，振幅保 持不变。而实际情况并非如此，必须考虑阻力持不变。而实际情况并非如此，必须考虑阻力 对振动过程的影响。对振动过程的影响。 实际阻力的形式很多，有滑动摩擦表面的阻实际阻力的形式很多，有滑动摩擦表面的阻 力、空气或流体阻力、弹性材料的内摩擦阻力力、空气或流体阻力、弹性材料的内摩擦阻力 等，因此阻力的大小变化规律也各不相同。等，因此阻力的大小变化规律也各不相同。 阻力大小与速度成正比的阻尼称为粘性阻阻力大小与速度成正比的阻尼称为粘性阻 尼或线性阻尼。这是最简单的情况。尼或线性阻尼。这是最简单的情况。 第2章 单自由度系统自由振动30 1. 振动微分方程及其解（振动微分方程及其

17、解（P21） 以静平衡位置为坐标原点建立坐标系，可得以静平衡位置为坐标原点建立坐标系，可得 系统的微分方程系统的微分方程 0kxxcxm 其中其中c为粘性阻尼的比例常为粘性阻尼的比例常 数，称为粘性阻尼系数。数，称为粘性阻尼系数。 mg Fk Fc () st mxcxk xmgd 第2章 单自由度系统自由振动31 令阻尼比为令阻尼比为 2 n c m 则方程可写为则方程可写为 2 20 nn xxx 令其解为令其解为 st Cex 代入方程得到代入方程得到 22 20 nn ss 此特征方程的两个根是此特征方程的两个根是 2 1,2 (1) n s 第2章 单自由度系统自由振动32 2. 解

18、及运动形式的讨论（解及运动形式的讨论（P22-26） 不同的阻尼比不同的阻尼比 ，对应的解的形式不同，对应的解的形式不同， 运动性质也不同。运动性质也不同。 （1） 1（大阻尼情况）（大阻尼情况） 此时特征方程有两个不同的实根，通解为此时特征方程有两个不同的实根，通解为 2 (1) ( ) nt x tBe 2 (1) nt De 第2章 单自由度系统自由振动33 给出初始条件：给出初始条件：t0时时 2 00 2 (1) 21 n n vx B 00, vxxx 则可确定系数则可确定系数B和和D 2 00 2 (1) 21 n n vx D 第2章 单自由度系统自由振动34 这种情况对应的运

19、动是一种衰减运动，但不这种情况对应的运动是一种衰减运动，但不 是我们所关心的振动形式。设是我们所关心的振动形式。设x00，v00，则运，则运 动图形大致如下。动图形大致如下。 2 (1) nt Be 2 (1) nt De 第2章 单自由度系统自由振动35 （2） 1（临界阻尼情况）（临界阻尼情况） 此时特征方程有重根，通解为此时特征方程有重根，通解为 () nt xBDt e 利用初始条件确定常数为利用初始条件确定常数为 000 , n Bx Dvx 此时的阻尼系数称为临界阻尼系此时的阻尼系数称为临界阻尼系 数，记为数，记为cc mkmc nc 22 第2章 单自由度系统自由振动36 临界阻

20、尼情况也是一种非振荡的衰减运动，临界阻尼情况也是一种非振荡的衰减运动， 按不同的初始条件其运动图形如图。按不同的初始条件其运动图形如图。 第2章 单自由度系统自由振动37 （3）0 1（小阻尼情况）（小阻尼情况） 此时特征方程有一对共轭复根，通解为此时特征方程有一对共轭复根，通解为 22 (cos1sin1) nt nn xeBtDt 或写为或写为 利用初始条件确定出常数利用初始条件确定出常数 00 0 2 , 1 n n vx Bx D 2 sin(1) nt n xAet f 第2章 单自由度系统自由振动38 2 200 0 2 1 n n vx Ax 解中有两个因子，一个是衰减的指数解中

21、有两个因子，一个是衰减的指数 函数函数 ,它将使振幅越来越小，直至振它将使振幅越来越小，直至振 动最终消失动最终消失; 2 0 00 1 arctan n n x vx f nt Ae 另一个是正弦函数另一个是正弦函数 ， 它表示系统以相同的周期通过平衡位置。它表示系统以相同的周期通过平衡位置。 因此系统呈现为一种衰减形式的等周期振因此系统呈现为一种衰减形式的等周期振 动形式。动形式。 2 sin(1) n tf 第2章 单自由度系统自由振动39 2 sin(1) nt n Aet f nt Ae A 第2章 单自由度系统自由振动40 单自由度粘性阻尼系统在小阻尼情况下单自由度粘性阻尼系统在小

22、阻尼情况下 的衰减振动是我们最为关心的振动形式。的衰减振动是我们最为关心的振动形式。 这种衰减振动具有下列特性：这种衰减振动具有下列特性： （1）振幅衰减）振幅衰减 由前面的解可以看出，振幅不再是常量，由前面的解可以看出，振幅不再是常量， 而是以几何级数而是以几何级数 快速衰减。快速衰减。 （2）等时性）等时性 系统仍以相同的周期通过平衡位置，即系统仍以相同的周期通过平衡位置，即 具有运动的等时性。具有运动的等时性。 nt Ae 第2章 单自由度系统自由振动41 （3）振动频率变小，周期变长）振动频率变小，周期变长 系统振动的固有频率和周期为：系统振动的固有频率和周期为： 2 2 2 1, 1

23、 dnd n T 因此：因此：衰减振动的固有频率比无阻尼系衰减振动的固有频率比无阻尼系 统的固有频率小，振动周期变大，但影响统的固有频率小，振动周期变大，但影响 不大，特别是当阻尼很小（不大，特别是当阻尼很小（ 1）时，可）时，可 以忽略阻尼对振动频率和周期的影响。以忽略阻尼对振动频率和周期的影响。 第2章 单自由度系统自由振动42 振幅衰减的快慢程度可用相邻振幅振幅衰减的快慢程度可用相邻振幅 的比值来表示，称为衰减率或减幅率或的比值来表示，称为衰减率或减幅率或 减缩率；也可以用衰减率的自然对数来减缩率；也可以用衰减率的自然对数来 表示，称为对数衰减率。表示，称为对数衰减率。 第2章 单自由度

24、系统自由振动43 利用前面给出的解利用前面给出的解 2 sin(1) nt n xAet f 可得到衰减率为可得到衰减率为 () 1 n n d nd t T i t T i xAe e xAe 对数衰减率为对数衰减率为 2 2 ln 1 nd T d 第2章 单自由度系统自由振动44 若用若用X0表示系统最初的振幅，经过表示系统最初的振幅，经过n次循环后次循环后 的振幅为的振幅为Xn，则对数衰减率又可以表示为，则对数衰减率又可以表示为 n X X n 0 ln 1 d 证明：证明： 011 12 n n XXX XXX 相乘得相乘得 0101 12 nn nn XXXX XXXX 则则 0

25、lnln n X nn X d 即即 n X X n 0 ln 1 d 第2章 单自由度系统自由振动45 题题2-16 求图示系统振动的微分方程和固求图示系统振动的微分方程和固 有频率（不计杆的质量，有频率（不计杆的质量，c为黏性阻尼）。为黏性阻尼）。 22 n cc mkm 2 1 dn 第2章 单自由度系统自由振动46 题题2-18 图示系统，在空图示系统，在空 气中振动周期为气中振动周期为T1，在液体，在液体 中振动周期为中振动周期为T2。试证明液。试证明液 体的粘性阻尼系数为体的粘性阻尼系数为 作业：作业：T2-8、17 22 21 1 2 4 m cTT TT 第2章 单自由度系统自由振动47 1. 名词与概念名词与概念 固有频率固有频率,振幅振幅,周期周期,相位角；线性阻相位角；线性阻 尼系数尼系数,阻尼比；衰减率与对数衰减率；阻尼比；衰