3.6有限群的分类

1、9有限群的分类 1 凯莱定理:设G是阶群，则G定与对称群S “的某个子群同构。 凯莱定理表明，理论上讲，研究有限群只需把对称群S”研究透 就够了，但由于S”的阶数（川）非常大，很难找出G具体与S”的哪 个子群同构。实际当中采用具体研究的方式。， 2。群的直和分解概念 定义 设仏冷,M是群g的正规子群。如果VxeG,都存在唯 一的禺丘/,使得心牡乙；同时当丿时，M中的元素与V 中的元素可交换，则称G为,瞩,的直和，记为 G三N、M 例如，以克莱茵四元群为例， =,Q,C, 取Ni=e,a, N2=e,b,则 NN2K4,且有 e = ee,eeNl,eEN2,a = ae,a eNee N“ b

2、 = eb,eeNrbeN2,c = ab,a w Nbw N“ 从而根据定义有 三他 再比如，6 阶循环群G = e,a9a2,aa4,a5 , a6 = e o 取 N、= e,cr = , N?= e,a2,a4 = ,则不难验证有 G = N=1 例1 确定所有4阶和6阶交换群。 Mo (1) n = 4 = 2x2 = 2 全部初等因子组为2, 2, 22, 因此只有两种4阶交换群：C?q, C4o 其中C?G就是克莱茵四元群心(见前面例子)。 (2)比= 6 = 2x3,初等因子组只有2, 3,因此 6阶交换群只有一个：C3 = C6 o 但要注意，这里给出的仅仅是交换群的情形，还

3、有6阶非交 换群存在：“。 例2列出所有1500阶的有限交换群 蟹。n = 15OO = 22x3x53,全部初等因子组为 22,3,5,5,5,才,3,5,宁,(22,3,53 2,2,3,5,5,5 ,2,2,3,5,52 ,2,2,3,5* , 因此共有6种1500阶的交换群，分别为 G, = C4 C3 G C5 C5, G2 = C4 C3 g C25, G3 = C4 C3 G25, G4 = C?C? C3 C5 C5 C5, Gs = C2 C? C3 G G 若qlp-1,则G同构于由C和生成的非交换群： cf，= , （lq = e,de = csd 其中，P不整除s 1,

4、pl（，-l）。 例子：15=5x3, P=5,q = 3, q不整除p-1,所以15阶的群只有 循环群久。 推论设是奇素数，则2“阶的群要么是循环群务，要么是正 边形的对称群Dp o 例如，6 = 2x3阶群只有C&和/= S3）； 10 = 2x5阶群只有q和比； 14 = 2x7阶群只有5和D?。 定理68阶非交换群只有两个：一个是正四边形的对称群Q； 另一个是四元数群2 定理712阶非交换群有三个：一个是正六边形的对称群Q； 一个是交错群州；一个是由两个元素心生成的群，记为 b Cl,ba = ab = crb. 总结：15及15阶以下交换和非交换群列表 n 群 个 数 1 e 1 ? 2 c2 1 3 C 1 4 C2c29 c4 2 5 G 1 6 c6, 0（即,非交换） 2 7 G 1 8 c2c2c?,c?c“ c8,d4, 2（非交换） 5 9 G c3 f c9 2 10 C1O, d5 （非交换） 2 11 q 1 12 Gg,c12,a4, 2,兰（非交换） 5 13 5 1 14 c14, $ （非交换） 2 15 5 1 当X16时，共有14个不同的16阶群，其中交换群有4个: C2C2C2C2,