全国高考所有的数学公式

1、 2016 年普通高中全国卷文科数学必背定理、公式1 元素与集合的关系:x a xc a,ua ,a , ,a 的子集个数共有22 -1n2 -1n2 - 2个；非空的真子集有 个.2 集合个；真子集有个；非空子集有nn123 二次函数的解析式的三种形式：n(x) = ax + bx + c(a 0)(1) 一般式 f(2) 顶点式 f(3) 零点式 f;2(x) = a(x - h) + k(a 0);（当已知抛物线的顶点坐标(h,k) 时，设为此式）2(x) = a(x - x )(x - x )(a 0)(x ,0),( x ,0)；（当已知抛物线与 x 轴的交点坐标为时，设为此式）相切

2、且切点的横坐标为1212(x) = a(x - x ) + (kx + d), (a 0)y = kx + d。（当已知抛物线与直线（4）切线式： f20x 时，设为此式）04 真值表：同真且真，同假或假5 常见结论的否定形式;原结论反设词原结论反设词是不是一个也没有至少有两个至多有（n至少有（n都是不都是大于不大于至少有 个n小于对所有 x ，成立pp或 q且 q对任何 x ，不成立 存在某 x ，成立p q或6 四种命题的相互关系(下图):（原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.）原命题若则互逆逆命题若则互否互互否为逆为逆互否否否命题若非则非逆否命题若非则非互逆 q q充要条件

3、： (1)、 p（2）、 p，则 p是 q的充分条件，反之，q是 p的必要条件；，且 q p，则 p是 q的充分不必要条件；(3)、p p ，且 q p，则 p是 q的必要不充分条件；4、p p ，且 q p，则 p是 q的既不充分又不必要条件。7 函数单调性:增函数：(1)、文字描述是：y随 x的增大而增大。x , x d,且x x（2）、数学符号表述是：设 f（x）在 x d上有定义，若对任意的，都有2121f (x ) f (x )成立，则就叫 f（x）在 x d上是增函数。d则就是 f（x）的递增区间。12减函数：(1)、文字描述是：y随 x的增大而减小。x , x d,且x f (x

4、 )成立，则就叫 f（x）在 x d上是减函数。d则就是 f（x）的递减区间。21单调性性质：(1)、增函数+增函数=增函数；（2）、减函数+减函数=减函数；(3)、增函数-减函数=增函数；(4)、减函数-增函数=减函数；注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。复合函数的单调性：函数单调 单调性内层函数外层函数复合函数等价关系： , x a,b , x x(1)设 x那么1212 f(x ) - f (x )(x - x ) f (x ) - f (x ) 0 12 0 f (x)在 a,b上是增函数；x- x121212f (x ) - f (x )

5、(x - x ) f (x ) - f (x ) 0 1 0f (x)f (x) 0和 x0和 x0oxa1oxo1x1a0y=kx+ba1y=ax2+bx+coxa b2y f (x) x r(f(x a) f (b x)恒成立 ,则函数 f(x)的对称轴是 x11 对于函数),; 两个函数b ay f(x a) y f(b x) 的图象关于直线x与对称.212 分数指数幂与根式的性质：m(1)aam （a 0,m ,n n ，且n 1）.nn11mn（2）a（a 0,m ,n n ，且n 1）.mamnan( a) a.（3）nna,a 0na a na |a |；当 为偶数时，n n（4

6、）当 为奇数时，n na ,a 0.log n b a n (a 0,a 1,n 0)13 指数式与对数式的互化式:ba.指数性质：1aa 1 a 0a） ； (3)、 mn(a )m n(1)1、 p；（2）、 0（apma a a (a 0 ,r,s q) ； (5)、aam(4)、 rsr sn；n指数函数：y a (a 1)(1)、x在定义域内是单调递增函数；y a (0 a 1)（2）、x在定义域内是单调递减函数。注： 指数函数图象都恒过点（0，1）对数性质：mlog m log n log (mn )log m log n loga(1)、(3)、；（2 ）、；naaaaanmlo

7、g b m log blog bmlog balog 1 0； (5)、m；(4)、naaaalog a 1ab(6)、对数函数：(1)、；(7)、log baay log x(a 1)在定义域内是单调递增函数；ay log x(0 a 1)（2）、在定义域内是单调递减函数；注： 对数函数图象都恒过点（1，0）a3 log x 0 a, x(0,1)或a, x( 1, +)(3)、a(4)、log x 0).a m ,且 m mlog aam= n(a 0 ,且 a 1, n 0 ).对数恒等式：alogannlog b = log b0 ,且 a 1,n 0).推论(anm15对数的四则运算

8、法则:若 a0，a1，m0，n0，则aamm(1)log (mn) = log m + log n;(2)log= logm n ;- lognaaaaaanlog m = nlog m (n r)log= log ( , )(3)16 平均增长率的问题（负增长时 p 0）：如果原来产值的基础数为 n，平均增长率为 p ，则对于时间 的总产值 y ，有 y;(4)nn n m r 。nnmaaaam= n(1+ p).xx17 等差数列：= a + (n -1 )daan通项公式： （1） a，其中 为首项，d为公差，n为项数， 为末项。n11= a + (n - k)d（2）推广： ank=

9、 s - s (n 2)（3） a前 n项和： （1） s（2） s（注：该公式对任意数列都适用）nnnnn-1n(a + a )=a1a；其中 为首项，n为项数， 为末项。1n2nn(n -1)= na +d21= s + a (n 2)（3） s（4） s（注：该公式对任意数列都适用）（注：该公式对任意数列都适用）nn-1n= a + a + + an12n+ a = a + a常用性质：（1）、 若 m+n=p+q ，则有 a；mnpq是a ,a的等差中项，则有 2a = a + a n、m、p成等差。注：若 amnpmnp b（2）、若 a 、 b 为等差数列，则 a为等差数列。nnn

10、n ,s - s ,s - s（3）、 a 为等差数列，s 为其前 n项和，则s也成等差数列。nm2mm3m2mn=qa, =p ,a 则 = 0（4）、 a；pqpq+n(n +1)（5） 1+2+3+n=等比数列：24 a= a q = q (n n )，其中 a 为首项，n为项数，q为公比。通项公式：（1） an-11n*n1q1= a qn-k（2）推广：ank= s - s (n 2)（3） a（注：该公式对任意数列都适用）（注：该公式对任意数列都适用）（注：该公式对任意数列都适用）nnn-1= s + a (n 2)前 n项和：（1） snn-1n= a + a + + a（2）

11、sn12nna(q =1)(q 1)1（3） s a (1- q=)nn11- qa = a a常用性质：（1）、若 m+n=p+q ，则有 a；mnpq是a ,aa = a a n、m、p成等比。注：若 a的等比中项，则有2mnpmnp b（2）、若 a 、 b 为等比数列，则 a为等比数列。nnnnab(1+ b)n18分期付款(按揭贷款) ：每次还款 x =元(贷款 a 元,n 次还清,每期利率为b ).(1+ b) -1n19三角不等式：p(0, )sin tanx x x .（1）若 x(2) 若 x，则2p(0, ) ，则1 0,b 0,c 0).333- b a + b a +

12、b（4） a.2aba + ba + b22 ab （5）(当且仅当 ab时取“=”号)。a + b22, y39极值定理:已知 x 都是正数，则有= yx + y2 p有最小值 ；（1）若积 xy 是定值 p ，则当 x时和1时积 xy 有最大值 s .+ ys x = y是定值 ，则当2（2）若和 x4（3）已知a,b, x, y r+ ，若ax + by =1则有1 11 1by ax+ = (ax + by)( + ) = a + b + + a + b + 2 ab = ( a + b)2 。x yx yxya b+ =1x y（4）已知a,b, x, y r+ ，若则有a bay

13、bxx + y = (x + y)( + ) = a + b + + a + b + 2 ab = ( a + b)2x yxy+ bx + c 0(或 0)ax + bx + c40 一元二次不等式ax两根之外；如果a 与 ax，如果a 与同号，则其解集在222+ bx + c2异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.即：7 x x x (x - x )(x - x ) 0(x x )；121212x x (x - x )(x - x ) 0(x 0时，有12x a x a -a x a x a x a 或 x 2 ，则d r若 d点 在圆外;p2008 d = r 点

14、 p 在圆上;49 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 ： 直 线 axaa + bb + cd r 相离 d 0; d = r 相切 d = 0 ; d 0 .= d50 两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为 o ，o ，半径分别为 r ，r ， o o，则：121212d r + r 外离 4条公切线;12d = r + r 外切 3条公切线;12r - r d r + r 相交 2条公切线;1212d = r - r 内切 1条公切线;120 d b 0)e = = 1-51 椭圆的参数方程是. 离心率，y = bsinqa b22aa2a2cb2=准线到中心的距离为，焦点到对应准线

15、的距离(焦准距) p。cb2过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为：2.ax2y2+ =1(a b 0)52 椭圆焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积:a b22aaf pf22pf = e(x + ) = a + ex ， pf = e( - x) = a - ex ； s= c | y |= b tan21。21c53 椭圆的的内外部:2cdf pf21px2yx202y2022(x , y )+ =1(a b 0) + b 0) + 10200a2b2ab54 椭圆的切线方程:x2yx x y y2+ =1(a b 0)p(x , y )处的切线方程是0+=1.(1) 椭圆上一点0

16、a b2200a2b2x y2x x y y2+ =1p(x , y )所引两条切线的切点弦方程是0+=1.（2）过椭圆外一点0a b2200a2b2x2y2+ =1(a b 0)+ + = 0与直线 ax by ca a + b b = c（3）椭圆相切的条件是22222 .a b22x2ycb2a2c2- =1(a 0,b 0)e = = 1+55 双曲线的离心率，准线到中心的距离为，焦点到对应准线的距a b22aa2b2cb2=。过焦点且垂直于实轴的弦叫通经，其长度为：2离(焦准距) p.aaa22=| e(x + ) |=| a + ex | pf =| e( - x) |=| a -

17、 ex |焦半径公式 pf，1c2cf pf= b cot两焦半径与焦距构成三角形的面积s。212df pf219 56 双曲线的方程与渐近线方程的关系:x22y22x2y2ba-= 1 渐近线方程： - = 0 (1）若双曲线方程为= x .yab2a b2x yx22y2ba = 0 a b-= l .(2)若渐近线方程为 = 双曲线可设为yxab2x22y22x22y22-= 1有公共渐近线，可设为-= l(3)若双曲线与aba，焦点在 y轴上）.bl 0，焦点在 x轴上，l 0,b 0)p(x , y )处的切线方程是0-=1.(1)双曲线上一点0a b2200a2b2x y2x x

18、y y2- =1p(x , y )所引两条切线的切点弦方程是0-=1.(2)过双曲线外一点0a b2200a2b2x y22- =1ax + by + c = 0a a - b b = c（3）双曲线与直线相切的条件是22222 .a b2258抛物线 y2 = 2px的焦半径公式:p= 2px(p 0)= +抛物线 y焦半径 cf x.220pp= x + + x + = x + x + p过焦点弦长 cd.221212b4ac-b24a= ax +bx+c = a(x+ ) +(a 0)的图象是抛物线：59二次函数 y222ab 4ac -b2b 4ac -b +12(- ,)(- ,)；

19、（1）顶点坐标为（3）准线方程是 y；（2）焦点的坐标为2a4a2a4a4ac -b -12=.4a= (x - x ) + (y - y )60 直线与圆锥曲线相交的弦长公式 ab221212= (1+ k )(x + x ) - 4x x =| x - x | 1+ tana =| y - y | 1+ cot a2或 ab22221211212y = kx + b(x , y ), b(x , y )ax2 + bx + c = 0（弦端点 a，由方程消去 y得到f(x, y) = 01122d 0 a, 为直线abk| - |= ( + ) - 4x x x x .的倾斜角， 为直线的

20、斜率， x x212121 261证明直线与平面的平行的思考途径:（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.62证明直线与平面垂直的思考途径:（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面。63证明平面与平面的垂直的思考途径：（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直；(3) 转化为两平面的法向量平行。10 64 向量的直角坐标运算：(a ,a ,a ) b (b ,b ,b )则：设 a ， 123123(a + b ,a + b ,

21、a + b )(1) a b (2) a b ；112233(a -b ,a -b ,a -b )112233(la ,la ,la )(3) a ( r)；123+ a b + a b(4) a b a b1 1；2 23 365 夹角公式：a b + a b + a b(a ,a ,a ) b (b ,b ,b )a bcos =设 a ， ，则.1 12 23 3123123+ + +a a a b b b21222321222366 异面直线间的距离 ：| cdn |d =,ln c、d l ,ld l ,l上任一点， 为 间的距离).(l 是两异面直线，其公垂向量为 ，是| n |1

22、2121267点 到平面a 的距离：b| abn |aa=d（ n 为平面 的法向量， a a ， 是 的一条斜线段）.ab| n |4=r3,其表面积s= 4p r 268球的半径是 r，则其体积v69球的组合体：(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.p3(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.6(3)球与正四面体的组合体: 棱长为a 的正四面体的内切球的半径为 12a6166 3a的 ).3 4(正四面体高a的 ),外接球的半径为a(正四面体高344

23、= m + m + + m70 分类计数原理（加法原理）： n.12nn = m m m分步计数原理（乘法原理）：.12nn！(n-1)l(n-m+1)=.(n ， m n，且m n )规定0!= 1.71排列数公式 ： a =nm*(n - m)！n(n-1) (n-m+1)n！m！(n-m)！a nmnaml n( n， mn*，且m n ).72 组合数公式：c =m12 mlnm组合数的两个性质:(1)c =c;(2) c +cm-1 =c .规定c0=1.mn-mmmnnnnn+1n(a + b) = c a + c a b + c a b + + c a b + + c bll73

24、 二项式定理01n-12n-22n-rn ;nnrrnnnnnn= c a b (r = 0，1，2l，n)二项展开式的通项公式t.rn r-rr+1nf (x) = (ax +b) = a + a x + a x + + a x 的展开式的系数关系：n2n012na + a + a + + a = f (1)； a - a + a + + (-1) a = f (-1)； a = f (0) 。274 互斥事件 a，b分别发生的概率的和：p(ab)=p(a)p(b)n01n0120nn 个互斥事件分别发生的概率的和：p(a a a )=p(a )p(a )p(a )1 275 独立事件 a，

25、b同时发生的概率：p(ab)= p(a)p(b).n个独立事件同时发生的概率：p(a a a )=p(a ) p(a ) p(a )n12n12n12n(k) = c p (1- p) .76 n次独立重复试验中某事件恰好发生 k次的概率： pkkn-knn= x p + x p + + x p +77 数学期望： ex1 12 2n n11 数学期望的性质（1） e(ax + b) = ae(x) + bx b(n, p). （2）若 e = np,则 x.1x(x = ) = ( , ) =k g k p qk-1 p，则 ex=(3) 若 服从几何分布,且 p.p()2()2()x p + + x - e p +xxx= x - e p + x - e78 方差： d21122nn标准差：sx = dx .方差的性质：( )xx；+b = a d(1) d a2(2）若 b n p ，则 dx np p .= (1- )x( , )qx(x = ) = ( , ) =k g k p qk-1 p ，则 dx=(3) 若 服从几何分布,且 p.p2( )xxx= e - e方差与期望的关系： d22.( m)12( )x-()x - +，=e-,7