高等传热学第二章稳态导热

1、高等传热学第二章稳态导热 动力工程及工程热物理学科研究生 高等传热学（32课时） 高等传热学第二章稳态导热 第二章第二章 稳态导热稳态导热 4稳态导热问题，即忽略温度随时间的变化，只考虑温度的空间分 布。严格来说，完全稳定的导热现象是不存在的，但当温度随时 间的变化相对很小时，可以近似地看作稳态导热。在工程实际中， 像稳定运行的热工设备、电缆的散热等计算大多以稳态导热为基 础。研究稳态导热的主要目标是求得物体内部的温度分布，由此 可进一步导出热流密度和热流量。 4在一维稳态导热中温度场只是一个空间坐标的函数，同样是一种 物理模型上的简化。如能抓住主要矛盾，突出重点，许多实际问 题是可以简化为一

2、维问题的。这样的模型使问题的数学处理得以 大大简化，常常可以分析求解，而且常可使导热现象的一些主要 特征变得更加突出，一些基本规律体现得更加明显。 4在更多的情况下一维导热的近似是不合适的，或不可能的。此时 必须讨论二维或三维导热问题，相应的导热微分方程是偏微分方 程，在常物性条件下也就是拉普拉斯方程或泊松方程。在分析求 解拉普拉斯方程和泊松方程方面已经积累了许多成功的经验，本 章将简要介绍其中的分离变量法和虚拟热源法。但是，迄今为止 各种分析解法的效能仍是有限的，只能求解几何形状比较简单、 具有线性边界条件的问题。求解更为一般的导热问题常常有赖于 数值解。 高等传热学第二章稳态导热 2-1

3、一维稳态导热一维稳态导热 图2-1通过大平壁的导热 高等传热学第二章稳态导热 2-1 一维稳态导热一维稳态导热 42-1-1 无内热源的一维导热无内热源的一维导热 4求解导热问题的一般思路是首先从导热微分方程和相应的定解条 件出发，解得温度场。 4对于如图2-1所示的大平壁的稳态导热，已知两表面的温度分别为 t1和t2。导热微分方程简化为 4 （2-1-1） 4其通解为 4 （2-1-2） 4问题的边界条件为 4 （2-1-3） 2 2 0 d t dx 12 tC xC 1 2 0, , xtt xtt 高等传热学第二章稳态导热 4由此可确定通解中的两个任意常数，得到该问题的温度分布 4 （

4、2-1-4） 4根据傅里叶定律可进一步确定平壁中的热流密度 4 （2-1-5） 4注意到热流密度与坐标x无关，是一个常量。 4从导热微分方程出发求解温度分布是解决导热问题的一般方法， 但对于无内热源的一维稳态导热问题这样的特例，则可以从傅里 叶定律直接积分确定热流。对于一维导热，傅里叶定律可写作 4 （2-1-6） 2-1 一维稳态导热一维稳态导热 12 1 tt ttx 12 ttdt q dx dt q dx 高等传热学第二章稳态导热 4由于是稳态导热且无内热源，q应该是不随x变化的常量，因为如 果任意两个平行平面上的热流密度不等，则根据能量守恒原理， 这两个平面间的温度一定会发生变化。对

5、上式分离变量并积分： 4 （2-1-7） 4对于常物性问题，可直接得到式（2-1-5）。对于变物性问题，如 果已知导热系数随温度变化的函数关系 ，定义 4 （2-1-8） 4为t1 t2温度范围内的平均导热系数，则可得 4 （2-1-9） 2-1 一维稳态导热一维稳态导热 2 1 0 t t qdxdt ( ) t 2 1 21 t t m dt tt 12 m tt q 高等传热学第二章稳态导热 4如果导热系数随温度的变化是如式（1-1-11）所描述的线性函数， 则很显然，按式（2-1-8）定义的平均导热系数即是材料在平 均温度 下的导热系数，即 4 （2-1-10） 4如果改变式（2-1-

6、7）中的积分上限，写作 4 （2-1-11） 4则可得大平壁中稳态温度分布的另一种形式 4 （2-1-12） 2-1 一维稳态导热一维稳态导热 12 () 2 m ttt 12 0(1 ) 2 m tt b 2 1 0 xt t qdxdt 1 q ttx 高等传热学第二章稳态导热 2-1 一维稳态导热一维稳态导热 图2-2 通过圆筒壁的导热 高等传热学第二章稳态导热 4通过长圆筒壁（图2-2）的导热由傅里叶定律直接积分的方法。 4若已知圆筒壁的内外壁面温度分别为t1和t2。注意到，圆筒壁的导 热面积在径向上是变化的，但单位长度上的总热流量ql（单位为 W/m）仍应是常量（不随r变化）。由傅里

7、叶定律可得 4 （2-1-13） 4分离变量并积分 4 （2-1-14） 4对于常物性问题，整理后可得 4 （2-1-15） 4对于变物性问题，同样可用式（2-l-8）定义的平均导热系数代替 上式中的常物性导热系数来计算圆筒壁的热流量。 2-1 一维稳态导热一维稳态导热 2 l dt qr dr 22 11 2 rt l rt dr qdt r 1212 2121 2()2() ln()ln() l tttt q r rdd 高等传热学第二章稳态导热 4对于空心圆球壁，稳态径向总热流量Q为常量。同理，由傅里叶 定律可写出 4 （2-1-16） 4当己知两个壁面的温度时，可同样用分离变量并积分的

8、方法自行 推导得到 4 （2-1-17） 2-1 一维稳态导热一维稳态导热 2 4 dt r dr 1 212 21 4()rr tt rr 高等传热学第二章稳态导热 42-1-2 带有内热源的一维稳态导热带有内热源的一维稳态导热 4导电体通电时发热是导热物体内热源的最常见的例子，计算由于 这种发热引起的温升对于设计电器设备是很重要的。在浇灌大量 的混凝土时，混凝土水化时的发热也会形成过高的温度，常常需 要设计特殊的冷却系统。此外，在释放化学能和原子能的场合， 也会涉及内热源的问题。 4考虑一个带有均匀分布的内热源的大平壁，其体积发热率为qV。 建立如图2-3所示的坐标。对于这样一个一维稳态导

9、热问题，导热 微分方程可简化为 4 （2-1-18） 2-1 一维稳态导热一维稳态导热 2 2 V qd t dx 高等传热学第二章稳态导热 2-1 一维稳态导热一维稳态导热 图2-3 有均匀内热源的 平壁中的温度分布 高等传热学第二章稳态导热 4对以上方程积分两次，可得该常微分方程的通解 4 （2-1-19） 4如果首先考虑第一类齐次边界条件，即给定两个表面的温度均为 零，即 4 （2-1-20） 4代入以上得到的通解式(2-1-19)，可以确定其中的两个任意常数， 并整理得到 4 （2-1-21） 2-1 一维稳态导热一维稳态导热 2 12 2 V q txC xC 0,0 ,0 xt x

10、t () 2 V q txx 高等传热学第二章稳态导热 2-1 一维稳态导热一维稳态导热 4如果给定两个表面的温度分别为t1和t2，即 4 4代入以上得到的通解式(2-1-19)，可以确定其中的两个任意常数， 并整理得到 4 （2-1-22） 4以上温度分布可以看作两个温度分布的叠加：后一项是非齐次的 微分方程（有热源）在齐次边界条件下的解，前两项是齐次的微 分方程在非齐次边界条件下的解，也就是无内热源大平壁稳态导 热的解式(2-1-4)。 4任一点处的热流密度可由傅里叶定律得到： 4 （2-1-23） 1 2 0, , xtt xtt 21 1 () 2 V qtt ttxxx 12 (2)

11、 2 V qttdt qx dx 高等传热学第二章稳态导热 2-1 一维稳态导热一维稳态导热 4上式同样可以看作是两个简单问题的热流密度的叠加。由于有内 热源的作用，q已不再是常量，且各点处热流的方向取决于上式中 两项的相对大小。 4由此可看到解决非齐次问题时常用的“线性叠加原理”方法，即 把复杂的线性非齐次问题分解为几个较简单的问题再把结果相加。 4实心长圆柱体有均匀的体积发热率qv，试求圆柱体中的稳态温度 分布。导热微分方程简化为柱坐标系中的一维稳态导热方程 4 （2-1-24） 4积分两次可得以上微分方程的通解 4 （2-1-25） 1 () v qddt r r drdr 2 12 l

12、n 4 v q trCrC 高等传热学第二章稳态导热 2-1 一维稳态导热一维稳态导热 4r0处温度应该有界，即 ，可以作为一个边界条件， 由此可得C10。如果给定另一个边界条件是第一类边界条件， 即rR，tt1。代入通解可得 4 （2-1-26） 4如果给定另一个边界条件是第三类边界条件，即 4 （2-1-27） 4代入通解可得 4 （2-1-28） 0r t 22 1 () 4 v q ttRr ,() f dt rRh tt dr 22 () 24 vv f q Rq ttRr h 高等传热学第二章稳态导热 2-2 扩展表面扩展表面准一维问题准一维问题 4在固体壁面与流体的对流换热系统中

13、，例如各 种换热设备中，常在换热表面上增添一些肋， 以增大换热表面，达到减小换热热阻的目的。 4对各种助片的温度场和传热性能的分析常归结 为扩展表面问题。此外，一些工程部件，如插 入管道的测温元件的套管、透平叶片等，也涉 及突出的细长杆与周围流体的换热，在分析其 温度场时，也可归结为扩展表面问题。 高等传热学第二章稳态导热 2-2 扩展表面扩展表面准一维问题准一维问题 42-2-1等截面直肋等截面直肋 4分析等截面直肋中的温度分布有助于掌握分析各种扩展表面问题 的一般方法。图2-4给出了一个等截面直肋的几何配置。肋根(x 0)与热壁相连，温度为t0。肋的侧面与温度为tf的流体对流换热， 表面传

14、热系数为h。如果肋片的宽度L足够大，宽度方向的温度不 均匀可以忽略不计的话，肋片内部的温度分布应该是二维的。但 是可以设想，如果肋片足够薄、导热系数足够大，肋片厚度方向 的温差也可以近似地忽略不计，那么肋片中的温度场仅是高度(x 坐标)的函数，肋片中的导热问题简化为“准一维”问题。更精确 地说，能否进行这样简化的判据应该是Bih/足够小也有把肋 片厚度的一半作为特征尺寸，则Bih/(2)。无量纲量 表征肋片厚度方向的导热热阻与表面对流换热热阻之比。为了作 “准一维”简化，通常要求Bi0.1，但实际上这一判据也与肋片 的几何形状参数H/有关。当然，进行这样简化引起的偏差必须通 过与二维问题的解作

15、比较才能确定。 1 Bi h 高等传热学第二章稳态导热 2-2 扩展表面扩展表面准一维问题准一维问题 图2-4 等截面直肋的导热 高等传热学第二章稳态导热 2-2 扩展表面扩展表面准一维问题准一维问题 4由于忽略了厚度y方向的导热，y方向就不会出现边界条件，肋片 表面的散热在微分方程中必须作为(负的)热源来处理。对图2-4中 长度为dx的微段进行分析，可得体积发热率为 4 （2-2-1） 4其中A是垂直于x轴的肋片截面面积，P2(L+)2L是该截面的周 长。 4引进过余温度t-tf，该肋片的稳态导热微分方程有如下的形式： 4 （2-2-2） 4这是一个二阶线性齐次常微分方程，有如下形式的通解：

16、 4 （2-2-3） () f v h ttPdx q Adx 2 2 0 dhP dxA 12 mxmx C eC e 高等传热学第二章稳态导热 2-2 扩展表面扩展表面准一维问题准一维问题 4其中 4常数C1和C2需借助于合适的边界条件求得。一个条件是已知助基 温度，即 4 （2-2-4） 4如果另一端以对流换热的方式把热量传给周围环境，则边界条件 可写作 4 （2-2-5） 4其中肋端表面传热系数h2通常不等于肋表面的对流换热表面传热 系数。 hP m A 0 0,x 2 , d xHAh A dx 高等传热学第二章稳态导热 2-2 扩展表面扩展表面准一维问题准一维问题 4如果肋的高度足

17、够大，肋端过余温度很小，因而常常可把肋端的 热损失忽略不计，则以上上边界条件可简化为 4 （2-2-6） 4由边界条件式(2-2-4)、(2-2-6)确定常数C1和C2，整理后可得 4 （2-2-7） 4则肋端过余温度为： 4 （2-2-8） ,0 d xH dx 0 () () ch m Hx ch mH 0 () H ch mH 高等传热学第二章稳态导热 2-2 扩展表面扩展表面准一维问题准一维问题 4单位宽度肋片的散热量可根据傅里叶定律由肋基处的温度梯度求 得，或根据牛顿冷却定律由表面过余温度的积分求得： 4 （2-2-9） 4双曲函数的值可在数学函数表中查得，或根据其定义计算得到： 4

18、如果由边界条件式(2-2-4)、(2-2-5)确定常数C1和C2，即考虑肋端 的散热损失，可得 4 （2-2-10） 00 0 ()() H x d AhP dxAhPth mH dx , 22 xxxx eeeeshx chxshxthx chx 2 02 () () () ()()() ch m Hxhmsh m Hx ch mHhmsh mH 高等传热学第二章稳态导热 2-2 扩展表面扩展表面准一维问题准一维问题 4则肋端过余温度为： 4 （2-2-11） 4通过肋基的热流量为 4 （2-2-12） 4比较式(2-2-9)和式(2-2-12)的计算结果表明，肋端热损失的影响， 可以用假想

19、肋的高度增加其厚度的一半、即取HcH+/2代替实际 的肋高，而把肋端当成是绝热的方法来处理。这实际上相当于把 肋端的散热面积展开到侧面上。这样的近似处理方法可使计算大 为简化，且对于绝大多数工程实际问题已有足够的精度。 0 2 ()()() H ch mHhmsh mH 2 0 2 ()() 1 ()() hmth mH AhP hmth mH 高等传热学第二章稳态导热 2-2 扩展表面扩展表面准一维问题准一维问题 4在壁面上加肋的基本作用是为了增加换热面积以增加壁面的传热。 在设计用于换热器的肋壁时需要考虑多种因素，如肋的形状、尺 寸、材料和加工工艺以及肋片间的间距等。把一片肋分成若干片 较

20、薄的肋总会增加散热面积，但受到加工工艺的限制。此外，肋 片间距过密也会妨碍对流换热。 4“最佳肋”的概念首先涉及优化的条件和判据的问题，即在如重 量、体积、传热量、价格等因素中确定首先要考虑的因素。在一 些情况下，以最小的重量的换热器传递最大的热量是首要的问题。 4如果肋片的材料一定，即其密度一定，则单位宽度肋片的重量与 肋片的截面面积AH成正比(注意，另一个截面面积AL是垂 直于肋高方向的截面面积)。下面讨论给定材料、给定单位宽度的 重量，即A一定时，怎样选取矩形直肋的形状以得到最大的传热 量。注意到，对于矩形直肋，若L，则有P2L；用A/代替式 (2-2-9)中的H，式(2-2-9)变为：

21、 4 （2-2-13） 0 2 2() h A QLhth 高等传热学第二章稳态导热 2-2 扩展表面扩展表面准一维问题准一维问题 4当取得极值时，d/d0，即 4注意到 ，上式可缩写并整理为 4 （2-2-14） 4用数值法解以上超越方程，得mH1.419，或改写为 4 （2-2-15） 2 2 32 12 2 0 22 h A h A th h A ch 2h A mH ()()3sh mH ch mHmH 21 1.4191.419 2 H hBi 高等传热学第二章稳态导热 2-2 扩展表面扩展表面准一维问题准一维问题 4最佳等截面直肋的肋端过余温度为 4 （2-2-16） 4由以上关系

22、式可以判断等截面直肋是否具有最佳高度。为了比较 不同材料制成的最佳等截面直肋的性能，把 代入式(2-2-13)，并利用以上得到的结果mH1.419，整理后可得 给定热流量时要求的最佳直肋的截面面积 4 （2-2-17） 0 ,0 0.475 () H opt ch mH 3 2 2h A mH 33 22 00 10.527 4() mH A hLth mHhL 高等传热学第二章稳态导热 2-2 扩展表面扩展表面准一维问题准一维问题 4上式表明，在给定的条件下(最佳等截面直肋)要使单片 肋的传热量增加一倍，就需要使它的截面面积(因而重 量)增加到原来的8倍。但使用两片同样的肋就可以使 传热量增

23、加一倍。因此小尺寸的肋片是有利于减轻重 量的。对于不同材料的肋，所需的截面面积(因而体积) 与其导热系数成反比，或所需肋片的重量与其材料的 /成正比。根据对物性数据的计算，为传递相同的热 流量，如果单片铝肋片的重量为1，则铜肋片和钢肋片 的重量分别为1.96和11.8。 4至于肋的最佳形状，涉及的问题复杂得多。由于沿肋 的高度方向热流是逐渐减小的，因此等截面的肋肯定 是没有充分利用材料。工程上考虑制造的方便，常采 用三角形或梯形的肋片。 高等传热学第二章稳态导热 2-2 扩展表面扩展表面准一维问题准一维问题 图2-5 三角形直肋的导热 高等传热学第二章稳态导热 2-2 扩展表面扩展表面准一维问

24、题准一维问题 42-2-2 变截面直肋和环肋变截面直肋和环肋 4对于变截面直肋和环肋的导热，数学上的处理与等截面直肋相同， 只是沿高度方向的导热面积不再是常数，而是高度方向坐标的函 数；肋壁单位高度上的散热面积也可能随坐标变化。如果假定表 面的对流换热表面传热系数是常数，引进过余温度ttf，则导 热微分方程为 4 （2-2-18） 4下面以数学处理最简单的三角形直肋(图2-5)为例进行讨论。把坐 标原点放在肋端，若肋基的厚度为，则导热面积A可表示为 4 （2-2-19） 4在H且L条件下，P 2L。在常物性条件下导热微分方程为 如下的形式： 4 （2-2-20） ( )( )0 dd A xh

25、P x dxdx ( ) x A xL H 2 2 12 0 ddhH dxx dxx 高等传热学第二章稳态导热 2-2 扩展表面扩展表面准一维问题准一维问题 4作变量置换 ，其中 ，以上方程变为零阶 变型贝塞尔方程 4 （2-2-21） 4其通解为 4 （2-2-22） 4其中I0和K0分别是第一类和第二类零阶变型贝塞尔函数，I0 (0)1， K0 (0)，其级数表达式可以在数学手册中查到。如果已知肋基 的过余温度0，肋端绝热，则可以确定常数C1和C2，并得 4 （2-2-23） 2zx2()hH 2 2 2 0 dd dzz dz 1 020 ( )( )C IzC Kz 0 0 (2)

26、(2) c Ix IH 高等传热学第二章稳态导热 2-2 扩展表面扩展表面准一维问题准一维问题 4肋片的散热量为 4 （2-2-24） 4其中I1是一阶变型贝塞尔函数，且有dI0(y)/dyI1 (y)。同样地，可 以导得截面面积一定而散热量取得最大值时三角形直肋的最佳尺 寸比和此时的肋端过余温度分别为 4 （2-2-25） 4 （2-2-26） 1 0 0 (2) 2 (2) x Id QLhL dxIH 2 1.309 2 H h ,0 0.277 H opt 高等传热学第二章稳态导热 2-2 扩展表面扩展表面准一维问题准一维问题 4工程上最关心的是计算通过肋片的散热量。除了等截面直肋以外

27、，这种 计算都涉及复杂的特殊函数或需作数值计算。为了方便应用，这些计算 结果通常用无量纲线图的形式给出。这就需要引进无量纲量f(称为肋效 率)： 4 （2-2-27） 4肋效率的定义是肋的实际热流量与整个肋表面的温度都维持为肋基温度 时的“理想”热流量之比。式中Af是肋的散热面积。根据这一定义，等 截面直肋的效率为 4 （2-2-28） 4三角形直肋的效率为 4 （2-2-29） 4各种直肋、针肋和环肋的效率线图可以在有关传热手册中查到。 00 () f ff QQ QhA tt () f th mH mH 1 0 (2)1 (2) f I H IH 高等传热学第二章稳态导热 2-3 二维稳态

28、导热二维稳态导热 4二维或三维的稳态导热问题，在常物性的条件下由泊 松方程(1-2-11)或拉普拉斯方程(1-2-12)描述。分析二维 或三维稳态导热的方法主要有解析法和数值解法。 4解析法的优点是能够得到适合于同类问题的一般的函 数关系式，各参数之间关系的物理意义明确，还可进 一步作微分和积分等数学运算。解析解还常常用来作 为检验各种近似解精度的依据。但是，解析法通常需 要涉及较复杂的数学理论，而且至今只有少数具有特 定几何形状和边界条件的问题才能得到温度场的解析 解。 4随着计算机技术的飞速发展，作为近似解法之一的数 值解法已得到广泛的应用，成为解决各种实际工程问 题的最有力的工具。 4其

29、他的近似解法，如图解法、(电或水的)模拟法，现在 已很少采用。 高等传热学第二章稳态导热 2-3 二维稳态导热二维稳态导热 42-3-1 分离变量法分离变量法 4分离变量法可用于求解几何形状规则的区域中的导热 问题，是最早发展的解析法，也常用作其他解析法的 基础。本书仅介绍直角坐标系中的分离变量法，其他 正交坐标系中分离变量的基本思路相同，但将涉及贝 塞尔函数、勒让德函数等特殊函数，读者可参阅文献。 4由于求解过程中分离变量的要求，这一方法适合于处 理齐次问题。下面以一个矩形区域中无内热源的稳态 导热问题为例说明分离变量法的具体思路。见图2-6， 矩形区域的4个边界中有3个边界维持均匀的温度t

30、0；第 4个边界条件为已知的温度分布f(x)。引进过余温度t t0，可使3个等温边界条件变为齐次的。二维稳态导 热由拉普拉斯方程描述： 高等传热学第二章稳态导热 2-3 二维稳态导热二维稳态导热 图2-6 矩形区域稳态导热的边界条件 高等传热学第二章稳态导热 2-3 二维稳态导热二维稳态导热 4 （2-3-1a） 4 （2-3-1b） 4 （2-3-1c） 4 （2-3-1d） 4 （2-3-1e） 4假设所求的温度分布(x, y)可以表示为一个x的函数和一个y的函数 的乘积，即 4 （2-3-2） 22 22 0 xy 0,0 x ,0 x 0,0y 10 ,( )( )yHf xf xt

31、( , )( ) ( )x yX x Y y 高等传热学第二章稳态导热 2-3 二维稳态导热二维稳态导热 4代入方程(2-3-1a)，由于方程是线性齐次的可以分离变量，得到 4上式第一个等号左边是x的函数，右边是y的函数。因此，只有它 们都等于一个常数时等式才有可能成立，记这个常数为2。由此 得到带一个待定常数的两个常微分方程： 4 （2-3-3） 4 （2-3-4） 4它们各自的通解为 4 （2-3-5） 4 （2-3-6） 2 XY XY 2 2 2 0 d X X dx 2 2 2 0 d Y Y dy cos()sin()XAxBx ()()YCshyDchy 高等传热学第二章稳态导热

32、 2-3 二维稳态导热二维稳态导热 4注意到x方向的两个边界条件都是齐次的，把式(2-3-2)代入边界条 件式(2-3-1b)和(2-3-1c)，同样可分离变量得到 4 （2-3-7a） 4 （2-3-7b） 4把式(2-3-7a)代入式(2-3-5)得A0。再把式(2-3-7b)代入式(2-3-5)得 4为了得到x的非零解(否则XY0，没有意义)，必须有B 0，因 此必须有 4 （2-3-8） 0,0 xX ,0 xa X sin()0Ba sin()0a 高等传热学第二章稳态导热 2-3 二维稳态导热二维稳态导热 4该方程称为这一分离变量问题的特征方程，它有无穷多个解。由 于解的对称性，在

33、这里仅取正的解即可，它们是 4 （2-3-9） 4得到满足方程(2-3-5)和边界条件式(2-3-7a)、(2-3-7b)的无穷多个解 4由边界条件式(2-3-1d)可得Y(0)0，代入式(2-3-6)得D0。由此 4相应地有 ,(1,2,) m m m a sin() mmm XBx () mm YC shy sin()(),(1,2,) mmmm Cx shym 高等传热学第二章稳态导热 2-3 二维稳态导热二维稳态导热 4由于方程和3个边界条件都是线性齐次的，以上得到的解的叠加仍 满足方程和这3个边界条件，即 4 （2-3-10） 4由边界条件式(2-3-1e)得 4可以确定级数中的系数

34、Cm，即把f1(x)在(0, )区间上展成正弦级数， 可得 4即 4 （2-3-11） 1 sin()() mmm m Cx shy 1 1 ( )sin()() mmm m f xCx shH 1 0 2 ()( )sin() mmm C shhf xx dx 1 0 ( )sin() 2 () m m m f xx dx C shH 高等传热学第二章稳态导热 2-3 二维稳态导热二维稳态导热 4最后得到原问题的解为 4 （2-3-12） 4对于第4个边界是等温边界的特例，即f(x)t1，f1(x)1t1t0， 上式简化为 4 （2-3-13） 4在以上的问题中，如果不止一个边界条件是非齐次

35、的，就需要利 用叠加原理把问题分解为几个简单的问题。仍以矩形域中的一般 的第一类边界条件的稳态导热为例，其数学描述为 1 0 1 21 ( , )()sin()( )sin() () m mmm x yshyxf xx dx m aaa shH a 1 1 21 ( 1) ( , )()sin() () m m mm x yshyx m aa mshH a 高等传热学第二章稳态导热 2-3 二维稳态导热二维稳态导热 4 （2-3-14） 4令 1234，1、2、3和4分别是以下定解问题的解： 4 22 22 0 1 0 1 0 0,( ) ,( ) 0,( ) ,( ) xy yfx yHf

36、x xy xy 22 11 22 1 1 1 11 0 0,0 ,0 0,0 ,( ) xy y yH x xy 22 22 22 2 2 20 2 0 0,0 ,0 0,( ) ,0 xy y yH xy x 22 33 22 3 31 3 3 0 0,0 ,( ) 0,0 ,0 xy y yHf x x x 22 44 22 40 4 4 4 0 0,( ) ,0 0,0 ,0 xy yfx yH x x 高等传热学第二章稳态导热 2-3 二维稳态导热二维稳态导热 4由于每个问题中都有3个齐次边界条件，可以分别按以上介绍的方 法求得解析解。最后可得原问题的解为 4 （2-3-15） 4如果

37、x方向(或y方向)的两个边界条件是齐次的第二类或第三类边 界条件，或是这三类齐次边界条件的某种组合，则都可以直接按 以上例子的思路进行分离变量求解。 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 2() ( , )sin()( )sin() () 2() sin()( )sin() () 2() sin()( )sin() () 2() sin( () m m h m m sh m ymm x yxf xx dx sh m H sh mHymm xfxx dx sh m H sh m x Hmm yyy dy Hsh mHH sh mxHm Hsh mH 0 0 )( )sin() h m yyy

38、dy H 高等传热学第二章稳态导热 练习 4如图所示一个矩形柱体横截面，边长分 别为L1，L2，材料为常物性。边界条件 如图所示，试求柱体内温度场分布的表 达式。 高等传热学第二章稳态导热 2-3 二维稳态导热二维稳态导热 42-3-2虚拟热源法虚拟热源法 4无内热源的稳态导热问题在常物性条件下满足拉普拉斯方程。拉 普拉斯方程是线性齐次的偏微分方程，它的解满足叠加原理。 4而一些点热源、线热源、面热源在特定的区域(例如无限大介质) 中的解具有简明的形式。如果某一温度场可以看作是几个这样的 热源或热汇(即负热源)形成的温度场的叠加，就可以比较简单地 求得问题的解析解。这种方法称为虚拟热源法，它也

39、同样可成功 地应用于由拉普拉斯方程描述的电场或理想流体流动的问题。 4考察地下埋管的散热损失问题。参看图2-7，地下埋设的热管道直 径d0=2r0，埋深为H。设埋管外表面和地面的温度分别维持为常量 tw和t0。在常物性假定且不考虑温度分布沿管长方向变化的情况下， 土壤中的温度分布由二维拉普拉斯方程和两个等温边界条件描述。 利用虚拟热源法可以方便地求解这样一个系统的导热问题。 高等传热学第二章稳态导热 2-3 二维稳态导热二维稳态导热 图2-7 地下埋管问题 高等传热学第二章稳态导热 2-3 二维稳态导热二维稳态导热 4引进过余温度tt0，则在y0的平面上有0。把求解的区域 由半无限大介质(土壤

40、)扩展为整个无限大介质，并设想在(0，a)处 有一个强度为ql(单位为W/m)的线热源，在(0，-a)处有一个强度为 -ql的线热源(或称热汇)。单一的线热源在无限大介质中形成的温 度分布是柱坐标系中的一维温度场，即线热源和线热汇引起的温 度分布分别为 4 （2-3-16） 4 （2-3-17） 1 1 0 ln 2 l qr r 2 2 0 ln 2 l qr r 高等传热学第二章稳态导热 2-3 二维稳态导热二维稳态导热 4由于问题的线性性，这两个温度分布的叠加仍然满足拉普拉斯方 程，而且由于其对称性，y0处的边界条件即得到满足，即 4 （2-3-18） 4根据坐标间的几何关系，对任一点P(x, y)有 4则在直角坐标系中表示的温度分布为 4 （2-3-19） 2 12 1 ln 2 l qr r 22 1