《正弦定理和余弦定理》典型例题

1、正弦定理和余弦定理典型例题透析 类型一：正弦定理的应用：例1 .已知在 ABC中，c =10 , A =45 , C =30，解三角形，可以确定先用正弦定理求出边a，然后用三角形思路点拨：先将已知条件表示在示意图形上(如图) 内角和求出角B，最后用正弦定理求出边 b .解析:asin Acsi nCcsi nA10 xs in 45“a sin C sin 30= 10、一 2 ,B =180； - (A C) =105,bsin Bcsin Ccsin Bsi nC10 sin105；sin 30= 20sin 75=20-5.6 5. 2 .总结升华：1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一

2、边求另两边和一角的问题；从而恰当地选择解2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系,答方式举一反三：【变式1】在 ABC中，已知A=32.0 , B=81.8, a=42.9cm，解三角形。【答案】根据三角形内角和定理，C=180-(A- B) =180-(32.081.80)=66.2；根据正弦定理,根据正弦定理,b as in B-si nA42.9sin81.80一 sin32.0080.1(cm);asi nC si nA42.9sin66.20 sin32.00:74.1(cm).【变式2】在 ABC中，已知B =750, C =60。, c = 5，

3、求a、A.【答案】a =18O0 -(B C) =18O0 -(750 6O0) = 450,根据正弦定理a55*6sin 45sin 60，3【变式 3 】在 ABC 中，已知 sin A: sin B : si nC =1:2:3，求 a:b:c abc【答案】 根据正弦定理，得a : b : c = sin A: sin B : sin C二si nA si nB si nC例 2在:ABC中，b =-：;3B =60c =1,求：a 和 A, C .(如图)，可以确定先用正弦定理求出角1:2:3.思路点拨：先将已知条件表示在示意图形上 内角和求出角 A，最后用正弦定理求出边 a.C,然

4、后用三角形解析：由正弦定理得:sin B sin Ccsin B 1 sin 60：1二 sinCb732（方法一） 0 :：: C ：180, C =30 或 C=150：,当 C =150：时，B C =210： . 1801,（舍去）； 当 C =30；时，A =90； , a 二 b2 c2 = 2 .（方法二） b e, B =60：， C : B , C :：: 60 即 C 为锐角， C =30； , A=. 90； a = . b2 c2 =2 .总结升华：1. 正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题。2. 在利用正弦定理求角 C时，因为sinC二sin(

5、180 -C),所以要依据题意准确确定角C的范围，再求出角C .3. 一般依据大边对大角或三角形内角和进行角的取舍举一反三：【变式 1 】在 ABC 中，c一 6 , a =2 , A=45：，求 b 和 B,C .【答案】 一sin A, sin C =sin Ccsin A 6 sin 453 0 ：C 180, C =60：或 C =120：当 C =60、时,B=75：,竺啞 6sin75sin Csin 60J3 1 ；当 C =120：时,B=15：, b-沁一6前15sin Csin 60-1；所以，b= 3 1, B=75；,C或 bf：；3-1,B =15；,C =120 .

6、【变式 2 】在 ABC 中 a =20, b =10.2, A =45：,求 B 和 c ;【答案】a _10&sin 45sin B1 sin B =一/ 0 B :：: 180, B =30：或 B =150： 当 B =30 时，C =105； , c=10( .3 1); 当 B =150 时，A B =195180 (舍去)。【变式3】在:ABC中，B =60： , a =14, b = 7 _6,求.A.【答案】由正弦定理，得A asinB 14 xs in 60042sin A.bA/62/ a : b , A ：. B，即 0 ： A ： 60、 A =45；类型二：余弦定理

7、的应用：例3.已知 ABC中，AB =3、BC37、AC = 4，求 ABC中的最大角。思路点拨：首先依据大边对大角确定要求的角，然后用余弦定理求解解析：三边中B37最大， BC其所对角A最大，根据余弦定理:cos A =2 2 2AB AC - BC2ABLAC32x3x442 (J37)20 :：: A ：180, A =120：故 ABC中的最大角是 A =120.总结升华：1. ABC中，若知道三边的长度或三边的关系式，求角的大小，一般用余弦定理;2. 用余弦定理时，要注意公式中的边角位置关系 举一反三：【变式1】已知AABC中a =3, b=5, c=7，求角C .【答案】根据余弦定

8、理:cosC =b22-c5232 722ab/ 0； : C ：180, C =120【变式2】在:ABC中，角A, B,C所对的三边长分别为 a,b,c ,若a:b:c=-、6： 3(1-),求，ABC 的各角的大小.【答案】设 a hj6k , b=2k , c=、31k , k 0L 26+（屁1）4 近 根据余弦定理得：cos B-2（Qi）T62 0 :：: B ：180，二 B =45 ;同理可得A = 60； C =180： _A_B =75【变式3】在. ABC中，若a2 =b2 c2 bc，求角A.【答案】t b2 c2 -a2 - -be.b2 +c2 _a2 cos A

9、 二2bc/ 0 : A 80, A =120:类型三：正、余弦定理的综合应用例 4.在:ABC 中，已知 a=2 3 , Cmj6 . 2 , B=45，求 b及 A.b，然后继续用余弦定理或正思路点拨：画出示意图，由其中的边角位置关系可以先用余弦定理求边 弦定理求角A.解析：由余弦定理得：2 2 2b a c -2accosB=(2 3)2 ( .62)2 -2 2 3 ( .62)cos45=12 (.6 .2)2 -4 3( .3 1)=8 b=2 .2.求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理:（法一：余弦定理）八 b2 c2-a2 (2 2)2 ( 62 )2-(2、3)22bc-

10、COSA = _2汇2丁2江(76+丿2) A =60（法二：正弦定理） sinA=bsinB=| sin450 =f又/ .62 2.4 1.4 =3.8 , 2、3 ：2 1.8=3.6 a v c，即 00 v A v 90, A =60总结升华：画出示意图，数形结合，正确选用正弦、余弦定理，可以使解答更快、更好 举一反三：【变式1】在 ABC中，已知b =3, c=4, A=135.求B和C .【答案】由余弦定理得：a2 =32 42 一2 3 4cos135 = 25 12 2 , a =、25 12、26.48由正弦定理得:.r bsin A sin B3si n135:0.327 ,因为A=1350为钝角，则B为锐角， B=1907.- C =1800 -（A B25053/ .【变式2】在 ABC中，已知角A,B,C所对