解析几何的解题思路、方法和策略

1、解析几何的解题思路、方法与策略 高三数学复习的目的，一方面是回顾已学过的数学知识，进一步巩固基础知识，另一方面， 随着 学生学习能力的不断提高，学生不会仅仅满足于对数学知识的简单重复，而是有对所学知识进一步理解 的需求，如数学知识蕴涵的思想方法、数学知识之间本质联系等等，所以高三数学复习既要 温故”，更 要知新”，既能引起学生的兴趣，启发学生的思维，又能促使学生不断提出问题，有新的发现和创造， 进而培养学生问题研究的能力. 以 圆锥曲线与方程”容为主的解题思想思路、 方法与策略是高中平面解析几何的核心容，也是高考考 查的重点每年的高考卷中，一般有两道选择或填空题以及一道解答题，主要考查圆锥曲线

2、的标准方程及 其几何性质等基础知识、基本技能及基本方法的灵活运用，而解答题注重对数学思想方法和数学能力的考 查，重视对圆锥曲线定义的应用，求轨迹及直线与圆锥曲线的位置关系的考查. 解析几何在高考数学中占有十分重要的地位，是高考的重点、热点和难点.通过以圆锥曲线为主要载 体，与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合，结合数学思想方法，并与高等数学基 础知识融为一体，考查学生的数学思维能力及创新能力，其设问形式新颖、有趣、综合性很强基于解析 几何在高考中重要地位，这一板块知识一直以来都是学生在高三复习中一块难啃的骨头”.所以研究解析 几何的解题思路，方法与策略，重视一题多解，一题多变

3、，多题一解这样三位一体的拓展型变式教学，是 老师和同学们在高三复习一起攻坚的主题之一本文尝试以笔者在实际高三复习教学中，在教辅教参和各 类考试中遇到的几道题目来谈谈解析几何解题思路和方法策略. 一、一道直线方程与面积最值问题的求解和变式 例1已知直线I过点M ( 2,1)，若直线I交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B, O为坐标原点. (1 )设 AOB的面积为S,求S的最小值并求此时直线I的方程； (2 )求OA OB最小值；r (3)求MA MB最小值. 解：方法一：直线I交x轴负半轴，y轴正半轴，设直线I的方程为 y k(x 2) 1(k0), A( k B(0,2k1), (1) - S

4、 (2k1)2 2k 2k丄 2k 4, 当(2k)2 1时，即k2 口 号, -时取等号，此时直线l的方程为y 2 2. (2) OA OB 2k 1 2k 3 2 2 3，当且仅当k时取等号; 2 (3) MA MB 1时取等号; ,4 4k2 (k2 1)(1 k2)2 k2 2 k2 当且仅当k 方法二：设直线截距式为 0,b0), M( 2,1) , (1 ) T1 2 J三, ab ab 8，S AOB (2) OA OB 丄 |a|b 2 1 2 1 -7)( a b 1ab b) a) (3) MA MB MA MB 2(a 2) (b 1) 2a (2a 2 1 b)( a

5、卫 5 2a 2b b (3 )方法三: MA 1 sin MB 2 cos sin cos sin 2 4，当且仅当 sin2 1时最小， 变式1 :原题条件不变, (1 ) 求厶AOB的重心轨迹; (2)求厶AOB的周长I最小值. 解：(1 )设重心坐标为 (x,y)，且 A(a,0) , B(0,b)，则 a 3x , b 3y , 2丄1, 3x 3y x y 3x 2 12 -(3x 2) 331 3x 23 2 3，该重心的轨迹为双曲线一部分; (2)令直线AB 倾斜角为，则0 1 sin 1 sin MB cos 1 ,AE ，又M( 2,1)，过M分别作 2 1, BF x轴和

6、y轴的垂线，垂足为E, F , 1 sin cos cot - 2 tan 2tan cot - 2 cot2 1 cos tan 2(1 sin ) cos 2(1 co-) J。 cot2 1 变式2 :求OA 则 t0 , cot- 2 2tan (0 2cos2 2 2 sin cos- 2 2) 2 2(s in cos) 2 2 2 cos - 2 4)， 周长I 3 t 2(t 2) t OB | AB的最小值.(留给读者参照变式 .2 sin 2 10 1，自行解决) 点评：由于三角函数具有有界性，均值不等式有放大和缩小的功能，在解析几何中遇上求最值的问题，可 构建三角函数和均

7、值不等式，合理地放大缩小，利用有界性，求得最值. 圆锥曲线的最值问题，解法一般分为两种：一是几何法， 特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有 关结论来处理非常巧妙；二是代数法，将圆锥曲线中的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题, 然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值; 二、涉及到抛物线的相关题目和证明 例2证明抛物线的焦点弦定值 设直线AB : x p2 ty，与抛物线y 2px交于 代B两点，则有如下一些结论: x,x2 2p X2 P ； sin AF 1 BF X1 证明：方法一：设 A(x1, y-i) B(x2,y2). y2 2pX 2 p，得 y 2pt

8、y 2 x ty 4p2t2 4p20 . y“2 ，则 X-X2 2 yi 2p 2 y2 2p yiy2 47 4 p 4p2 作AA BBi ,假设AA BB1 AF AA Xi BF BBiX2 f， BAA AB AF BF Xi X2P, -yi y2 2pt y-y2 y2)22沁 2p2) p 2 cos 2p(2 sin i)寻 sin 方法二: i sin AB BE i sin sin .(yiy2) 4yiy2 AF BF Xi X2yi y2 Xi P. 2 Ai Bi i sin yi y2 汙丿4能2 4p2 2p ； 2 ； sin Xi X2 X2 P 2 P

9、 4 XiX2 貝Xi X2) 3 2 4p. 例3已知A，B为抛物线C : y2 2pX (p 0)上两点，且满足OA OB , O为坐标原点, 求证：(i) A， B两点横坐标之积，纵坐标之积分别为定值; (2)直线AB经过一定点. 2 2 解:( i )设 A(Xi,yi)，B(X2, y2)，易得 yi 2 p%，y? 2 px?，又 OA OB， 则 XiX2yiy20, 2 2 2 2 2 2 - yi y2 4p XiX2 (XiX2), XiX2 4p , yiy24p ； (2) 方法一：由对称性，可知直线AB过定点一定在x轴上，取特值，得定点为 (2p,0); 设直线 AB

10、的方程为y k(x 2p) (k 0)， 化简整理把x代入抛物线C : 2k 2 y 2px的方程，可得 y y 2p 2pk 站 /2 pk 那么yy k 2p 4p2, 也 4p2, - x-ix2 y-i y20 ,则 OA OB满足题意，表明直线AB过定点 (2p,0) 方法二：易得直线 AB的斜率 y2 yiy2 yi 22 y2 yi 2p 2p xx-i 2p yi y2 直线AB的方程为y yi x1)，整理得 y yi y2 2p y2 yi y2 2p yi， 即 y 2p xy2 ，又/y2 yiy2yiy? 直线AB的方程为 2p yi y2 (x 2p), 即得直线AB过定点(2 p,0). 方法三：设 A(,yi), B(X2,y2)，设直线AB方程为x ty m , 将其代入抛物线 C:y2 2px的方程，得方程 y2 2pty 2pm 0, 2 2 2 只需 4p t 8pm 0 , yiy22pm 4p ,解得 m 2 p , 直线AB的方程为x ty 2p，即得直线 AB过定点(2p,0). y kx2p 2p 方法四：设直线 OA的方程为y kx，由 2，得交点为0(0,0)和A(号，) y 2pxk k i2 又 OB的方程