试题汇编：压轴题

1、2010-2011全国各地中考模拟数学试题重组汇编压轴题一、解答题1.（2010年广州中考数学模拟试题一）如图，以0为原点的直角坐标系中，A点的坐标为（0, 1）,直线沪1交x轴于点B。P为线段AB上一动点，作直线PC丄P0,交直线x二1于点C。过 P点作直线MN平行于x轴，交y轴于点M,交直线x二1于点N。（1）当点C在第一象限时，求证：AOPM幻APCN：（2）当点C在第一象限时，设AP长为m,四边形POBC的面积为S,请求出S与m间的 函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）当点P在线段AB上移动时，点C也随之在直线x二1上移动，APBC是否可能成为 等腰三角形？如果可能，求出所有能

2、使 PBC成为等腰直角三角形的点P的坐标；如果不可能，请说明理由。答案:（1） V0M/7BN, MN/70B, ZAOB二90,四边形OBNM为矩形。MN二0B二 1, ZPM0=ZCNP=90 AM PMAO BO,A0二BX1,AM 二 PM o.OM=OA-Aif=l-AM PN二MN-PM二l-PM,A0M=PN,V ZOPC二90, ZOPM+CPN 二 90又 J ZOPM+ZPOM=90 ZCPN=ZP0M,AAOPMAPCN. Vsin45word.S = S + 仏=胆.PN扣一屁+1(3) APBC可能为等腰三角形。 当P与A重合时，PC二BC二1,此时P (0, 1)

3、当点C在第四象限，且PB二CB时，有 BN=PN=1-.-.BC=PB=/2 PN=/2-m,NC 二 BN+BC=1-m + 5/2 m,2J2由知：NC=PM= m .2m1.吩代半，be-#*当，使APBC为等腰三角形的的点P的坐标为(0, 1)或(2. (2010年广州中考数学模拟试题(四)关于x的二次函数y=-+(F-4)x+2k-2以y轴为对称轴，且与y轴的交点在x轴上方.(1) 求此抛物线的解析式，并在直角坐标系中画岀函数的草图；(2) 设A是y轴右侧抛物线上的一个动点，过点A作AB垂直x轴于点B,再过点A作x 轴的平行线交抛物线于点D,过D点作DC垂直x轴于点C,得到矩形ABC

4、D.设矩形ABCD的 周长为1,点A的横坐标为x,试求1关于x的函数关系式；当点A在y轴右侧的抛物线上运动时，矩形ABCD能否成为正方形.若能请求出 此时正方形的周长；若不能，请说明理由.答案：（1）根据题意得：k=4 = 0,2k-2当 k=2 时,2k-2=20,当 k=-2 时,=-6 近 时，AJ)：=2x, A：B：=-(-x2+2) =x:-2,1=2(A+AA) =2x：+4x-4 1关于x的函数关系式是：/ = 一 2+4x+4( 0x 2 )(3) 解法：当 OVxV2 时，AcBfAJ）：得 x2x-2=0,解得 x=l-VJ （舍），或 x=l + 7J将 x二 1+VJ

5、 代入 l=2x：+4x-4,得 +8.综上所述，矩形ABCD能成为正方形，且当x二-1+石时，正方形的周长为8VJ-8：当 x二1 +、厅时，正方形的周长为87J+8.解法：当OVxV忑时，同“解法”可得严-1 +石正方形的周长1=4AD二8x=8VJ-8当x血时，同“解法”可得x=l + 7J正方形的周长1二4A4二8x=8石+8综上所述，矩形ABCD能成为正方形，且当x=-l+VJ时，正方形的周长为8、疗一8：当 x二1 +石时，正方形的周长为8、/J+8.解法：点A在y轴右侧的抛物线上，当x0时，且点A的坐标为（x, -+2）.令 AB=AD,贝lj|-x2+2|=2x,/x+2=2x

6、,或-丘+2二-2爲由解得x二-1-百（舍），或x二T + 7J由解得X二1-巧（舍），或X二1+石又 l=8x, /.当 xl + VJ 时，1=8-8：当 x二 1 + VJ 时，l=8、/J+8.综上所述，矩形ABCD能成为正方形，且当x二-1+笛时，正方形的周长为8,13-8：当 x二1 +巧时，正方形的周长为8、厅+8.3. （2010年河南省南阳市中考模拟数学试题）如图所示，在平而直角坐标系xoy中，矩形 0ABC的边长0A、0C分别为12cm、6cm,点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛 物线 y二ax+bx+c 经过点 A、B,且 18a + c = 0.（1）求抛物

7、线的解析式.（2）如果点P由点A开始沿AB边以lcm/s的速度向终点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以2cia/s的速度向终点C移动. 移动开始后第t秒时，设APBQ的面积为S,试写岀S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围. 当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R,使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标， 如果不存在，请说明理由.答：（1）设抛物线的解析式为y = ax2+bx + c.由题意知点A （0, -12）,所以c = 12,2又 18a+c=0, G =,3VAB/CD,且 AB二6,抛物线的对称轴是x = - 2 = 32a：b = 4.

8、所以抛物线的解析式为y = 土 X? 4x 12（2）S = - 2/ （6-0 = -2 + 6/ = -（-3）2 +9，（0r0时，0P与y相离：当一lWy0时，0F与y相交.5. （2010年山东宁阳一模）如图示已知点M的坐标为（4, 0）, 以“为圆心，以2为半径的圆交x轴于小B、抛物线 y =丄十+/x + c过人万两点且与y轴交于点C.6（1）求点Q的坐标并画出抛物线的大致图象（2）已知点0（8,加），P为抛物线对称轴上一动点，求出F点坐标使得腳丹值最小，并求岀最小值.（3）过Q点作的切线 比 求直线处的解析式.答案：将“,0）.（6,。）代心十+心中2O = - + 2b +

9、c30 = 6 + 6/? + c1,4 y = x* - x + 2 63将丄 =0代入，尸2:.C (0, 2)（2）将卢8代入式中，产2 Q (8, 2)过对称轴直线卢4作万的对称点AP&rPBQA见 RtHAQK中，A2y0即，P戻P42、而PM/KQ即厶AP加、AQK .PA=- P （4, ）336. （2010年河南中考模拟题1）如图，在AABC中，ZA=9O , BC=1O, AABC的而积为25,点D为A3边上的任意一点（D不与A、3重合），过点D作DE BC、交AC于点E设DE = x以DE为折线将DE翻折，所得的AADE与梯形DBCE重叠部分的面积记为y（1）.用X表示A

10、WE的而积；（2）.求岀0 xW5时y与x的函数关系式：（3）.求出5 x 10时y与x的函数关系式：（4）当x取何值时，y的值最大？最大值是多少?答案:解： J DE/BC ZADE二ZB, ZAED二ZCAAADEAABC1 7即 SADE =XS = DES* BCVBC=10 ABC边所对的三角形的中位线长为5.当 0时 y = SMDE=X2（3） 5x10时，点A落在三角形的外部，其重叠部分为梯形 Sat ceSziADr 4由已知求得AF=5A F二AA -AF=x-5由厶AMNsAa DE 知DE边上的髙AH二AH二丄x2AAMN _ / A，F、2AH*2AMN =（人5）宀

11、 1025（4）在函数y =丄F中.40xW5当x=5时y最大为：4在函数 y = -x2+10x-25 中4当兀=丄=却时最大为：2a 32525/ 432025当x =时，y最大为：3337. （2010年河南中考模拟题2）如图，直线y = -x + 3和x轴y轴分别交与点B、A,点C4是0A的中点，过点C向左方作射线CH丄y轴，点D是线段0B上一动点，不和B重合，DP丄CH于点P, DE丄AB于点E,连接PE。（1）求A、B、C三点的坐标。（2）设点D的横坐标为x, ABED的而积为S,求S关于x的函数关系式。（3）是否存在点D,使ADPE为等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的x

12、的答案：解：（1）将x=0代入y=-x+3,得y二3,故点A的坐标为（0,3）, 4因C为0A的中点，故点C的坐标为（0, 1.5）3将尸0代入y二二x+3,得x=4,故点B的坐标为（一4, 0）4所以 A、B、C 三点坐标为（0,3）, （4, 0）, （0, 1.5）（2）由（1）得0出4, 0A二3则由勾股定理得AB二5因P点的横坐标为x,故0D二一x,则BD=4+x又由已知得ZDEB=ZAOD=90 ,sinZDBE=sinZABO= - = DE=- （4+x）,BD AB 5 4 + x 55BEOB4BE44cos ZDBE二cos ZABO二=,=,BE = （4 + 兀），B

13、DAB54 + x55s=l X -(4 + x) X - (4+x) = (4+x)s (-40相切于点D,连接0A、0D,则OA=OD=丄MN2在 RtZABC 中，BC二 J+心二5ZAMNs/aBC, AM MN AB 一 BCMNBC, A ZAMN=ZB, ZANM=ZCAMN=-x, A0D=-x48过点H作HQ丄BC于Q,则MQ二0D二】x,8在RtZBHQ和RtZBCA中，ZB是公共角5.BM QM5x 252596 BM= 一2-二 _ x, AB二BM+MA二x +x=4, A x二 324244996当x二一时，00与直线BC相切,49（3）随着点M的运动，当点P落在B

14、C上时，连接AP,则点0为AP的中点。MNBC, /. ZAMN=ZB, ZA0M=ZAPCZlAMOs/JABP, A = = l, AM二BM二2AB AP 2故以下分两种情况讨论： 当 0VxW2 时，y=S,ncF-x8当x=2时,y:二三X 2三二8 2 当2xV4时，设PM. PN分别交BC于E、F四边形AMPN是矩形，PNAM, PN=AM=x又MNBC,四边形MBFN是平行四边形.FN=BM=l-x, APF=x- （4-x） =2x-4,又zjpefsjacb, （竺）土匕AB S abc3.339/.Szp*r=- （x2） 1 y二 Szpxx- SzptF-x - （x

15、2）=-工+6x62 8 2 8当 2x4 时，y= - x:+6x6= - （x - ） :+2883当 X二E 时，满足 2x S=- XOMXON=-r2 .4 28当4 VtV8时，如图，T 处t, t-43由厶DAJHAOC、可得 (/ - 4).4而OZ?的髙是3S=A OND的而积- Ol/P的而积= lxtx3-xtx (r 4)224=-r2 +3f.8(3) 有最大值.方法一：当0VtW4时,抛物线迁r开口向上，在对称轴口的右边，S随t的增大而增大,3当t=4时,S可取到最大值-x42=6；8当4Vt8时，3抛物线S=-r2 +3/的开口向下，它的顶点是（4, 6）,8 S

16、6.综上，当t二4时，S有最大值6r2,0 v【W 4方法二：J S二83 7厂+3心4 / 1)代入 y = ax2+bx + c 得:a+b+c=O,可得：a + b = -c = 14a(2) 由(1)可知：y = ax2-(a + )x + ，顶点M的纵坐标为仏一(+ 1)4a因为 AAMC =1 由同底可知：一:一 =X 1 ,44a4整理得：tz2+3 + l=O,得： 土近2由图象可知：gvO,因为抛物线过点(0,1),顶点在第二彖限，其对称轴a-0,2atc-3-V5 卄-3 + 5/5 1 /始终与x轴平行. 直接写出点A、3移动路线形成的抛物线c“,、c-DB/OA,易证O

17、A过OD的直线所对应的函数关系式是y = 2JIr .Q(3) 依题意：当0vfW 时，E在OD边上，3分别过E P作丄OA, PN丄OA,垂足分别为F和N.tan 乙PON =芈=屈 ：.ZPON = 60 ,21 ROP = t,:. ON = -h PN = t.2 2直线OD所对应的函数关系式是)=2也x ,二设 E(m2yf3n)PN AN 易证得APNszAEF. a=，EF AF2 _222-nt 4-f整理得：= 2n 2-7?2t .8n-nt = 2t (8 /) = 2/,/ =分8-r 由此，s. _ =LoA.EF = -x2x2j3x 9a 228-/.S 普(。

18、S = S悌形aw。 S、abe DB / OAI易证：:./EPB/APOBE BPOAOPBE 4_/ TBE =2(4 f)S；abe =丄 BEAB = x x 2/3 = - x 2 石上2/3-(1)解法 2： ZOAB = 90 ,80 v/W 38q-r 43OA = 2, AB = 2易求得：ZOBA = 30 ,.OB = 4(3) 解法2：分别过耳P作F丄Q4, PN丄04,垂足分别为F和N,1 /o由(1)得，ZOBA = 30 ,/ OP = b :. ON =-b PN = t,2 2word.word.即：p _t亠t ,又(2,0),2 2设经过A P的直线所对

19、应的函数关系式是y = kx+bLtk+b=t 则彳222k+b = 0P的直线所对应的函数关系式是y = - A- + -4-r4-r依题意：当0时，E在OD边上，.：（,2J亏）在直线AP上,.一邑卄迥=2整理得：匚f 一42t:.n =8-r.S 卫8 /4一/4一/8（Ov/W）3O当V/V 4时，点E在BD上，此时，点E坐标是（仏2JJ）,因为E在直线AP上,3迴卄迈=2馆4 一f4-f2/整理得：= 2 /. Snnt = 2t.r-4 r-44r-8n =施= 2： = 2-空=心曰x2* = 3屁匕tttt.S=l(l + 2)x2x/3-80v/W-38 ,一 v/v4315

20、. (2010天水模拟)如图，在平而直解坐标系中，四边形0ABC为矩形，点A, B的坐标分 别为(4, 0) (4, 3),动点M, N分別从点0, B同时出发，以每秒1个单位的速度运动，其 中点M沿0A向终点A运动，点N沿BC向终点C运动，过点N作NPBC,交AC于点P,连结 MP，当两动点运动了 t秒时。3(1) P点的坐标为(4-t,二/ )(用含t的代数式表示)。4(2) 1EAMPA的而积为S,求S与t的函数关系式(0t4)(3) 当2 秒时，S有最大值，最大值是(4) 若点Q在y轴上，当S有最大值且AQAN为等腰三角形时，求直线AQ的解析式。3(1) 4-t, t41 1333s二

21、一MAPD二一 (4-t) -t S=-r2 + -r (0tf=-3此方程无解，故此情况舍去.AN=NQ AN2 二河13=2+ (3m) *3m二土 -/9m=0, he=6.Q=(0, 0) /.AQ:y=0 NQ二AQ4+(3-M):=16M二-丄A (0, -) AQ:y=2x2 216. (2010年厦门湖里模拟)已知关于x的一元二次方程2x:+4x+k-l=0有实数根,k为正整数.(1) 求k的值：(2) 当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=2x:+4x+k-l的图象向下平 移8个单位，求平移后的图象的解析式；(3) 在(2)的条件下，将平移后的二次函数的图象在x

22、轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象。请你结合这个新的图像回答：当直线y=-x+b (bk)2与此图象有两个公共点时，b的取值范国答案：解：(1)由题意得，4=168 41)20.&03.为正整数，2, 3(2) 当*=1时，方程2Y+4x+-l=0有一个根为零；当k=2时，方程2玄+4*+&1 = 0无整数根：当k=3时，方程2玄+4卄&一1 = 0有两个非零的整数根综上所述，和&=2不合题意，舍去：k=3符合题意.当&=3时，二次函数为y=2/+4x+2,把它的图象向下平移8个单位长度得到的图象 的解析式为尸2/+4l6.(3) 设二次函数y=2/+4x-6的图

23、象与”轴交于小万两点，则川(一3, 0), 5(1, 0). 依题意翻折后的图象如图所示.word.第16题图1 3当直线y = -x+b经过川点时，可得b = -；2 2当直线y = -x + b经过万点时，可得b = -.2 21 3由图象可知,符合题意的b(b3)的取值范围为-b/3 /.存在满足条件的点P , P的坐标为(2, -10 8 J亍).(3)由上求得E(-8,0), F(442).若抛物线向上平移，可设解析式为y = 一十+2兀+ 8 +加(加 0)当 x = -8 时，y = -72 + m .当x = 4时，y = m.一72 + 2 W0或2 W 12 （2分）若抛物

24、线向下移，可设解析式为y = -x2 + 2x + 8-加（加 0）y = -x2 +2x + 8-/n 由，ly = x + 8有 a2 -x + m = 0 .= 14/zz NO, /. 0 m 4向上最多可平移72个单位长，向下最多可平移丄个单位长.418. （2010河南模拟）如图，经过x轴上A （-1, 0）. B （3, 0）两点的抛物线 y = OX2 + bx + c（a工0）交y轴的正半轴于点C,设抛物线的顶点为Do第18题（1）用含a的代数式表示出点C、D的坐标：（2）若ZBCD = 90请确定抛物线的解析式：（3）在（2）的条件下，能否在抛物线上找到期外的点Q, 使AB

25、DQ为直角三角形？如果能，请直接写岀点Q的坐标, 如不能，说明理由。答案：(1) D (b -4a), C (0, -3a),(2) y = - 0)的图彖的顶点为D点，与y轴交于C点，与轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为(3, 0)OB=OC 9 tanZACO=3(1) 求这个二次函数的表达式.(2) 经过C、D两点的直线，与x轴交于点E,在该抛物线上是否存在这样的点F,使 以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标：若不存 在，请说明理由.(3) 若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切, 求该圆半径的长度.(4)

26、 如图11,若点G (2, y)是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动 点，当点P运动刮什么位垃时，AAPG的面积最大？求出此时P点的坐标和AAPG的最大面积.答案：(1)方法一：由已知得：C (0, 一3), A (一 1, 0)a b + c = 0将A、B、C三点的坐标代入得9a + 3b + c = 0c = 3a = 1解得：lb = -2c = -3所以这个二次函数的表达式为：y = x2-2x-3方法二：由已知得：C (0, -3), A (-1, 0)设该表达式为：y = “(x+l)(x 3)将C点的坐标代入得：。=1所以这个二次函数的表达式为：y = x2-2x

27、-3(注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分)（2）方法一：存在，F点的坐标为（2, -3）理由：易得D （1, -4）,所以直线CD的解析式为：y = -x-3E点的坐标为（一3, 0）由A、C、E、F四点的坐标得：AE=CF=2, AECF.以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形存在点F,坐标为（2, -3）方法二：易得D （1, -4）,所以直线CD的解析式为：y = x 3E点的坐标为（一3, 0）以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形F点的坐标为（2, -3）或（一2, -3）或（一4, 3）代入抛物线的表达式检验，只有（2, -3）符合存在点F,坐标为（2, -3

28、）（3）如图，当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R （R0）,则N （R+l, R）,代入抛物线的表达式，解得z+yZ7当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r0）,mI卜则 N (r+L r)代入抛物线的表达式，解得29DV,.1 + J17_ 1 + J17 圆的半径为 c 或c2 2（4）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q, 易得 G （2, -3）,直线 AG 为 y = -x-l.设 P (x, x2 2x 3 ),则 Q (x, 1), PQ= x + x+2 .SZPG = MPQ + SGPQ = (_%2 + X + 2) x 3当“冷时MPG的面积最大 此时P点的坐标呛

29、，呼I，S”的最大值罟.22. （ 2010年武汉市中考拟）抛物线y = ax2 + 2ax + b与直线y=x+l交于A、C两点，与 y轴交于B, ABx轴，且S异肌 = 3, （1）求抛物 线的解析式。（2） P为x轴负半轴上一点，以AP、AC为边作 aCAPQ ,是否存在P,使得Q点恰好在此抛物线 上？若存在，请求出P、Q的坐标；若不存在，请说 明理由。（3）AD丄X轴于D,以OD为直径作OM, N为上一动点，（不与0、D重合），过N作AN 的垂线交x轴于R点，D7交Y轴于点S,当N点运动时，线段OR、OS是否存在确左的数量 关系？写出证明。答案：(1) y = x2+2x-(2)联立

30、? = A +2X_1 得 A (-2, -1) C y = x + 设 P (a,0),则 Q (4+a,2) (4 + d)2 + 2(4 + d)-1 = 2AQ(-3, 2)或(b 2)OR ON(3) AND RON, =AD DNA AOS ONONS%(), =OD DN OR 1 =OS 223. (黑龙江一模)(本小题满分10分)如图，已知抛物线与X轴交于点M-2,0),B(4,0),与y轴交于点CO 8).(1) 求抛物线的解析式及其顶点。的坐标；(2) 设直线Q交x轴于点Z在线段血的垂直平分线上是否存在点尸，使得点尸到直线 的距离等于点尸到原点0的距离？如果存在，求出点尸

31、的坐标：如果不存在，请说明理 由；(3) 过点万作*轴的垂线，交直线e于点尸，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线顶点D(h9)(2)假设满足条件的点P存在，依题意设P(2, /), 由C(0,8), D(b9)求得直线CD的解析式为y = x + 8,它与x轴的夹角为45 ,设03的中垂线交CD于则H(240).则 PH=|10PO = jF+T =异+ 4.J/2 +4 =芈卩0_4 .平方并整理得：厂+ 2092 = 0r = -108/3 存在满足条件的点P，P的坐标为(2,-10 8 JJ).(3)由上求得(-8,0), F(4,12)若抛物线向上平移，可设解析式为y =+ 2x +

32、 S + m（m 0）.当x = -8时，y = 72 +也.72 + ？ W0 或？ W 12.yd.Ovm W72 （8分）若抛物线向下移，可设解析式为y = -十+ 2x + 8 -加伽 0）y = -x2 +2x + 8-/?z 由y = x + 8有 X2 一 x + m = 0 14/7 NO, 0 m 4向上最多可平移72个单位长，向下最多可平移丄个单位长.（10分） 424.（济宁师专附中一模）4如图，宜线y =-亍+ 4与兀轴轴分别交于点M,N（1）求两点的坐标；（2）如果点A在线段O7V上，将ANMA沿直线MA折叠，N点恰好落在兀轴上的/V 点，求直线M4的解析式.17亠4（3）