勾股定理练习题及答案

1、ABCD中 ， A=60， B= D=90， BC=2，CD=3，求 AB的长 .9. 如图，在四边形第 9 题图勾股定理课时练（ 1）1. 在直角三角形 ABC 中，斜边 AB=1 ，则 AB 2 BC2 AC 2的值是（ ）A.2 B.4 C.6 D.82. 如图 1824所示,有一个形状为直角梯形的零件 ABCD，ADBC，斜腰 DC的长为 10 cm， D=120，则该零件另一腰 AB 的长是 cm（结果不取近似值） .3. 直角三角形两直角边长分别为 5 和 12，则它斜边上的高为 4. 一根旗杆于离地面 12m 处断裂，犹如装有铰链那样倒向地面，旗杆顶落于离旗杆地步16m，旗杆在断

2、裂之前高多少 m ？10. 如图，一个牧童在小河的南 4km 的 A 处牧马，而他正位于他的小屋 B 的西 8km 北 7km 处， 他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家. 他要完成这件事情所走的最短路程是多少？5. 如图，如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面 米处，那么这棵树折断之前的高度是米 .3 米处折断，树的顶端落在离树杆底部第 5 题图11如图，某会展中心在会展期间准备将高 5m,长 13m，宽 2m的楼道上铺地毯 ,已知地毯平方米元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱186. 飞机在空中水平飞行 ,某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方 4000米处,过了 20秒

3、,飞机距离 这个男孩头顶 5000 米, 求飞机每小时飞行多少千米 ?5m7. 如图所示，无盖玻璃容器，高 18cm ，底面周长为 60cm ，在外侧距下底 1cm的点 C处有一 蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1cm的 F处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度 .12. 甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源为了不致于走散，他们用两部 对话机联系，已知对话机的有效距离为 15 千米早晨 8：00 甲先出发，他以 6 千米/ 时的速度向 东行走， 1小时后乙出发，他以 5千米/ 时的速度向北行进，上午 10：00，甲、乙二人相距多远？ 还能保持联系吗

4、？第 7 题图8. 一个零件的形状如图所示，已知 AC=3cm ，AB=4cm ，BD=12cm 。求 CD的长.第 8 题图第一课时答案：2 2 2 2 21.A，提示：根据勾股定理得BC2AC21，所以AB 2BC2AC 2=1+1=2； 2.4 ，提示：由勾股定理可得斜边的长为 5m，而 3+4-5=2 m ，所以他们少走了 4步.60 2 23. ，提示：设斜边的高为 x ，根据勾股定理求斜边为122 52169 13 ，再利139. 解：延长 BC、AD交于点 E. （如图所示） B=90， A=60， E=30又 CD=3， CE=6， BE=8，设AB=x ，则AE=2x，由勾股

5、定理。 得（2x）2 x2 82,x 8 3 310. 如图，作出 A 点关于 MN 的对称点 A，连接 AB 交 MN 于点 P，用面积法得， 1 5 12 1 13 x,x 60 ； 2 2 134. 解：依题意， AB=16 m ， AC=12 m，在直角三角形 ABC 中 ,由勾股定理 ,2 2 2 2 2 2BC 2AB2AC2162122202 ,所以 BC=20 m ,20+12=32( m ), 故旗杆在断裂之前有 32m 高.铺完这个楼道至少需要花为：12. 解：如图，甲从上午则 AB 就是最短路线 . 在 RtADB 中，由勾股定理求得AB=17kmA2211.解：根据勾股

6、定理求得水平长为132 5212m ，地毯的总长 为 12+5=17（m），地毯的面积为 17 2=34（走了 12 千米，即 OA=12m2)，34 18=612（元）8：00 到上午 10：00 一共走了 2 小时，第 10 题图AB2=122十 52169， AB=13， BOA5.86. 解:如图,由题意得 ,AC=4000米, C=90 ,AB=5000米,由勾股定理得BC= 50002 40002 3000（ 米）,所以飞机飞行的速度为 3540（ 千米/小时）2036007. 解：将曲线沿 AB展开，如图所示，过点 C作 CE AB于 E.在 Rt CEF, CEF 90 ， E

7、F=18-1-1=16 （ cm），1CE= 30（ cm） ，2. 60乙从上午 9：00 到上午 10：00 一共走了 1 小时， 走了 5 千米，即 OB=5 在 Rt OAB 中，因此，上午 10：00 时，甲、乙两人相距 13 千米 15 13， 甲、乙两人还能保持联系由勾股定理，得 CF= CE2 EF 2302 162 34(cm)8.解：在直角三角形ABC中，根据勾股定理，得BC 2 AC 2 AB2 32 42 25在直角三角形 CBD中，根据勾股定理，得 CD2=BC2+BD2=25+122=169，所以 CD=13.勾股定理的逆定理（ 2）一、选择题1. 下列各组数据中，

8、不能作为直角三角形三边长的是（）A.9，12，15 B. 5 ,1,3C.0.2， 0.3， 0.4 D.40，41，9,1,442. 满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A.三个内角比为 1 21B.三边之比为 12 5C.三边之比为 3 2 5 D. 三个内角比为 1 233. 已知三角形两边长为 2 和 6，要使这个三角形为直角三角形，则第三边的长为（）A. 2 B. 2 10 C. 4 2或 2 10 D. 以上都不对4. 五根小木棒，其长度分别为 7，15， 20， 24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的 是（ ）8. 在三角形 ABC中， AB=12cm ，

9、AC=5cm ，BC=13cm ，则 BC边上的高为 AD= cm. 三、解答题9. 如图，已知四边形 ABCD 中， B=90， AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形 ABCD 的 面积.CD 边上的点，且 AB=4，CE=BC，F 为 CD 的中点，连接 AF 、AE，问AEF 是什么三角形？请说明理由A B C D二、填空题5. ABC的三边分别是 7、24、 25，则三角形的最大内角的度数是.6. 三边为 9、12、15 的三角形，其面积为.7.已知三角形 ABC的三边长为 a,b,c满足a b 10,ab 18， c 8，则此三角形为 三角形 .DFC11. 如图，

10、AB为一棵大树，在树上距地面 10m的D处有两只猴子， 它们同时发现地面上的 C处有 一筐水果，一只猴子从 D 处上爬到树顶 A 处，利用拉在 A 处的滑绳 AC，滑到 C 处，另一只猴子从 D 处滑到地面 B，再由 B 跑到 C，已知两猴子所经路程都是 15m，求树高 AB.12. 如图，为修通铁路凿通隧道 AC，量出 A=40 B 50， AB 5公里， BC4 公里，若每天凿 隧道 0.3 公里，问几天才能把隧道 AB凿通？1112 5 13 AD ；22三、9. 解：连接 AC，在 Rt ABC 中， AC2=AB2 BC2=3242=25 ， AC=5. 在 ACD 中， AC2CD

11、2=25 122=169， 而 AB2=132=169 ， AC2 CD2=AB2， ACD =901 故S 四边形 ABCD=SABCS ACD=2AB BC ACCD= 1 34122 512=6 30=36.10. 解：由勾股定理得 AE2=25， EF2=5， AF2=20， AE2= EF2 +AF2， AEF 是直角三角形11. 设 AD=x米，则 AB为( 10+x)米， AC 为( 15- x)米， BC为 5米，(x+10)2+52=(15-x)2，解 得 x=2， 10+x=12 (米)12. 解：第七组， a 2 7 1 15,b 2 7 (7 1) 112,c 112

12、1 113. 第n组， a 2n 1,b 2n(n 1),c 2n(n 1) 118.2 勾股定理的逆定理答案：一、1.C；2.C；3.C ，提示：当已经给出的两边分别为直角边时， 第三边为斜边 = 22 62 2 10; 当 6为斜边时，第三边为直角边 = 62 22 4 2 ；4. C；二、 5.90 提示：根据勾股定理逆定理得三角形是直角三角形，所以最大的内角为190.6.54 ，提示：先根基勾股定理逆定理得三角形是直角三角形，面积为9 12 54.7.2直角，提示：2 22 2 2 2 2(a b)2100,得a2b22ab 100,a2b2100 2 18 64 82c2；608.

13、，提示：先根据 勾股定理逆定理 判断三角形是直 角三角形，再利 用面积法求得13勾股定理的逆定理 （3）求证： ABC 是直角三角形、基础 巩固1. 满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A.三内角之比为 1 23B.三边长的平方之比为 123C.三边长之比为 345D.三内角之比为 34 52. 如图 1824所示,有一个形状为直角梯形的零件 ABCD，ADBC，斜腰 DC的长为 10 cm， D=120，则该零件另一腰 AB 的长是 cm（结果不取近似值） .图 18图 18 25图 18 263. 如图 18 25，以 Rt ABC 的三边为边向外作正方形， 其面积分别为 S1、

14、S2、S3，且 S1=4，S2=8， 则 AB 的长为 .4. 如图 18 26，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E为AB中点，F为AD 上的一点，且AF= 1 AD ， 4 试判断 EFC 的形状.图 18 2 89. 如图 1829所示，在平面直角坐标系中， 点 A 、B的坐标分别为 A（3，1），B（2，4），OAB 是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论10. 已知：在 ABC 中， A 、 B、C 的对边分别是 a、b、c，满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c. 试判断ABC 的形状 .5.一个零件的形状如图 18 27，按规定这个零件中 A 与 BDC 都应

15、为直角，工人师傅量得零 件各边尺寸： AD=4 ，AB=3,BD=5 ， DC=12 , BC=13 ，这个零件符合要求吗？12.已知：如图 182 10，四边形 ABCD ，AD BC，AB=4， ABCD 的面积 .BC=6，CD=5 ，AD=3. 求：四边形图 18 2 76.已知 ABC 的三边分别为 k21，2k，k2+1（k1），求证： ABC 是直角三角形图 18 参考答案一、基础 巩固、综合 应用121. 满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A.三内角之比为 1 23B.三边长的平方之比为7. 已知 a、b、c 是 Rt ABC 的三 边长， A 1B1C1的三边长分

16、别是 2a、2b、2c，那么 A1B1C1是直 角三角形吗？为什么？8. 已知：如图 1828，在 ABC 中， CD 是 AB 边上的高，且 CD 2=ADBD.C.三边长之比为 345D.三内角之比为 3 45思路分析： 判断一个三角形是否是直角三角形有以下方法：有一个角是直角或两锐角互余； 两边的平方和等于第三边的平方；一边的中线等于这条边的一半由A得有一个角是直角； B、C满足勾股定理的逆定理，所以 应选 D. 答案： D2. 如图 1824所示,有一个形状为直角梯形的零件 ABCD，ADBC，斜腰 DC的长为 10 cm， D=120，则该零件另一腰 AB 的长是 cm（结果不取近似

17、值） .解： E 为 AB 中点， BE=2. CE2=BE 2+BC 2=2 2+42=20.同理可求得 ,EF2=AE 2+AF 2=22+12=5,CF2=DF2+CD2=32+42=25.CE2+EF2=CF2, EFC是以 CEF为直角的直角三角形 .5. 一个零件的形状如图 18 27，按规定这个零件中 A 与 BDC 都应为直角，工人师傅量得零 件各边尺寸： AD=4 ， AB=3,BD=5 ，DC=12 , BC=13 ，这个零件符合要求吗？图 18 25试判断 EFC 的形状.思路分析： 分别计算 EF、CE、CF 的长度，再利用勾股定理的逆定理判断即可图 18 2 4 解：

18、过 D 点作 DE AB 交 BC 于 E, 则 DEC 是直角三角形 .四边形 ABED 是矩形， AB=DE. D=120， CDE=30 . 又在直角三角形中， 30所对的直角边等于斜边的一半， CE=5 cm.根据勾股定理的逆定理得， DE= 102 52 5 3 cm.AB= 102 52 5 3 cm.3. 如图 18 25，以 Rt ABC 的三边为边向外作正方形， 其面积分别为 S1、S2、S3，且 S1=4，S2=8， 则 AB 的长为 .图 18 2 6 思路分析： 因为 ABC 是Rt，所以 BC2+AC2=AB2,即S1+S2=S3，所以 S3=12，因为 S3=AB

19、2,所以 AB= S312 2 3 .答案： 2 34. 如图 18 26，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E为 AB 中点，F为AD上的一点，且AF= 1AD， 4思路分析：要检验这个零件是否符合要求， 只要判断 ADB 和 DBC 是否为直角三角形即可， 这样勾股定理的逆定理就可派上用场了 .解：在 ABD 中， AB2+AD 2=32+42=9+16=25=BD 2，所以 ABD 为直角三角形， A =90. 在 BDC 中,BD 2+DC 2=52+122=25+144=169=13 2=BC 2.所以 BDC 是直角三角形， CDB =90. 因此这个零件符合要求 .6. 已知

20、ABC 的三边分别为 k21，2k，k2+1（k1），求证： ABC 是直角三角形 . 思路分析： 根据题意，只要判断三边之间的关系符合勾股定理的逆定理即可 . 证明： k2+1k21,k2+12k=（k 1）20,即k2+12k， k2+1是最长边 . （k21）2+（2k ）2=k42k2+1+4k2=k4+2k 2+1=（k 2+1） 2, ABC 是直角三角形 .二、综合 应用7. 已知 a、b、c 是 Rt ABC 的三 边长， A1B1C1的三边长分别是 2a、2b、2c，那么A1B1C1是直 角三角形吗？为什么？思路分析： 如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到的

21、三角形还是直角 三角形（例 2已证） .解：略8. 已知：如图 18 28，在 ABC 中， CD是AB 边上的高，且 CD 2=ADBD. 求证： ABC 是直角三角形 .图 182 8 思路分析： 根据题意，只要判断三边符合勾股定理的逆定理即可 . 证明： AC 2=AD 2+CD2，BC2=CD2+BD2， AC 2+BC2=AD 2+2CD 2+BD 2 =AD 2+2ADBD+BD 2 =（AD+BD ）2=AB 2. ABC 是直角三角形 .9. 如图 1829所示，在平面直角坐标系中， 点 A、B的坐标分别为 A（3，1），B（2，4），OAB 是直角三角形吗？借助于网格，证明你

22、的结论 .图 182 9 思路分析： 借助于网格，利用勾股定理分别计算OA 、AB、OB 的长度，再利用勾股定理的逆定理判断 OAB 是否是直角三角形即可 .解： OA 2=OA 12+A1A2=32+12=10,OB2=OB12+B1B2=22+42=20,AB 2=AC 2+BC 2=12+32=10,OA 2+AB 2=O B2. OAB 是以 OB 为斜边的等腰直角三角形 .10. 阅读下列解题过程：已知 a、 b、 c 为 ABC 的三边，且满足 a2c2b2c2=a4b4，试判断 ABC 的形状 .解： a2c2b2c2=a4b4，（A）c2（a2b2）=（a2+b2）（a2b2）

23、，（B）c2=a2+b2，（C） ABC 是直 角三角形 .问：上述解题 过程是从哪一步开始出现错误的？请写出该步的代号 ；错误的原因是 ；本题的正确结论是 .思路分析： 做这种类型的题目，首先要认真审题，特别是题目中隐含的条件，本题错在忽视了 a有可能等于 b 这一条件，从而得出的结论不全面 .答案： （B） 没有考虑 a=b 这种可能，当 a=b 时 ABC 是等腰三角形； ABC 是等腰 三角形或直角三角形 .11. 已知：在 ABC 中， A 、B、 C 的对边分别是 a、b、c，满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c. 试判断ABC 的形状 .思路分析：（1）移项，配

24、成三个完全平方； （2）三个非负数的和为 0，则都为 0； （3）已知 a、b、 c，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形.解：由已知可得 a210a+25+b224b+144+c2 26c+169=0, 配方并化简得 ,（a5）2+（b 12）2+（c13）2=0.（a5）20,（b12）20,（c13）20. a5=0,b12=0,c13=0.解得 a=5,b=12,c=13.又 a2+b2=169=c2, ABC 是直角三角形 .12. 已知：如图 18210，四边形 ABCD ， AD BC， AB=4 ，BC=6 ，CD=5 ， AD=3. 求：四边形 ABCD 的面积

25、.思路分析：（ 1）作 DEAB，连结 BD ，则可以证明 ABD EDB （ASA ）；（2）DE=AB=4 ，BE=AD=3 ，EC=EB =3；（3）在DEC中，3、4、5为勾股数， DEC为直角三 角形， DEBC； （4）利用梯形面积公式，或利用三角形的面积可解.解：作 DEAB，连结 BD ，则可以证明 ABD EDB （ ASA ） , DE=AB=4 ， BE=AD=3. BC=6, EC=EB=3.DE2+CE2=32+42=25=CD 2, DEC 为直角三角形 .又 EC=EB=3, DBC 为等腰三角形， DB=DC=5.在BDA 中 AD 2+AB 2=32+4 2=

26、25=BD 2, BDA 是直角三角形 .它们的面积分别为SBDA= 1 34=6;SDBC= 1 64=12.22S 四边形 ABCD =SBDA +SDBC=6+12=18.6.如图，在 Rt ABC中， ACB=90， CDAB， BC=6，AC=8， 求 AB、CD 的长A7.在数轴上画出表示17 的点（不写作法，但要保留画图痕迹）勾股定理的应用（ 4）1. 三个半圆的面积分别为 S1=4.5 ， S2=8， S3=12.5 ，把三个半圆拼成如图所示的图形，则 ABC一定是直角三角形吗？说明理由。2. 求知中学有一块四边形的空地 ABCD，如下图所示， 学校计划在空地上种植草皮， 经测

27、量 A=90，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要 200 天，问学校需要投入多少资金买草皮？3.（12 分）如图所示，折叠矩形的一边 AD，使点 D落在 BC边上的点 F处，已知 AB=8cm，BC=10cm， 求 EC 的长。8.已知如图，四边形 ABCD 中， B=90， AB=4， BC=3，CD=12， AD=13，求这个四边形的面积_A_D4.如图，一个牧童在小河的南 4km的A处牧马，而他正位于他的小屋 B的西 8km北7km处，他想 把他的马牵到小河边去饮水，然后回家 .他要完成这件事情所走的最短路程是多少？小牧 A 北 东B 小5. （8 分

28、）观察下列各式，你有什么发现？32=4+5，52=12+13，72 =24+25 9 2=40+41这到底是巧合， 还是有什么规律蕴涵其中呢？ （ 1）填空： 132=+（ 2）请写出你发现的规律。（ 3）结合勾股定理有关知识，说明你的结论的正确性。9. 如图，每个小方格的边长都为 1求图中格点四边形 ABCD 的面积DB勾股定理复习题（ 5）一、 填空、选择题题：3. 有一个边长为 5 米的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少为（）米4、一旗杆离地面 6 米处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部 8 米处，则旗杆折断之前的高度是 ( )米。6、 在 ABC中， C=90 ,AB=10

29、。 (1) 若 A=30,则BC=，AC=。(2) 若 A=45则 BC=， AC=。8、在 ABC中， C=90， AC=0.9cm,BC=1.2cm.则斜边上的高 CD= m2211、三角形的三边 a b c ，满足 (a b)2 c2 2 ab ，则此三角形是三角形。12、小明向东走 80 米后，沿另一方向又走了 60 米，再沿第三个方向走 100 米回到原地。小明向 东走 80 米后又向方向走的。13、 ABC中， AB=13cm ,BC=10cm ，BC边上的中线 AD=12cm则 AC的长为cm14、两人从同一地点同时出发，一人以 3米/ 秒的速度向北直行，一人以 4米/ 秒的速度

30、向东直行， 5 秒钟后他们相距米 .15、写出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？ 两直线平行，内错角相等。 ( ) 如果两个实数相等，那么它们的平方相等。()22若 a2 b2 ，则 a=b ( ) 全等三角形的对应角相等。 ( ) 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。() 16、下列各组线段组成的三角形不是直角三角形的是()(A)a=15 b=8 c=17 (B) a:b:c=1: 3 : 268(C) a=2 b= c= (D) a=13 b=14 c=155517、若一个三角形的三边长为 6,8,x, 则使此三角形是直角三角形的 x 的值是 ( ).A.8 B.10 C

31、. 28 D.10 或 2818、下列各命题的逆命题不成立的是 ( )A. 两直线平行 , 同旁内角互补 B. 若两个数的绝对值相等 , 则这两个数相等19、有一个水池， 水面是一个边长为 10 尺的正方形， 在水池正中央有一根芦苇， 它高出水面 1 尺。 如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面。水的深度与这根芦苇的长 度分别是多少？20、一根竹子高 1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3 尺处.折断处离地面的高度是多少 ? ( 其中丈、尺是长度单位 ,1 丈 =10 尺 )21、某港口位于东西方向的海岸线上。 “远航”号、 “海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定 方向航行，“远航”号每小时航行 16 海里，“海天”号