各种音律音调相互关系的探究

1、各种音律音调相互关系的探究吴敏金本文将用一些初等数学与简单的物理常识来探讨各种音律音调的相互关系，并引入一种新颍的音调 “超调”，供乐理专业人士及业余爱好者进一步研究。众所周知，声音是空气振动形成的，并以波的形式传播，就单 音而言，可简化为正弦波 Asin（2 ft+ ）表示。其中，振幅 A 决定 了声音的响度，频率 f 决定了声音高度，而人耳对于声波的相位 不敏感。音律学研究的重点是声波的频率。一般来说，人耳能听到 的声波频率范围是 20Hz到 20000Hz之间（ Hz为每秒振动次数）。声 波的振动频率越快，听起来就越“高”；反之，越低。物理定律表明：弦长与其振动频率成反比。以二胡为例，通

2、常 外弦定音为 440Hz（即钢琴上的 a1）。设下方的琴马处为坐标 0，上 方的千斤处为坐标 1，弦长为 1 单位长度。此时，弦的中间处为 1/2 ， 其振动频率为 2*440=880Hz（即钢琴上的 a2） , 它与空弦之间的音程 是一个 8 度。进而，在弦的坐标 1/4 处，其振动频率为 2*880=1760Hz （即钢琴上的 a3）, 它与空弦之间的音程是二个 8 度一 . 十二音阶平均律 生成音律的一个出发点是所谓“等差音高序列与等比频率序 列”。由于人耳对于声波的频率是按指数敏感的，所以，一组声音， 如果它们的频率成等比级数排列，它们听起来就是“等差音高“的。 如前，设弦坐标 1

3、处, 基准频率为 1，而弦坐标 1/2 处，其对应的频 率为 2。它们构成一个 8 度的音程（记为 C, C 1 ）。可将其划分成 “等差音高序列”的 12个音阶（即， 12个半音），也即要求其对应 的“等比频率序列” 的公比 d=2（1/12）=2 的开 12 次方 =1.059463094 （简单记为 1.059 ）。于是，按等比级数，从弦坐标 1 处（基准频率 为 1）到弦坐标 1/2 处（对应的频率为 2）之间的 12 个音阶，其相应 的频率与弦长 （及其近似分数值 ） 互为倒数，见下面的音律表。此频率（弦长）序列称为十二音阶平均律。十二音阶平均律适 合于音高相对固定的键盘乐器（比如钢

4、琴、管风琴、羽管键琴等）。十二音阶平均律、五度相生律与纯律的频率与弦长对照表n0123456789101112频率11.0591.1241.1891.2601.3351.4141.4981.5871.6821.7821.8882弦长10.9440.8900.8410.7940.7490.7070.6680.6300.5950.5610.5300.5弦长 11243/2568/927/3264/813/4181/2562/381/12816/279/16128/2431/2弦长 2115/168/95/64/53/45/72/35/83/55/98/151/2C大调CDEFGCBC*C小调CD#

5、DFGbCbBC*C超调C#C#DFGbCbBC*注：弦长 1 是按“五度相生律”计算的，其中的 181/256 为近似分数值。 弦长 2 是按“纯律”计算的。见后文）二. 五度相生律 中外古典音乐理论（如毕达哥拉斯学派）对音律的研究发现： 弦长比为简单整数比（ 2:1,3:2,4:3 ）时，其发出的声音为和谐悦耳 之音。例如，当空弦与弦坐标 1/2 处的弦长比为 2:1 ，对应的频率比为 1:2 ，此为 8 度和音（即可理解为 c-c 1,d-d 1, ）；当空弦与弦 坐标 2/3 处的弦长比为 3:2 ，对应的频率比为 2： 3，此为 5 度和音 （可简单理解为 1-5,2-6 ，3-7,

6、4-1 ，5-2 ，6-3, 等等）；当空弦 与弦坐标 3/4 处的弦长比为 4:3 ，对应的频率比为 3:4 ，此为 4 度和 音。比如，二胡的内外弦是按“ 5 度和音”来定音的，通常取为钢琴 上的 d-a 1。3:2 这个比例在音乐术语中叫“纯五度”，由此生成的音 律叫做“五度相生律”（ Pythagorean tuning ）。借助”五度相生律” ,可在 8度音程C, C1中,确定 8个和音点。 “五度相生律”的方法是：1， 从空弦的频率 f0=1（ 弦长 1，音高 C）出发，按公比 3/2 ， 向上递升的等比频率级数 fn（ 若 fn2, 则 fn/2 。 /2 为最 佳和音）：f2=

7、f1*(3/2)/2=9/8, (f3=f2*(3/2)=27/16, (f4=f4*(3/2)/2=81/64, ( f5=f5*(3/2)=243/128, (f1=1*（3/2）, （ 弦长 2/3 ，音高 G）;弦长 8/9 ，音高 D）;弦长 16/27 ，音高 A）;弦长 81/64 ，音高 E）;弦长 128/243 ，音高 B）。（f6=f5*3/2/2=729/512 ，弦长 512/729 ，音高 #F）。2， 从弦正中间的频率 g0=2（弦长 1/2 ，音高 C1）出发，按公比 2/3 ，向下递降的等比频率级数 gn（若 gn1,则 gn*2 *2 为最佳和音 ） ： g

8、1=2*(2/3)=4/3 ( 弦长 3/4 ，音高 F); g2=g1*（2/3）*2=16/9 （ 弦长 9/16 ，音高 bB）; g3=g2*（2/3）=32/27 （ 弦长 27/32 ，音高 #D） g4=g3*（2/3）*2=128/81 （ 弦长 128/81 ，音高 bA） g5=g4*（2/3）=256/243 （ 弦长 243/256 ，音高 #C）。（g6=g5*2/3*2=1024/729, 弦长 729/1024 ，音高 bG）。在 8 度音程C, C1 中，如果取 6 个频率上行的和音 f0,f1,f2,f3,f4,f5 及 2 个基本和音 g0,g1, 就获得音

9、阶序列： C-D-E-F-G-A-B-C 1，此即构成了自然 C大调，其频率分别为 1, 9/8, 81/64, 4/3, 3/2, 23/16, 128/243, 2。（见前面音律表中的弦长 1及 C 大调）。如果取 6个频率下行的和音 g0,g1,g2,g3,g4,g5 及 2个基本和 音 f0,f1, 就获得音阶序列： C-#C-#D-F-G-bA-bB-C1，其频率分别为 1, 256/243, 32/27 ，4/3, 3/2, 128/81, 16/9，2。这是一种与自然 C 大调及 C 小调都不同的新调式，称之为自然 C超调。（见前面 音律表中的弦长 1及 C超调。第六节将详细论述

10、）。从上面论述中，可看到由“五度相生律”生成的音阶并不完全 等于 12 音阶平均律，有一些和音点的频率仅仅是近似而已。 （此外， 用有限次的五度相生律无法生成出 #F=bG 的频率分数值与弦坐标分 数值，只能用 256/181 来近似 2 的开方。）三. 三分损益律五度相生律”可用所谓“三分损益律”上下交替增减而得 设弦坐标点 x，其和音点的弦坐标点 y ，那么y=x+x*1/3 ，此时 y:x=4:3, y 是 x 的向上和音点。 或者 y=x-x*1/3 ，此时 y:x=2:3 ， y 是 x 的向下和音点。具体方法如下：首先，在弦坐标 1/2 处，弦长向上增加它的 1/3 。此时的弦长

11、为 1/2+1/2*1/3=2/3 ，其对应的频率为 3/2=1.5, 此处为和音 G。（也 可理解为在弦坐标 1 处，弦长向下减少 1/3 ，其弦长也是 1-1/3=2/3 。）其次，在弦坐标 2/3 处，把弦长向上增加它的 1/3 。此时的弦 长为 2/3+2/3*1/3=8/9 ，其对应的频率为 9/8=1.125 ，近似于 1.260, 可认定此处为和音 D。（ 如在弦坐标 2/3 处，把弦长向下减少它的 1/3， 此时的弦长为 2/3-2/3*1/3=4/9 。由于 4/91, 可将 其除以 2，得和音点的坐标也是 16/27 。）然后，在弦坐标 16/27 处，把弦长向上增加它的

12、1/3 。此时的 弦长为 16/27+16/27*1/3=64/81 ，其对应的频率为 81/64=1.266 ，近 似于 1.260, 可认定此处为和音 E。（ 如在在弦坐标 16/27 处，把弦 长向下减少它的 1/3 ，此时的弦长为 16/27-16/27*1/3=32/81 。 由 于 321, 可将其除以 2，得和音 点的坐标也是 128/243 。 ）如此，我们在 8 度音程C, C1中，依次得到和音点 G,D,A,E,B 。 再加上前面已经讲到的弦长坐标 3/4 处的 4 度和音点 F。此时获得的 音阶序列 C-D-E-F-G-A-B-C 1 构成了自然 C大调。四. 四度相生律

13、用类似“五度相生律” 方法，将音阶序列生成过程中的公比 3/2 改为 4/3 ，（无妨叫“四度相生律”），可得f0=1; C;f1=4/3, F;f2=f1*4/3=16/9, bB;f3=f2*4/3/2=32/27, #D;f4=f3*4/3=128/81, bA;f5=f4*4/3/2=256/243, #C;1及 g0=2, C 1;g1=3/2, G 。1此音阶序列为 C-#C-#D-F-G-bA-bB-C1，其频率分别为 1, 256/243, 32/27 ，4/3, 3/2, 128/81, 16/9，2。与前面第二节的频率下行的“五度相生律”所生成的调式一样，这是一个全新的音调

14、自然 C 超调，（第六节将详细讨论 . ）五 . 纯律除了 12 音阶平均律与五度相生律，还有一种“纯律”，对于自 然 C 大 调 ： C-D-E-F-G-A-B-C* ， 其 对 应 的 频 率 序 列 为 ： 1,9/8,5/4,4/3,3/2,5/3,15/8,2，. 这是由于“纯律”遵照基本原理：“弦长比（频率比）为简单整数比（ 2/1,3/2,4/3,5/3,5/4 ）时，其 发出的声音为和谐悦耳之音”，得 5 个基本和音；再通过和音的和 音： 3/2*3/2*2=9/8 及 3/2*5/4=15/8 获得 2 个和音。 由于“纯律” 的重点是让各个音尽量与主音和谐起来，也就是说让各

15、个音和主音 的频率比较为简单，所以， “纯律”音阶的谐波丰富，音响和谐，悦 耳动听，故称之为 “纯律 ”。因此，与 “五度相生律”比较， “纯律 ”更适合于多声部乐曲。对于弦乐而言，“纯律”所生成的音 阶的弦间距）分别为：（设 弦长为 1，见前面音律表中的弦长 2）C-D,1-8/9=1/9 全音 ;D-E, 8/9-4/5=1/11 全音 ;E-F, 4/5-3/4=1/20 半音 ;F-G, 3/4-2/3=1/12 全音 ;G-A, 2/3-3/5=1/15 全音 ;A-B, 3/5-8/15=1/15全音 ;B-C*, 8/5-1/2=1/30 半音。值得注意的是，在 8 度音程C,

16、C 1 中，5 个全音弦间距并不相 等，2 个半音弦间距也不相等。掌握这些音阶的弦间距，对于弦乐指 法（如小提琴、二胡等）的音准与演奏很重要。六新式的音调 “超调”的分析音调由主音与调式构成。调式由音阶间距序列构成。首 先 注 意 到 ： 自 然 C 大 调 以 C 为 主 音 ， 音 阶 序 列 C-D-E-F-G-A-B-C 1，音阶间距序列：全 全 半 全 全 全 半。如果将 自然 C大调的主音 C向下移动 2 度，得音阶序列：A1-B1-C-D-E-F-G-A, 音阶间距序列：全 半 全 全 半 全 全，主音为 A，即自然 a 小调。 可见，小调可由大调的调式平移而得。同样地，对于前面

17、的第二、四节引入的自然 C 超调，其音阶序 列：C-#C-#D-F-G-bA-bB-C1，音阶间距序列： 半 全 全 全 半 全 全。 如果将自然 C 大调 的主音 C 向上移 动 2 度，得 音阶 序列： E-F-F-A-B-C 1-D1-E1, 音阶间距序列也是：半 全 全 全 半 全 全， 主音为 E，即可自然 E 超调。这也就是命名之为“超”调的原因。它 即不同于自然 E 大调，也不同于自然 E 小调。每一个调式 （大调：全 全 半 全 全 全 半；小调：全 半 全 全 半 全 全；超调：半 全 全 全 半 全 全；）都可结合 12 个的主音， 生成 12不同的音调。最简单的不带升降号

18、的音调是： C 大调，自然 a 小调， E 超调。如下表所示。 （红色表示主音） 。不带升降号音调表可以方便地写出十二种不同主音的自然超调，如下表所示十二种不同主音的 超音调表人们熟知，大调明亮坚定，小调暗淡柔美。那么，超调如何？ 可能比起大调更为坚实闪亮，也可能比起小调更为柔和平淡，要看 实际使用与场合。其详细属性与应用有待进一步研究。音调系列 84 种音调的全面论述，见 1。七. 总结1，频率上行的“五度相生律”及“三分损益律”可生成自然 C 大调： C-D-E-F-G-A-B-C 1 ，其频率分别为 1,9/8, 81/64, 4/3, 3/2, 23/16, 128/243, 2；（见附 表的弦长 1）。另注：频率下行“四度相生律”可生成的自然 A 大调2，频率下行的“五度相生律”与“四度相生律” （ 频率上行）生成同一的自