四川省仁寿县铧强中学2026-2027学年高三上学期第一次诊断性考试数学试卷（含答案）

/铧强中学2024级高三（上）第一次诊断性考试数学试卷注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先分别求解集合、集合，再根据并集定义求出.【详解】，则，得.，则，得所以.2.命题“”的否定为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用全称量词命题的否定直接判断得解.【详解】命题“”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，所以所求的否定是.故选：C3.“”是“”成立的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件 D.充分必要条件【答案】B【解析】【分析】分别求解不等式，，再根据充分、必要条件的定义判定即可.【详解】由，得，解得；由，得.因为，推不出，所以“”是“”成立的必要不充分条件.4.函数，则（）A. B.0 C.1 D.4【答案】D【解析】【分析】应用分段函数解析式求解函数值.【详解】函数，则.故选：D.5.已知，，若，则实数（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【详解】因为，，则，，若，则，解得.6.甲、乙两人独立地破译一份密码的概率分别为，密码被成功破译的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，由相互独立事件概率的乘法公式可得密码没有被破译的概率，进而由对立事件的概率公式可得答案．【详解】因为甲、乙两人独立地破译一份密码的概率分别为，所以甲乙都没有成功破译密码的概率，所以密码被成功破译的概率为.故选：A7.在四面体中，，，两两垂直，且，若均在球的球面上，则的表面积为（）A.50 B.100 C.150 D.200【答案】A【解析】【分析】四面体的外接球和以，，为长宽高的长方体的外接球相同，进而求得直径，再由球的表面积公式即可求解.【详解】根据题意得四面体的外接球和以，，为长宽高的长方体的外接球相同，所以外接球的直径为，所以外接球的表面积为，故选：A.8.若函数的值域为，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分别讨论在不同取值时得单调性；当时，，不合题意；当时，讨论的最小值即可；当时，由分析可知要求的最小值为0，先确定的范围，再根据的范围确定时函数的单调性，从而求得其最小值即为符合题意.【详解】当．则，此时在，单调递增，在单调递减.当时，若，当，，不合题意；当时，，，则值域为符合题意；当时，要使的值域是，则要求的最小值为．则必定先有，得，即，此时在上单调性为上单调递减，单调递增，有最小值符合题意．故故选：A.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出四个选项中有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0份.9.第十五届全国运动会于年月日至日举行，截至月日，金牌榜总数前名的金牌数量依次为，，，，，，，，，，则（）A.该组数据的众数为B.该组数据的中位数为C.该组数据的极差为D.该组数据的分位数为【答案】AC【解析】【详解】将这个数据从小到大排列为，，，，，，，，，，对于A，观察这组数据，其中出现了次，其余数字均只出现次，因此，众数为，故A正确；对于B，这组数据共有个，中间两个数是第个和第个数，分别是和，因此中位数为，故B错误；对于C，这组数据中最大值为，最小值为，因此极差为，故C正确；对于D，由于不是整数，因此该组数据的分位数是第个数，即，故D错误.10.设，，且，则下列说法正确的是（）A.的最小值为 B.的最小值为8C.的最小值为 D.无最小值【答案】ABC【解析】【分析】利用1的妙用可判断A，通过等量代换，结合二次函数可判断B,C，利用基本不等式可判断D.【详解】对于A，由可得，，因为，当且仅当且时等号成立，即，所以的最小值为，A正确；对于B，由可得，即，，令，则，在时单调递增，最小值为，当且仅当时取等号，B正确；对于C，，令，则，在时单调递增，最小值为，即，当且仅当时取等号，C正确；对于D，由可得，，当且仅当时取等号，即有最小值2，D错误.故选：ABC11.已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则下列说法正确的有（）A.是周期为4的周期函数B.的图象关于直线对称C.D.在（3，4）上单调递减【答案】ABD【解析】【详解】因为，所以，所以的周期为4，故A正确；因为为上的奇函数，所以，所以，又当时，，其图象对称轴为直线，结合奇函数的性质可知其图象也关于直线对称，故B正确；因为，，，，则，所以，故C不正确；当时，，，由，得，其在上单调递减，所以D正确.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，求函数的解析式___________．【答案】【解析】【分析】利用换元法令，进而求函数的解析式，注意函数的定义域.【详解】令，则，可得，所以.13.若函数有两个零点，一个大于0，一个小于0，则m的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】由一元二次函数有两个零点且开口向上，则求解即可.【详解】若函数有两个零点，一个大于0，一个小于0，因为该二次函数开口向上，则，即.故答案为：.14.已知函数，在区间内任取两个实数，不等式恒成立，则实数的最大值为________．【答案】1【解析】【分析】首先将去分母，将问题等价转化为是增函数，即在上恒成立，分离参数后构造函数即可求解.【详解】.不妨取，则，所以，即，亦即.令，则问题等价转化为是增函数.所以在上恒成立，即在上恒成立，所以在上恒成立，所以在上恒成立.令，则，因为二次函数在上单调递增，所以当时，，即，所以是增函数，所以，即，所以实数的最大值为1.故答案为：1.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某高校为制定针对性的阅读推广方案，从全校随机抽取400名大学生开展“纸质书阅读偏好”专项调查，收集到的性别与专业交叉数据如下表（单位：人）：专业类型阅读偏好合计喜欢阅读纸质书不喜欢阅读纸质书文科150120270理工科5080130合计200200400（1）依据的独立性检验，能否认为该校大学生“是否喜欢阅读纸质书”与“专业类型”有关？（2）从样本中“喜欢阅读纸质书”的大学生里，按专业类型用分层抽样抽取8人组建“纸质书推广志愿队”，再从这8人中随机抽取3人负责校园书展策划，记最后抽取的3人中，选中的文科学生人数为，求的分布列与数学期望.参考公式：，其中.参考数据：0.050.010.0050.0013.8416.6357.87910.828【答案】（1）有的把握认为该校大学生“是否喜欢阅读纸质书”与“专业类型”有关.（2）随机变量的分布列为123期望为【解析】【分析】（1）由列联表中的数据，求得，结合附表，即可得到结论；（2）根据题意，求得抽取的8人中，文科人数为人，理科人数为人，得到变量的可能取值为，结合超几何分布的概率计算公式，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解.【小问1详解】假设认为该校大学生“是否喜欢阅读纸质书”与“专业类型”无关，由列联表中的数据，可得：，因为，所以拒绝假设，所以有的把握认为该校大学生“是否喜欢阅读纸质书”与“专业类型”有关.【小问2详解】由列联表中的数据，喜欢纸质书的共有200人，其中文科150人，理科50人，按比例抽取8人，则文科人数为人，理科人数为人，从这8人中抽取3人，为文科人数，则随机变量的可能取值为，可得，，，所以随机变量的分布列为123所以期望为.16.记的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）求；（2）若，，求的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理化简得到，结合两角和的余弦公式展开化简即可求解；（2）由余弦定理求得，再由面积公式即可求解.【小问1详解】根据正弦定理​，可得，结合已知条件，得，即，又，代入整理得：，又，，即，所以；【小问2详解】由余弦定理，代入，，，得：

，​​化简得：，由边长为正得，则，代入三角形面积公式

.17.如图，在直角梯形中，，，，，是的中点，是与的交点．将沿折起到的位置，如图．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值．【答案】（Ⅰ）因为，，是的中点，，所以即在图2中，，从而平面又，所以平面．（Ⅱ）．【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）先证，，再可证平面，进而可证平面；（Ⅱ）先建立空间直角坐标系，再算出平面和平面的法向量，进而可得平面与平面夹角的余弦值．试题解析：（Ⅰ）略（Ⅱ）由已知，平面平面，又由（Ⅰ）知，，所以为二面角的平面角，所以．如图，以为原点，建立空间直角坐标系，因为，所以得，．设平面的法向量，平面的法向量，平面与平面夹角为，则，得，取，，得，取，从而，即平面与平面夹角的余弦值为．考点：1、线面垂直；2、二面角；3、空间直角坐标系；4、空间向量在立体几何中的应用．18.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若有且只有两个零点，求的值．【答案】（1）当时，函数在上是增函数，当时，函数增区间是，，减区间是，当时，函数增区间是，，减区间是；（2）或．【解析】【分析】（1）由出，分类讨论确定和的解得增区间和减区间；（2）由（1）得两个极值点有一个是零点，解方程即得．【小问1详解】，时，恒成立，在上是增函数，时，由得或，由得，增区间是，，减区间是，时，由得或，由得，增区间是，，减区间是；综上：当时，函数在上是增函数，当时，函数增区间是，，减区间是，当时，函数增区间是，，减区间是；【小问2详解】因为时，，时，，所以有且只有两个零点，由（1）可得或且，，，．，综上，或．19.已知函数.（1）若函数在处的切线方程为，求实数；（2）若函数存在两个极值点（）①求a的取值范围；②证明：【答案】（1）；（2）①；②因为或，而，所以，而，所以，令，所以，所以在上单调递减，所以，所以.【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义和函数在处切线的概念，可求的值