圆锥曲线专题点差法

1、圆锥曲线专题：点差法的使用 22 例 1：椭圆 C： xy 1 的左顶点为 A，左焦点为 F。过 M （ -4，0）作直线 l 交曲线 C 43 于B、C两点（ B在M、C之间），N 为BC 的中点。 1） 证明： k BC k ON 为定值； 2） 求点 N 的轨迹 方程； 3） 是否存在直线 l，使得 FNAC ？ 2 2 2 2 1） x1y11 ； x 2 y2 1 作差得x1x2x1x2y1y2y1y20 ， 4 3 1 4 3 1 4 3 0 所以 k ky1 y2 y1 y 23 。 k BC k ON x1 x2 x1 x 2 4 2 42 x 2 x y1 x1 作差得x1x

2、 2x1x2y1y2y1y20 代入得 2x 2 y y 0 43 x 4 整理可得x 2 y 1。 43 再由中点须在原椭圆内部得点 N 的轨迹为： x 4 2 2 y32 3）由 F（-1，0），可知 kFN 0 ， kAC 0 ，所以不存在直线 l，使得 FNAC 。 22 例 2：椭圆 C： x y 1上有两个不同的点 A、 B，已知弦 AB 的中点 T 在直线 x 1 上， 43 试在 x 轴上找一点 P，使得 AP BP 解： A x1,y1 、B x2,y2 、P x0,0 、T 1,t 。 2 2 2 2 x1y11； x2y21；x1x22； y1y22t。 4343 APB

3、PABPTkAB kPT1 y1y2t x1 x2 1 x0 由 x1x2x1x 2y1y2 y1y 20 ，所以x1 。 4 3 0 4 例 3：抛物线 y2 4x上两点 A、B 满足 kPA kPB 0，其中 P（ 1，2），求证： kAB 为定值。 y12 4x1 ； y22 4x2 作差得 y1 y24 x1 x2 y1 y2 由 kPA kPB 0 得 4 + 40 。所以 kAB y1 y24 =-1 。 y1 2 y2 2x1 x2 y1 y2 练习： 22 1、椭圆 xy 1 的一条以 （，）为中点的弦所在直线的方程为 x+4y=5 。 16 4 22 2、椭圆 xy1的过定点

4、 A（2，5）的弦的中点轨迹方程为 x（ x-2 ）+4y（y-5 ）=0（内）。 16 4 2 3、双曲线 x2 y 1的斜率为 2 的弦的中点轨迹方程为 2y=3x （内） 。 3 22 4、椭圆 xy 1上存在不同的两点 A、B 关于直线 y 4x m对称，则实数 m的取值 43 范围是 2 13,2 13 。 13 13 22 5、双曲线 2x 2 3y 2=6 的一条不过原点的弦 AB恰被直线 y=2x 平分，则 kAB。 3 6、已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（ 7,0）,直线y x 1与其相交于 M、N 两点， MN 中点的横坐标为 2 ,则此双曲线的方程是 3 22 _ x

5、2 y2 1 25 22 7、已知 A,B,P 是双曲线 x2 y2 1上不同的三点，且 A,B 连线经过坐标原点，若直线 ab PA, PB的斜率乘积 kPA kPB 2 ，则该双曲线的离心率为 _ 3 。 22 8、已知 A、 B是椭圆 x2 y2 1（a b 0）长轴的两个端点， M，N是椭圆上关于 x 轴对称的 ab 两点，直线 AM，BN的斜率分别为 k1，k2，且 k1k20，若|k 1|+|k 2|的最小值为 1，则椭圆的 2 离心率为 _ 2 。 2 9、定长为 3的线段 AB的两端点 A、B在x y2上运动时，求 AB中点 M到y轴的最短距离， 并求出点 M的轨迹方程。 2 x1 y1 2 x2 y2 x1 x2 2x y1 y2 2y x1 x2 2 y1 y2 2 9 2 x1 x24x1x2 由 y1 y2y1 y24y1y2 x1x2 y1y 2 2 x1 x2 y1 y2y1 y22y1 y2 代入得： 9 4x2 42y2 x 4y2 42y2 x 4 2 9 化简可得： 4 y4 y2 4 2 9 5 x 2 y 2 。 4 y2 14 4 y2 1 4 10、已知点 A（1， 2）和抛物线 y2 4x 上两点 B、