高中数学三次函数的所有题型及解答总计

1、高中数学三次函数的所有题型及解答总计由于三次函数在高考中出现频率最高，且四次函数、分式函数等都可转化为三次函数来解决，故以三次函数为例来研究根的情况，设三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)其导函数为二次函数:f/(x)=3ax2+2bx+c(a0)，判别式为：=4b2-12ac=4(b2-3ac)，设f/(x)=0的两根为x、x，结合函数草图易得：12(1)若b2-3ac0，则f(x)=0恰有一个实根；(2)若b2-3ac0,且f(x)f(x)0，则f(x)=0恰有一个实根；12(3)若b2-3ac0,且f(x)f(x)=0，则f(x)=0有两个不相等的实根；12(4)若b2-3

2、ac0,且f(x)f(x)0，且f(x)f(x)0）;12(3)f(x)=0有两个相异实根的充要条件是曲线y=f(x)与x轴有两个公共点且其中之一为切点，所以b2-3ac0，且f(x)f(x)=0;12(4)f(x)=0有三个不相等的实根的充要条件是曲线y=f(x)与x轴有三个公共点，即f(x)有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以b2-3ac0且f(x)f(x)0x(-,-3)或（1，）此时为f(x)的单调递增区间；f)=x2+2x-30x(-,-3)或（1，）此时为f(x)的单调递增区间；1(xf)=x2+2x-30即m1时,2f(x)=x2+2x+m=0有两个相异实根x=-2-4-

3、4m=-1-1-m1x=-1+1-m2，且)m-或1-1+,)m，此时为f(x)的xxx+x012(,1x-1-(x+单调递增区间；f(x)=x2+2x+m0x(-1-1-m,-1+1-m)，此时为f(x)的单调递减区间。综上可知，当m1时,函数f(x)在r上单调递增;当m1,xx,即(-,-m)或（-1+）为单调递增，（-m,-1）为单调递减；，21(x（2）m=1,x=x,即f)0，所以函数f(x)在r上单调递增;21（3）m1,x1,m1,【变式2】因为不能因式分解，不能确定方程有根无根，所以要讨论的正负。【变式5】：设函数f(x)=1mx3+1(m+1)x2+x+c，求函数f(x)的单

4、调区间。32解析：依题意可得f(x)=mx2+(m+1)x+1=(mx+1)(x+1)，（1）m=0,f(x)=x+1,所以函数f(x)在（-,-1)单调递减，在（-1,+)单调递增；m（2）m0,f(x)=mx2+(m+1)x+1=(mx+1)(x+1)=0,x=-1,x=-112lmx,(-,-1)或（-2111,+)(-1,-)单调递减，mm单调递增；)或（-1,+)(-,-1)l0m1，x1,xx,(-,-1)或（-2111,+)(-1,-)单调递增，mm单调递减；综上可知，m0,(-,-1)或（-11,+)(-1,-)单调递减，mm单调递增；,m=0,（-,-1)单调递减，在（-1,

5、+)单调递增；3)或（-1,+)(-,-1)0m1,1,+)(-1,-)单调递增，mm单调递减；】【老吴帮你解后反思：这道题目与【变式4】区别在于，最高次前边的系数不能确定，所以讨论的第一个分界点为m=0，然后在讨论两个根的大小，但是一定注意导函数图像的开口方向，这是易错点。【变式6】：设函数f(x)=1mx3+1x2+x+c，求函数f(x)的单调区间。32提示：求导后，分析二次函数的最高幂系数不确定，所以要讨论m与0的关系，在m0的情况下，讨论的正负。】【例题2：设函数f(x)=13x3-x2-3x+1，求f(x)的极值。2解析：定义域为xr，依据题意可知f(x)=x2-2x-3，令f(x)

6、=x-2x-3=0，x=-1,x=312x(-,-1)-1(-1,3)3(3,+)f(x)f(x)00f(x)03f(3)=-8f(x)单调递增极大值单调递减极小值f(-1)=8单调递增4附图：】【例题3：设函数f(x)=13x3-x2-3x+1，求f(x)在0,4的最值。解析：定义域为xr，依据题意可知f(x)=x2-2x-3，令f(x)=x2-2x-3=0，x=-11（舍）x2=3x0(0,3)3(3,4)4f(x)f(x)0f(x)f(0)=1f(4)=-单调递减极小值单调递增f(3)=-8通过表格可以发现，最大值为f(0)=1，最小值f(3)=-873】【老吴帮你解后反思：本题主要注意

7、求出导数值为零点时，x1=-1不在给定范围。附图：【变式1】【2005高考北京文第19题改编】已知函数f(x)=x33x29xa,若f(x)在区间2，2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值解析：依据题意，f(x)=-3x2+6x+9，f(x)=0，x1=-1,x2=3（舍）5x-2f(x)(-2,-1)f(x)02f(x)单调递减单调递增f(-2)=2+af(-1)=-5+af(2)=22+a由表可知f(x)的最大值为f(2)=22+a=20，所以a=-2.f(x)的最小值为f(-1)=-5+a=-7.h(x)=f(x)+g(x)=x3+3x2-9x+1h(x)=3x2+6x-9h(x)=

8、0,x=1,x=-3附图：【变式2】：【2012高考北京文第19题改编】已知函数f(x)=ax2+1(a0)，g(x)=x3+bx。当a=3,b=-9时，若函数f(x)+g(x)在区间k,2上的最大值为28，求k的取值范围。解析：依据题意，12x(-,-3)-3(-3,1)-1(-1,2)2f(x)f(x)00f(x)0f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增f(2)=3f(-3)=28f(-1)=12结合函数单调性可知，要使h(x)最大值为28，必须使k-3。【老吴帮你解后反思】：在解决函数问题时，一定要结合函数的单调区间及极值大致绘出函数图像（如下图),通过图像一目了然就可以观察出k-

9、3。6【例题4】：设函数f(x)=13x3-x2-3x+1，f(x)在0,4的满足f(x)c恒成立，求c的取值范围。解析：定义域为xr，依据题意可知f(x)=x2-2x-3，令f(x)=x2-2x-3=0，x=-11（舍）x2=3x0(0,3)3(3,4)4f(x)f(x)0f(x)f(0)=1f(4)=-单调递减极小值单调递增f(3)=-8通过表格可以发现，最大值为f(0)=1，最小值f(3)=-8在0,4的满足f(x)c恒成立，必须使c1.73【变式】：设函数f(x)=13x3-x2-3x+1，f(x)在0,4的满足f(x)c恒成立，求c的取值范围。7解析：定义域为xr，依据题意可知f(x

10、)=x2-2x-3，令f(x)=x2-2x-3=0，x=-11（舍）x2=3x0f(x)(0,3)f(x)04f(x)f(0)=1f(4)=-单调递减极小值单调递增f(3)=-873通过表格可以发现，最大值为f(0)=1，最小值f(3)=-8在0,4的满足f(x)c恒成立，必须使c-8.【老吴帮你解后反思】：此类题目为恒成立问题，可以总结为f(x)c恒成立，满足fmin(x)c；f(x)c恒成立，满足fmax(x)c。】【例题5：2014高考北京文第20题改编】已知函数f(x)=2x3-3x.若过点p(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切，求t的取值范围；方法一：8方法二：324x0-6

11、x0+3=-t，设g(x)=4x3-6x2+3，h(x)=-t，则“过点p(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切”等价于“y=g(x)与y=h(x)图像有三个交点”。g(x)12x212x12x(x91)当x变化时，g(x)与g(x)的变化情况如下：x(，0)0(0，1)g(x)010(1，)g(x)单调递增3单调递减1单调递增所以，g(0)3是g(x)的极大值，g(1)1是g(x)的极小值结合图像知，当y=g(x)与y=h(x)有3个不同交点时，有1t3,即3t-1或t0，得x0,令f(x)0，得-2x0,f(x)的单调递增区间是（-，-2）和（0，+），单调递减区间是（-2，0）。（

12、）解法一：由（）知，f(x)=13x3+x2+b，f(-2)=43+b为函数f(x)极大值，f(0)=b为极小值。f(0)=0或或或或，即4，-18b-，即b的取值范围是-18,-)。3+b0f(-2)=0f(-3)0f(0)0f(-2)0f(3)0f(3)0).若函数f(x)在区间(2m-1,m+1)上单调递增，求实数m的取值范围解析由于m0，f(x)，f(x)的变化情况如下表：xf(x)f(x)(-,-3m)+单调增-3m0极大值(-3m,m)单调减m0极小值(m,+)+单调增所以函数f(x)的单调递增区间是(-,-3m)和(m,+).【例题8】f(x)=-1x3+1x2+2ax【例题7】

13、已知函数f(x)=1x3-ax2+(a2-1)x+b(a,br)当a0时，若f(x)在区间(-1,1)上不单3调，求a的取值范围解析：因为函数f(x)在区间(-1,1)不单调，所以函数f(x)在(-1,1)上存在零点而f(x)=0的两根为a-1，a+1，区间长为2，在区间(-1,1)上不可能有2个零点所以f(-1)f(1)0，即a2(a+2)(a-2)0，(a+2)(a-2)0,-2a0求f(x)在区间2,3上的最小值3解：方程f(x)=0的判别式d=8a0，2a，或x=1+12f(x)和f(x)的情况如下：1(x,x)x22x(-,x)x112(x,+)f(x)+0-0+f(x)故f(x)的单调增区间为(-,1-2a所以f(x)在区间2,3上的最小值是f(x)=5332a2a2a)，(1+,+)；单调减区间为(1-,1+)2222当0a2时，x2，此时f(x)在区间(2,3)上单调递增，2所以f(x)在区间2,3上的最小值是f(2)=7