高中数学竞赛试题

1、 4x1220062007( )f x =1 设，求和f+ f+ + f4 + 2x200720072在一个有限的实数列中，任意 7 个连续项之和都是负数，而任意连续 11 项之和都是正数，试问这样的数列最多有多少项？证明你的结论3已知，求证中至少有一个不小f (x) = x+ px + qf (1) , f (2) , f (3)21于 24已知，解函数方程af (x) + bf (-x) = c(1+ x)ab 0( )5设，为实数，如果对于所有适合f x = ax bx c a,b,c2 + +x-1 1( )的 值，都有成立，则对这些 的值有- 4 2ax + b 4x-1 f x 1

2、x316证明余 2对任何正整数 都是整数，并且用 3 除时n + n + n -1n3222( )7已知 为非零的不共线向量，设条件 m：；条件n：a, bb a -b对一切 x r不等式恒成立则 m 成立是 n 成立的什么条a- xb a -b件？证明你的结论( )8设多项式的系数都是整数，并f x = a x + a x 1 + + a x + ann-01n-1n( ) ( )都是奇数，求证方程且有一个奇数 及一个偶数 使得及abf af b( )f x = 0没有整数根9设，式中各系数都是p(x) = a x + a xk -1 + a x + aa ( j = 0,1, ,k)kkk

3、 -110j整数今设有 4 个不同的整数使都等于 2试x , x , x , xp(x )(i =1,2,3, 4)1234i证明对于任何整数必不等于 1，3，5，7，9 中的任何一个x, p(x) 10已知数列 满足，求数列的通项aa = a =1,a = a + an12+2n+1nn11用任意的方式，给平面上的每一个点染上黑色或白色求证： 一定存在一个边长为 1 或 的正三角形，它的三个顶点是同色的312已知凸四边形，求证这个凸四边形一定可以被abcdab, bc,cd, da为直径的半圆共同覆盖13在 中，设 ，过 作的外接圆的切线 ，又abcab acaabcl以 为圆心， 为半径作

4、圆分别交线段 于 ，交直线 于 、 证aacab dl e f明：de、df通过内心和一个旁心abc14设 是锐角的垂心,由 向以 为直径的圆作切线habcabc,切点分别为 .求证:p,q三点共线.ap, aqp, h,q15 在 等 边所 在 的 平 面 上 找 这 样 的 一 点 ， 使abcp都是等腰三角形，那么具有这样性质的点有几个pab, pbc, pac16过圆外一点 作圆的两条切线和一条割线，切点为 、 所pa b作割线交圆于 、 两点， 在 、 之间在弦 上取一点 ，使c dc p dcdq求证：dbq = pacdaq = pbc17将平面上每一个点都以红、蓝两色之一着色，

5、证明，存在这样的两个相似三角形，它们的相似比为 2007，并且每一个三角形的三个顶点同色18在坐标平面上顶点坐标均为整数的点叫做整点多边形，求证，整点凸五边形内必有整点19如图,菱形的内切圆 与各边abcdo分别切于,在弧 与弧 上分别e, f,g, hefgh作o 的切线交 于 交 于 ,交 于ab m, bc ncd,交 于 .求证da qpmq / np. 20平面上有 6 个点，任何 3 点都是一个不等边三角形的顶点，则这些三角形中有一个的最短边又是另一个三角形的最长边21在正方体的 8 个顶点处分别放上 8 个不同的正整数，如果他们的和等于 55，那么必定能找到一个侧面正方形，其相对

6、顶点所放的数都是奇数2,5,13,d中22设 是异于 2，5，13 的任一整数求证在集合d可以找到两个不同元素 ，使得ab -1不是完全平方数a,b23设有( )个茶杯，开始时，杯口都朝上，现把茶杯随意2n -1 n 1翻转，规定每次翻转偶数只（翻动过的还可以再翻动），证明，无论翻动多少次，都不可能使杯口都朝下24有100 盏电灯，排成一横行，从左到右，我们给电灯编上号码 1，2，99，100每盏灯由一个拉线开关控制着最初，电灯全是关着的另外有 100 个学生，第一个学生走过来，把凡是号码为1 的倍数的电灯的开关拉了一下；接着第 2 个学生走过来，把凡是号码为 2 的倍数的电灯的开关拉了一下；

7、第 3 个学生走过来，把凡是号码为 3 的倍数的电灯的开关拉了一下，如此等等，最后那个学生走过来，把编号能被 100 整除的电灯的开关拉了一下，这样过去之后，问哪些灯是亮的？2 1n + 425证明对任意正整数 ，分数不可约n14n + 326 的前24位数字为 = 3.14159265358979323846264，记a ,a , ,app1224( )( ) ()必为偶数为该 24 个数字的任一排列，求证a - a a -aa -a12342324( )( ) ( )( )的奇偶j+ 2 + + 200727用 表示 的约数个数，请对j1jjnn 性作出证明28 设 与 为正整数，满足pq

8、1 1= 1- + -l-2 311求证 可pq+1318 1319p被 1979 整除29用两种颜色给数轴染色，每一个点上只染一种颜色求证，存在同色两点，它们的距离为 1 或为 2( )n 430有 个同学围坐在圆周上，若每个学生的两旁都是一n男一女，求证 是 4 的倍数n31如果从数 1，2， 14 中按由小到大的顺序取出 ， ， ，l,a1aa23使同时满足3,3,那么，所有符合上述要求的不同取a - aa - a2132法有多少种？32证明：在任意6 个人中，总可以找到3 个人互相认识，或互相不认识，并且这种情况至少出现两个33在一次乒乓球循环赛中， 名选手中没有全胜的，证明，一n定可

9、以从中找到 3 名选手，使得 胜 ， 胜 ， 胜 a b b c c aa, b,c34甲乙两队各出 7 名队员按事先安排好的顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由 1 号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方 2 号队员比赛，依次类推，直到有一方队员全被淘汰为止，另一方获胜利，形成一种比赛过程，那么所有可能出现的比赛过程的种数有多少？35设有的正方形方格棋盘，在其中任意的 个方格中放3n2n 2n一枚棋子，求证，可以选出 行 列，使得 枚棋子都在这 行和 列nn3nnn中36凸 边形（nn）玫瑰园的 个顶点各栽有 1 棵红玫瑰，每n 4 两棵红玫瑰之间都有一条直小路相通，这些直小路没有出现“三线共点”

10、的情况它们把花园分割成许多不重叠的区域（三角形、四边形，），每块区域都栽有一棵白玫瑰或黑玫瑰 求出玫瑰园里玫瑰总棵数的表达式f (n) 花园里能否恰有 99 棵玫瑰？说明理由37李明夫妇最近参加了一次集会，同时出席的还有三对夫妻一见面，大家互相握手，当然夫妻之间不握手，也没有人与同一个人握两次手握手完毕后，李明统计了包括妻子在内的 7 个人握手的次数，发现恰好数字互不相同请问，李明的妻子握了几次手?38设 是正整数，我们说集合1,2,l,2n的一个排列()nx , x , , x122n具有性质 ，是指在当中至少有一个 ，使得，p1,2,l,2n -1i| x - x |= nii+1求证对于任何 ，具有性质 的排列比不具有性质 的排列的个数多npp39运动会连续开了 天（ ），一共发了 枚奖章第一天发nn 1m111 枚以及剩下