大一上学期第一学期高数期末考试题1

1、大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 1: （2）求D绕直线二e旋转一周所得旋转体的体积匕 五.证明题 15设函数/（兀）在山上连续且单调递减 证明对任意的9曰，1, q f(x)dx 00 兀n -J f(x) d x = 0 f f(x)cosx dx = 0 16.设函数/(X)在B刊上连续，且彳,o 证明：在（皿）内至少存在两个不同的点彳* 使/（1）= /（2）= （提 E（x）=f（x）dx 示：设0） 解答 一、单项选择题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 1. D 2. A 3. C 4. C 5. D 6. D 二.填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） )2

2、+ 5. 2 x.6 7. 三、解答題(本大题有5小题，每小题8分，共40分) 7.解：方程两边求导 exy (1 + y) + cos(xj)(xjr + j) = O y，(X)= /F+)COSg) exy + x cos( xy) x = 0, y = 0j*(0) = 1 &解：u = x 7x(tdx=du 原式=打业打“=打(丄一丄m 7 J “(l + M) 7 J u m + 1 =* (In I “ I 2 In I “ +11) + c = -lnlx7 l-lnl 1 + x7 l+C 77 9.解:J： 朋=J：河仏+ J； =J xd(-ex) +1 阳&(令x-l

3、 = sin0) 10解：由 /（）= ,知g（）= 。 (2 0) 皿一p (2 0) /U) = A g(0) = liin =lim ex2 e 2x /(/ limgx) = limg= A-= ，/、 goxto X222 , g(x)在x = 0处连续。 dy 2 + y = 111 x 11 解：dx x -f dx 十 f dx y =e ix (jeix nxdx + C) 1 l.2 J(1) = -,C=O y = -xnx-x 四. 解答题， 12. M：由已知且/ = 2Jojdx + 将此方程关于X求导得h =+ b 特征方程：r2-r-2 = 0解出特征根：儿=一

4、1，ri =2- 其通解为 y=Ce-x +C2e2x C =2 c =1 代入初始条件y（o）= y（o）= i,得|3，2 2 “ 1 2x y = e + e 故所求曲线方程为： 33 j-lnx0 =（x-x0） 由于切线过原点，解出从而切线方程为: y = -x 13. 解：（1）根据题意，先设切点为（如nx）,切线方程：心 A = J (ey ey)dy = -e 1 则平面图形面积 o2 片=e2 (2)三角形绕直线二8周所得圆锥体体积记为K,则 3 曲线y = nx与*轴及直线“二&所围成的图形绕直线”二&一周所得旋转体体 积为K 1 V=Vi-V2 =-(5e2 -12e +

5、3) 6 V2 = j-ey )2dy D绕直线x= e旋转一周所得旋转体的体积 五、证明题 j f(x) d x-qf(x)dx =jf(x)dx-q( j f(x) +j f(x)dx) 14. 证明：0000g gi =(1 一研 fM d 兀一町 fMdx /)N/) q(l q)f) q(l q)f(%)0 故有： Q1 fx)dxqfx)dx 00 o 证毕。 刍日()日 x F(x)=ff(t)dt 15证：构造辅助函数：oo其满足在，刃上连续, 在(0,*)上可导。F(x) = /(x),且F(0) = F(/r) = 0 nnn 0 = |/(x)cosxJx =| cosxJF(x) = F(x)cosx| + J sinx F(x)dx 由题设，有。o0, f F(x)sinxJx = 0 有%,由积分中值定理，存在丘(0皿)，使F(幻sing = 即 f(G = o 综上可知F(0) = F(g) =