单扩域的研究资料

1、单扩域的研究 精品文档 单扩域的研究 摘要 ：从群环域中的分类，域是一类特殊的环，比一般的欢更具有特殊性质。大体上，实 数域 R是在他的子域有理数域 Q中建立起来的，复数域 C 是在他的子域 R上建立起来 的。所以从历史上讲，对于域的研究只是从一个给定的域出发，来研究他的扩域。本文主 要研究单扩域的一些基本性质。 关键词：环：域；单扩域； 1 扩域的概念 1.1 素域的基本概念 定义 1：如果域 F 它不含真子域，则称 F 为一个素域。 例 1：以素数 P 为模的剩余类环 Zp 是一个素域。 定义2：设F是域，若元素 1在( F ，+)中的阶数为素数 P，则称 P为域F的 特征。 例2：若元素

2、 1在(F ，+)中的阶数为无穷大，则称 F的特征为 0， F的特征 记作 chF 0 (1) P 0 (1) 引理 1：设 R和R都是有无零因子的交换环，且 R和R同构，即 R R， F 和 F分别是R和R的分式域，则 F F 且当a R时，有 (a) (a)。 定理 1：设 F 是一个域，若 F 的特征是 0，那么 F 包含一个有理数同构的素 域；若F的特征是素数 P ，那么F包含 一个与Zp同构的素域。 证明：设 e是域 F 的单位元，作集合 R nen Z ，那么， :Z R,n ne 是 整数环Z到R的一个同态满射。事实上， 显然是满射，且 m，n Z ，有 收集于网络，如有侵权请联

3、系管理员删除 精品文档 (m n) (m n)e me ne (m) (n) ； (mn) (mn)e (me)(ne) (m) (n) ， 当F 的特征是 0时， Ker m Z (m) 0 0 ，即 是一个单射，得 是一 个同构映射，即 Z R 。 设R的分式域为 P ab 1a R,b R ，则 F 包含 P，由引理 1知，Z 的分式 域 P 同构，而整数环 Z 的分式域为有理数 Q ，即 Q P 。当 F 的特征是素数 p 时，则有 Ker m Z (m) 0 (P) 。事实上，由 (p) pe 0，得 (p) KerZ 。而(P)是Z的极大理想，则 1 (p) Ker ，即 Ker

4、Z。 故只有 Ker( p) 。根据环的同态基本定理有 Zp Z/(P) Z/KerR。当 F 是素域时，则 F 只有平凡子域 F 本身，在上述的证明过程中，当 chF =0时，有 Q P F ；当 chF p 时，有 Z p R F 。结论成立。 1.2 域的扩张 定义 3：设( K, ,? )是域， F 是K 的非空子集，且( F, ,?)也是域，则称 F 是 K 的子域， K 是 F 的扩域，记做 F K 。 定义 4：设V 是一个加群， F 是一个域，对任何 F,v V 定义一个元素 v V 满足下列性质： , F,u,v V 恒有下列性质 (u v) u v；()u u u； ( u

5、) ( )u；1 v v。 则称V 是域F 上的一个向量空间(线性空间)。 定义 5：设E是域F 的扩张， S为E的子集， E中含有 S和F的子域；同时含 有S和F 的E域的交仍是 E的子域，这就是最小子域。称这个最小子域为 E在 F 上由 S生成的扩域，也称 F 添加 S得到的扩域，记做 F(S) 。 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 精品文档 定义 6：由于 K对F的扩张次数，记做 (K :F)。当(K :F)有限时，称 K是F的 有限扩张，否则称为无限扩张。 引理2：设E为F的扩域， S是E的一个非空的有限子集，即 ) n,g 0 其中 F 1, 2, , n为域 F 关于元素 1,

6、 2, , n的多项式环。也就是说，域 F 1, 2, , n在 E中的分式域。 引理3：设E为F的扩域， S为E的一个非空子集，则 F(S) F(T) ，其中T TS 为 S 的任意有限子集。 f 1, 2, , n g 1, 2, , n F(S) 引理4：设E为F的扩域， S为E的一个非空子集，则 1, 2, , n S,n Z ; 。 f ,g F 1, 2, , n, g 0 引理5：设E为F的扩域， S1, S2为E的一个非空子集，则 F(S1)(S2) F(S1 S2) F(S2)(S1) 。 2 单扩域 2.1 代数元和超越元 定义 7：设E为F 的扩域， E ，则称 F( )

7、 为 F 添加 所得的单扩域 定义 8：设E为F 的扩域， E ，如果 是域 F 上的一个非零多项式的根，则 称 为域 F 的一个代数元， F( ) 叫做 F 上的一个单代数扩域；如果 不是域 F 上任意非零多项式的根，则称 为域F上一个超越元， F( )叫做F 上的一 个单超越扩域 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 精品文档 例 32 3 是 Q 上的代数元。 证： 2 5 2 6 ， ( 2 5)2 24 ， 即0 ( 2 5)2 24 4 10 2 1，得出2 3 是有理数域 Q上的多项式 x4 10 x2 1的根，所以2 3 是Q上的代数元。 定理 2：设E为F的扩域，E，令 An

8、n( ) f(x) Fxf( ) 0 ，则 Ann( )是F x的一个理想，且 F Fx/Ann( )。当 为F 上的代数元时， Ann( )是由 F x中的不可约多项式 p(x)生成的，即 F Fx/(p(x)；当 是F上的超越元时， Ann( ) 0，即 F Fx。 证明：做映射 :Fx F , f(x) f( ) ，容易看出 是环的同态满射，且 Ker Ann( ) ，所以， Ann( ) 是F x的一个理想。因此，由环的同态基本定 理得出 Fx/ Ann( ) F 。 当 为F上的代数元时， Ann( ) 0 ，由于 F x是一个欧式环，因而它是 一个主理想环。设 Ann( ) (p(

9、x)，只需要证明 p(x)是 F x的一个不可约多项 式。由于 p(x) Ann( ) ，即 p( ) 0 ，显然 p( x )为非零且非零次的多项式，即 p(x) 是 F x中的非零单位的元，如果 p(x)是Fx 中的可约元，则 p( x)有真因子分 解 p(x) p1(x)p2 (x) ， 其中 p1(x)和 p2(x)的次数都低于 p(x)的次数，而 p( ) p1( )p2( ) 0 ， 由于E中无零因子，则必有 p1( ) 0或 p2( ) 0 。不妨假设 p1( ) 0，所以， 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 精品文档 p1( ) Ann( ) ( p( x) ，从而得 p(

10、x) p1( x)矛盾。因而 p( x)是F x的一个不可 约多项式。当 a为 F 上的超越元时，显然有 Ann( ) 0。 推论：设 E为F 的扩域，E，则F 是域当且仅当 是F上的代数元。 证明：设 为F 上的代数元，则由定理 2得 Fx/(p(x) Fx/Ann( ) F ， 而 p(x)为 F x中的不可约元，因而 p(x)是 F x的一个极大理想，于是 F x /( p(x)是一个域。反之，设 为F 的超越元，则 F Fx，而Fx不是 域。 定义 9：设 p(x)是 Ann( ) 中次数最低、首项系数为 1 的多项式，则称 p(x)为 的域 F 上的极小多项式，而 p(x)次数 n称

11、为 在F 上的次数。 定理3：域F上的代数元 在F上的极小多项式 p(x)是理想 Ann( )的生成元， 且 p(x)是Fx 中的不可约多项式，它对 来说是唯一的。 证：由于 Ann( ) 是一个主理想，设 Ann( ) (q(x) 。由于 p(x) Ann( ) (q(x)，故q(x) p( x) ，因而 q(x) p( x) 。又因为 p(x)是 Ann( ) 中次数最低的多项式，则有 q(x) p(x)，即 p(x) c q(x),(c 0,c F)因而(p(x) q( x) ，由定理 2可知 p(x)是Fx中的不 可约多项式。若 有两个极小多项式 p( x) ， q( x) ，则 (p

12、(x) Ann( ) (q(x), p(x) c q(x)(c 0,c F)由于 p(x)与q(x) 的首项系数 都为 1，所以，得 c 1，既有 p(x) q(x) 。 定理 4：设 为域 F 上的一个代数元，而 p(x)为F x 的不可约多项式，而且首 项系数为 1， p( ) 0，那么， p(x)是 在 F 上的极小多项式。 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 精品文档 证明：因为 p( ) 0 ，即 p(x) Ann( ) 。如果 的极小多项式为 p1(x) 与 p(x) 首项系数都是 1，故 p1(x) = p(x) 。 2.2 单扩域的结构 定理 5：设E为F 的扩域，E。若 是

13、F上的一个超越元，那么 F F x的分式域，其中 Fx是域 F 上关于为定元 x的一元多项式环；若 是F上的一个n次代数元，那么， F( ) F x ，且任意 F 中的元素都可唯一 的表示为a0 a1an 1 n 1的形式，其中 ai F,i 0,1,2, ,n 1。 证明：当 时域 F 的一个超越元时，由前面推理知 F( ) f( ) f( ),g( ) F ,g( ) 0 ，又由定理 2知， F Fx，因为 g( ) 同构的环，他们的分式域也同构，而 F 的分式域恰好也是 F( ) ，所以， F Fx 的分式域。 当 是域 F 上的一个 n次代数元时，由以前证明知， F 是一个域，它同时

14、包含 F 和 ，所以， F( ) F ；显然我们有 F F( ) ，所以相等。设 的极小多项式为 p(x) ，且 (p(x) n, F( ) F ，则 b0 b1bm m (bi F,i 0,1, ,m) 用 p(x) 对 f (x) b0 b1xbmxm进行带余除法，设 f(x) q(x)P(x) r(x)， 其中 r(x) a0 a1an 1 n 1，由 p( ) 0 知 f ( ) r( ) a0 a1an 1 n 1 。 在证明其表达式的唯一性，设 有两种表达形式， a0 a1an 1 n 1 c0 c1cn 1 n 1 ，则 是多项式 g(x) (a0 c0) (a1 c1 ) (a

15、n 1cn 1 ) 。 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 精品文档 的根，因而 p(x)g(x)，故 g(x) 0，所以， ai ci,i 0,1,2, ,n 1。 例 4：写出有理数域 Q上的单代数与 Q(3 2)中的元素的一般形式，求 1 3 2 在 Q(3 2) 中的逆元。 解：3 2在Q上的极小多项式为 x3 2，故3 2为三次元。因而， Q(3 2)=a0 a13 2 a23 4 a0,a1,a2 Q 。 设(1 3 2) 1=a0 a13 2 a23 4 ，则 1=(1 3 2)(a0a13 2a234)=(a02a2)(a1a0)32(a1a2)3 4， 由元素表示的唯一性可

16、得方程组 a0 2 a2 1 a1a00 a1a20 111 解得 a01,a11,a21 ， 333 即 (1 3 2) 1 1(1 3 2 3 4) 。 定理 6：设 , 在 F 上有相同的极小多项式 p(x) ，那么， F( ) F 。 证明：假设极小多项式 p(x)的次数 n，那么 n 1 n 1 F ( ) i ai i0 ai F , F( )ai i i0 ai F ， 作映射 : F( ) F( n 1 n 1 i ),aiai i 0 i 0 i 。 显然， 保持假发的一 一映射，而对于乘法， f ( ),g( ) F( ) ，用 p(x) 对 f ( x) g(x)作带余除

17、法，得 f (x)g(x) q(x)p(x) r(x)， 其中r(x) 0或 r(x) p(x)。则 f( )g( ) r( ), f( )g( ) r( ) 所以， f( )g( ) r( ) r( ) f( )g( ) f( ) g( )。 即 也保持乘法运算。由此可得 F ( ) F 。 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 精品文档 定理 7：设域 F 上有一个首项系数为 1的不可约多项式 p(x) ，则存在 F 的单代 数扩域 F( )，使 p(x)是 在 F 上的极小多项式，且 F( ) Fx/(p(x)。 且 F( ) 在同构的意义是唯一的。 证明：令 E F x /( p(x)

18、 ，由于 p(x)在Fx中不可约，而 F x为欧式环，得出 p(x) 是 F x的一个极大理想，所以， E Fx/( p(x) 是一个域，且 E f (x) p(x) f(x) Fx f (x) f(x) Fx 取 F aa F E ，作映射 :F F,a a。 则可以验证 是F到F的同构映射。 F显然与E无公共元素，由挖补定理， F 有扩环E (E F) F E，因而 E也是一个域。设 E到E的同构映射为 ，则 限制在 F 上与 相等。 取x E ，设x在 下的原像为 ，即 ( ) x，设 p(x) a0 a1xanxn ， 则 (p( ) (a0) (a1) ( )(an) ( )n =

19、(a0 ) (a1)x(an)xn n =a0 a1xan x n =a0 a1xanx =p(x) 0 。 由于 是同构映射，故 p( ) 0 ， 是 F 上的代数元，由定理的出 p(x) 是 在 F 上的极小多项式。 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 精品文档 面证明 F( ) E 。事实上，由于 E,F E，故 F( ) E。反之， E ，设 () f (x) b0 b1x bmxm 那么 ( f( ) (b0 b1 am m) = (b0) (b1) () (am) ( m) =b0 b1x m bmx = f (x) ( )。 由 为单射知， f( ) F( ) ，即有 E F(

20、 )。 综上所述， E F( )是 F 的单代数扩域。 最后由定理 4 知， E 在同构下意义下是唯一的 3 实例 3.1 单扩域的 - 同构 本文旨在谈论单扩域方面的问题，故本小节讨论只讨论单扩域的同构情形。 由前面已经给出单扩域同构的概念，在这里不再给出。 定理 8：设 和 分别是域 F 和F 的代数元， 是F 到 F 的同构。 1、存在 F( )到 F( )的 同构 1使 1( )= 的充要条件是 ( mF)(x) mF(x) 2、若 ( mF )(x) mF (x)，则所有 F( )到 F( )的 同构的个数 mF(x)在 F( ) 内根的个数。 证明：略，见参考文献。 例 5：用Q表

21、示有理域。设 F Q(43)，F Q(4 3i)，则F F ，其中 :F F,f (4 3) f(4 3i)(这里 f(x) Q x )。再令4 41 4 3， 43 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 精品文档 14 41 4 3( 2 2 2 2i)则mF(x) x4 4 3 41 ， 2 43 4 3 mF(x) 1 x4 (4 3 41 )i，即( mF )( x) mF ( x) ，按照定理 8中 1知，存在 F( ) 43 到 F( )的 同构。另外， mF(x) 在F( )上由两个根，mF(x) 在 F( )上有 两个根 ，故由定理 8得知，存在两个 F( )到F( )的 同构

22、 1, 2 ： kk 1 :F( )F( ),akk(ak)ak ， 2:F( )F( ),akk(ak)( )k(其中 akF)。 3.2 待定系数法在单代数扩域中的应用 定义 9：设 是域 F 上的一个代数元， 在F 上的最小多项式为 P(X)，且 degP(X) n, 是 F( )中的任意元，则： n1 1、 可以表示成 ai i0 n1 2、如果还有bi i 那么ai bi(i 0,1,2,., n 1) 。 X2 5X 7 的根，使把元素 i0 例 6：设 是Q X 中不可约多项式 g(x) 2 15a 1a 2a2 2 a 写成关于 a的次数不超过 1 的多项式 5a 16 4a

23、8 又因为 ( 4a 4a 8 13 得 ( 4X 8) ( X ) 44 13 所以 ( 4a 8)(1a 3) 44 8) 1 由( 4X 8,X 2 5X 2 (X 2 5X 7) 1 1 1即 1 4a 8 13 a 44 7) 解法一：由于 a在Q上额最小多项式是 g(x) X2 5X 7，因而 a2 5a 7 0 2 所以 2 15a 2a2 2 1aa 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 精品文档 所以 5a 16 4a 8 13 (14a 34)(5a 16) 1(5a2 16a 15a 48) 1(26a 83) 44 即W 13 83 a 2 4 解法二 （待定系数法）：

24、 2 15a 2a 5a 16 4a 8 1 2 aa 5a 16 令 a ba 4a 8 则 5a 16 (a ba)( 4a 8) 4ba2 (8b 4a)a 8a=( 4a 12b)a 8b 28b 2 15a 2a2 1 a a2 4a 12b 5 比较系数得到 4a 12b 5 解得： 8a 28b 16 83 a 4 13 2 2 15a 2a2 13 83 因而W a 4a 8 2 4 第一个解法繁琐，第二个解法的优点在于直观、简洁。避免用辗转相除所带来 的冗杂的计算 3.3 单超越扩域上的方程研究 3.3.1 两类方程的定义 1、方程Ai yn 1 i =0 Aiyn 1 iy

25、n 1Ayn2 .An2yAn1,(yA)(yn1Ayn2 .An2yAn 1)= yn An 。由定理知，方程 yn An=0在E中总有根 A，而 yn An =0的根中去掉 A， 就得到方程Aiyn 1i =0的根。 定理 9： E上的方程 yn 1 Ayn 2 . An 2y An1 0(A 0)在E中根的状况是： 1)在 E中没有根(n,pk 1) 1且 p不整除 n； 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 精品文档 2)在 E 中有 (n, pk 1) 1 1且 p 不整除 n； 3)在 E 中有 (n, pk 1) 组互不相同的重根，其中一组为 pl 1重根 A，其余 (若有)组均

26、为 pl重根(n,pk 1) 1 1且 pl整除 1但 pl 1不整除 n。 2、方程 ( A)i yn 1 i 0(A 0) 当n为偶数， ( A)iyn1i yn1 Ayn 2 . An2y An1，(y A)(yn1 Ayn2 . An2y An1) yn An。方程 yn An 0在E中总有根 A，而yn An 0 的根中去掉 A，就得到方程 ( Ai)yn 1 i 0的根。 定理10：当n为偶数， E上方程 yn1 Ayn 2 . An 2y An1 0(A 0)在E中 根的状况是： 1)在E中没有根 (n,pk 1) 1且p不整除 n； 2)在 E 中有 (n, pk 1) 1个互

27、不相同的单根(n, pk 1) 1且 p 不整除 n； 3)在 E 中有 (n, pk 1) 组互不相同的重根，其中一组为 pl 1重根 A， 其余组(若有)均为 pl重根 (n,pk 1) 1 1且pl整除1但pl 1不整除n。 当n为奇数时， ( A)iyn1i yn1 Ayn2 . An 2y An1，(y A)(yn1 Ayn 2 . An 2y An 1) yn An。方程 yn An 0在 E中总有根 A，而 yn An 0的根中去掉 A，就得到方程( Ai)yn 1 i 0的根。 定理11：当n为奇数时， E上的方程 yn1 Ayn 2 . An 2y An1 0(A 0)在 E中根的状况是： 1)在E中没有 (n,pk 1) 1且 p不整除 n； 2)在 E 中有(n, pk 1) 1个互不相同的单根(n