魏宗舒版概论3.5b

1、一、随机变量的数学期望一、随机变量的数学期望 二、随机变量函数的数学期望二、随机变量函数的数学期望 四、小结四、小结 第第3.5节节 数字特征（期望）数字特征（期望） 三、数学期望的基本性质三、数学期望的基本性质 一一.连续型随机变量数学期望的定义连续型随机变量数学期望的定义 ( ), ( )d,( )d ,. ( )d . p x x p xxx p xx e ex p xx 设连续型随机变量的密度为若积分 绝对收敛 称积分的值 为随机变量的数学期望 记为 即 定义定义3.7 设顾客在某银行的窗口等待的服务的时设顾客在某银行的窗口等待的服务的时 间间 (以分计以分计)服从指数分布服从指数分布

2、,其概率密度为其概率密度为 ., , )( 00 0 5 1 5 x xe xp x 试求顾客等待服务的平均时间试求顾客等待服务的平均时间? 解解( )dexp xx xex x d 5 1 5 0 ).(5 分钟分钟 因此因此,顾客平均等待顾客平均等待5分钟就可得到服务分钟就可得到服务. 例例1 顾客平均等待多长时间顾客平均等待多长时间? 例例2 均匀分布均匀分布 则有则有 ( )dexp xx b a xx ab d 1 ).( 2 1 ba ., , )( 其其它它0 1 bxa ab xp ( , ),u a b设其概率密度为 结论结论 均匀分布的数学期望位于区间的中点均匀分布的数学期

3、望位于区间的中点. 例例3 指数分布指数分布 , ,0, ( )0. 0,0. x ex p x x 设随机变量服从指数分布 其概率密度为 其中 则有则有 ( )dexp xx xex x d 0 . 1 xexe xx d 0 0 例例4 正态分布正态分布 2 ( ,),n 设其概率密度为 则有则有( )dexp xx xe x x d 2 12 2 2 )( t x 令令, tx 2 2 () 2 1 ( ). 2 x p xex . tte te tt d 2 d 2 1 22 22 2 2 () 2 1 d 2 x exex 所以 tet t d)( 2 1 2 2 )( )1 ( 1

4、 )( 2 x x xp )1( | 2 x dx x 例例5 设随机变量设随机变量 x服从柯西分布服从柯西分布,其密度函数为其密度函数为 求求e(x). 解解: 由于积分由于积分 因此柯西分布的数学期望不存在因此柯西分布的数学期望不存在. 1连续型随机变量函数的数学期连续型随机变量函数的数学期 望望 二、随机变量函数的数学期望二、随机变量函数的数学期望 ()() d. ()()() d fxpxx e ffxpxx 则 3 .2定 理若是 连 续 型 随 机 变 量 ， 密 度 函 数 为 p ( x ) , f ( x ) 是 实 变 量 x 的 函 数 ， 且 3.3( , ) ( ,

5、)( , ) = ( , ) p x yf x y f x y 定理 设是二维连续型随机变量，其 概率密度为，又是二元函数，则 随机变量函数的数学期望为： ( , )( , ) ( , )d d .eff x y p x yxy 2. 二维随机变量函数的数学期望二维随机变量函数的数学期望 1. ,. (). abeaebc e cc 若则存 在 ， 且特 别 是 一 个 常 数 ， 则 证明证明,() ()() abex fxd x fxd xebfxd x 由 于 则 a 121212 2.e k ,k(k+k)k ek e ee 设 二 维 连 续 随 机 变 量 （，） ， 若，存 在

6、则 对 任 意 实 数则 有 三、数学期望的性质三、数学期望的性质 3.eee又 若与相 互 独 立 ， 则 证证 12 2.(k)ek 12 () ( , )d d .k xk y p x yxy 1 2 ( ,) dd ( ,) dd. kxp x yxy ky p x yxy 12 ( ) d() d.kx pxxky p yy 12 .k ek e 11 (). nn iiii ii eaa e 推 广 ： 说明说明 连续型随机变量连续型随机变量 的数学期望与离的数学期望与离 散型随机变量数学期望的性质类似散型随机变量数学期望的性质类似. 3.( , )d dexyp x yxy (

7、)( )dxpx dxypyy e e 四、小结四、小结 1. ,. ( ). abeaebc e cc 若则存在，且特别 是一个常数，则 121212 2.e k ,k(k +k ) .k ek e ee 设二维连续随机变量（ ， ），若，存在 则对任意实数则有 1. 数学期望是一个实数数学期望是一个实数, 而非变量而非变量,它是一种它是一种加权加权 平均平均, 与一般的平均值不同与一般的平均值不同,它从本质上体现了它从本质上体现了 随机变量随机变量 x 取可能值的取可能值的真正的平均值真正的平均值. 2. 数学期望的性数学期望的性 质质 3.eee又若 与 相互独立，则 3. 常见离散型随

8、机变量的数学期望常见离散型随机变量的数学期望 4.常见连续型随机变量的数学期望常见连续型随机变量的数学期望 根据生命表知根据生命表知 , 某年龄段保险者里某年龄段保险者里 , 一一 年中年中 每个人死亡的概率为每个人死亡的概率为0.002, 现有现有10000个这类人个这类人 参加人寿保险参加人寿保险,若在死亡时家属可从保险公司领若在死亡时家属可从保险公司领 取取 2000 元赔偿金元赔偿金 . 问每人一年须交保险费多少问每人一年须交保险费多少 元元? 例例1 你知道自己该交多少保险费吗你知道自己该交多少保险费吗? 备份题备份题 解解 (75,9),n因为 ,)( )( 2 2 3 75 23 1 x exp 知知 ( )dex p xx 故 xex x d 23 12 2 3 )75( ).(75 分分 例例1 某大学二年级学生进行了一次数学统考某大学二年级学生进行了一次数学统考,设其设其 成绩成绩 x 服从服从 n(75, 9) 的正态分布的正态分布,试求学生成绩的试求学生成绩的 期望值期望值. . ., 0 , 30, 9 )( , 0 , 10,2 )( , )()( 2 的均值的均值试求电压试求电压 其它其它 其它其它 其概率密度分别为其概率密度分别为相互独立的