等差数列等比数列常见结论

1、如文档对您有帮助，欢迎下载支持，谢谢! 等差数列等比数列常见结论 一、等差数列常见结论 1，判断给定的数列an是等差数列的方法 （1） 定义法：ani-an=d是常数（n N*）二 数列是等差数列； （2） 通项公式法： kn b（ k, b是常数）数列%是等差数列； （3）前n项和法：数列an的前n项和 Sn二An2n（A,B是常数，A2 2=0）二数列%是等差数列； （4） 等差中项法：an an.2am（nN*） 数列是等差数列； 2，等差数列的通项公式的推广和公差的公式： an =am （n -m）d（n,m N*）= d = an 一am （n,m：二 N*,n = m）； n m

2、3，若A是a与b的等差中项 2A二a，b 4，若数列an ， bn都是等差数列且项数相同，则 k nb , a b na Jb pn都（是等差数列； 5，等差数列an中，若项数成等差数列，则对应的项也成等差数列； 6，等差数列an中，隔相同的项抽出一项所得到的数列仍为等差数列； 7，若数列an是等差数列，且项数m,n, p, q（m, n, p,q N*）满足m n = p q， 贝U am a ap aq，反之也成立；当p =q时，am a 2ap，即ap是am和a. 的等差中项； 8，若数列an是等差数列的充要条件是前n项和公式若四个 数成等差数列，则通常可设这四个数分别为x-3d,x-d

3、,x+d,x + 3d ； 13，等差数列an的前n项和为Sn，且Sm,S2m,S3m,S4m分别为数列 6的 前m项,2m项,3m项,4m项，的和，贝U Sm, % - Sm, % - S2m,成等 差数列（等差数列的片段和性质）； 14，等差数列an中，若项数n为奇数，设奇数项的和和偶数项的和分别为 S奇, S偶,则S奇二口 ；若项数n为偶数, 気 nT 15, 在等差数列an中，若公差d 0，则等差数列an为递增数列；若公差d : 0,则等差数列an为递减数列；若公差d =0 ,则等差数列an为常 数列； 16， 有关等差数列an的前n项和为Sn的最值问题： （1）何时存在最大值和最小值

4、 若印0,d : 0，则前n项和为Sn存在最大值 若6 ：0,d0，则前n项和为Sn存在最小值 （2）如何求最值 方法一：（任何数列都通用）通过 也解出n可求前n项和为Sn的 Un卅兰0 最大值；通过a 0解出n可求前n项和为Sn的最小值； 9n+ 0 方法二：利用等差数列前n项和Sn的表达式为关于n的二次函数且常数 项为0 （若为一次函数，数列为常数列，则前 n项和Sn不存在最值）, 利用二次函数求最值的方法进行求解；有以下三种可能： 若对称轴n正好取得正整数，则此时n就取对称轴；若对称轴不是正整 数，而是靠近对称轴的相邻的两个整数的中点值，则 n取这两个靠近对 称轴的相邻的两个整数；若对称

5、轴即不是正整数，又不是靠近对称轴的 相邻的两个整数的中点值，则 n就取靠近对称轴的那个正整数； 利用等差数列的相关性质求解 16,用方程思想处理等差数列中求相关参数问题，对于 an,n,Sn,a!,d这五个量， 知任意三个可以求出其它的两个，即“知三求 等比数列常见结论 1, 对等比数列定义的理解 （1）是从第二项开始，每一项与前一项的比 （2）每一项与前一项的比试同一个常数，且这个常数不为 0 （3）等比数列中任何一项都不为0 (4) 符号语言的描述：若数列 an中满足 an =q （不为0的常数），贝擞 列an为等比数列; 2, 当且仅当两个数a和b同号是才存在等比中项，且等比中项为- .

6、Ob 3, 若a,G,b成等比数列，则G中项法:anan2=an1=数列 a*为等比数列； 前n项和法：数列an的前n项和Sn= A-Anq （ A是常数， A=0,q=0,q=1 ）=数列a.为等比数列； 5,等比数列通项公式的推广：若an为等比数列，贝U an=amqn（n,m，N*） 6，若数列an是等比数列，且项数m, n, p,q（m, n, p,q N*）满足m n = p q，则 aman乞凤,反之也成立；当P=q时，aman =ap2,即ap是am和a.的等比中项； 二ab 4，判断给定的数列an是等比数列的方法 （1）定义法： 也二q （不为0的常数）二数列an为等比数列；

7、an 7, 等比数列an中，若项数成等差数列，则对应的项也等比数列； 8, 等比数列an中，隔相同的项抽出一项所得到的数列仍为等比数列； 9，若数列an，bn都是等比数列且项数相同，则kan（ k = 0）,anl_bn, a；勺 bn 都是等比数列； 10，若等比数列an的公比q为参数，贝U在求前n项和Sn时应分q=1和q=1两 工 n aq =1） 种情况讨论，即SnTadl-q） a- -ana；当q1时 一=（q 鼻 1） 、1-q1-q Sn 二A（1-qn）（AjA=0,q=0,q） 1-q 11，若三个数成等比数列，通常可设这三个数分别为-,x, xq ； q 12，（等比数列的

8、片段和性质）公比不为 -1的等比数列an前n项和为Sn，则 Sn,S2n -Sn,S3n -翁，成等比数列； 13，用方程思想处理等比数列相关参数问题，对于 an, n,Sn,a1,q这五个量，知任 意三个可以求出其它的两个，即“知三求二”； 三、等差与等比数列 1, 若正项数列an为等比数列，则数列log a%为等差数列； a 2, 若数列an为等差数列，则数列b n为等比数列； 3, 任意两数a,b都存在等差中项为 心，但不一定都存在等比中项，当且仅当 2 a, b同号时才存在等比中项为二i ab ； 4, 任意常数列都是等差数列，但不一定都是等比数列，当且仅当非零的常数列 即是等差数列又

9、是等比数列； 四、例题分析 1 , （10年全国U理科4）如果等差数 列订鳥中，83*4 75=12，那么 a1 a2 a7 =（）A, 14 B , 21 C , 28 D , 35 【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质. 【解析】a3 a4 a5 = 3a4 = 12, a4 = 4, q a2 IH a7 二-77 血=7a4 = 28 2 【答案】C 2, （09年宁夏海南理科16）等差数列an前n项和为 如文档对您有帮助，欢迎下载支持，谢谢! （U）求d的取值范围。 31, （2010北京文16）（本小题共13分）已知aj为等差数列，且-6 ,0 （I）求 玄？的通项公

10、式；（U）若等比数列bn满足d - -8 , b a1 a2 a3, 求bn的前n项和公式Sn 32, （2011年高考福建卷理科16）（本小题满分13分）已知等比数列an的公比 13 q=3，前3项和S3= （I）求数列an的通项公式； 3 HT （II）若函数 f（x）二 Asi n（ 2x ）（A 0,0 ： -： p ：二）在 x处取得最大值, 6 【31】 【32】 且最大值为a 求函数f （x）的解析式。003033333 3 【参考答案】【1】A【2】B【3】C【4】B【5】C【6】C【7】A【8】C【9】 B【10】B 【11】B【12】B 【13】D【14】C【15】D【16】B【17】B 【18】 B【19】9【20】15【21】 （t 1）2（t是奇数） （t疋可数）19 190【22】f（t）二 2 4【23】 是偶数）41 .4 【24】 11 32【25】1【26】1【27】 23 7【28】当n =9时前n项和&取最大值