专题7.11：椭圆的极坐标方程相关问题的研究与拓展

1、专题7. 11:椭圆的极坐标方程相关问题的研究与拓展 【探究拓展】 2 2 探究1：若以Fi为极点，以Fix作为极轴，设P（R）为椭圆 笃爲=1上的任意一点，请利用椭圆的 a b 第二定义推导以左焦点为极点的椭圆的极坐标方程 变式1：:请利用椭圆的第二定义推导以右焦点为极点的椭圆的极坐标方程; 变式2:若过右焦点的直线 I交椭圆于P,Q两点，若设 P点的极角为二，写出pf2和qf2 ； 探究2 :在平面直角坐标系 xOy中，椭圆C : 2 b2 * 1 -1 a b 0的右焦点为F 4m,0 （m 0，m为常数），离心率等于0.8,过焦点F、倾斜角为二的直线I交椭圆C于M、 N两点.（1）求椭

2、圆 C的标准方程; (2)若 v -90 时, ! 1 MF NF （3）试问 的值是否与 MF NF 解：（1）t c =4m，椭圆离心率 椭圆C的标准方程为 2 25m c 4. e, a - 5m . b =3m . a 5 2 J =1 . 9m O 二的大小无关，并证明你的结论. T当v -90时，直线 MN丄x轴，此时FM 9m 二FN = 5 1 1 10 10 MF NF 9m MF NF 9 9m 解得 MF 证明如下: 法一：设点 N到右准线的距离分别为 d2. MF NF 4 d15 丄.丄 MF NF =5(丄丄). 4 d1d2 又由图可知, MF cos d 2 a

3、9m c 二 c4 4 二9m 血 14 4二八 d1( cos t 1) 即(cos v 1). 5 4 d1 9m 5 14 444 同理，cos(二-” 1( COS ) 1) d29m 59m 5 114444.8 (cosv 1)(cost 1)= d1 d2 9m 59m 9m 丄.丄 MF NF 5 4 9m 9m 8 10 显然该值与与二的大小无关. 法二：当直线 MN的斜率不存在时, 由(2)知, 1 当直线MN的斜率存在时，设直线 MN的方程为 y =k(x _4m)，代入椭圆方程2 25m 2 -厶=1，得 9m 2223242 (25k9)m x -200m k x 2

4、5m (16k -9)=0 . 设点 M(Xi,yJ、N(x2,y2)， 2 200mk 0恒成立，X1 X2 25k +9 Xi 2 2 5m (16k -9) X2 : 5k 9 MF 25m X1 4 4 5 NF 25m X2 4 4 5 4 MF =5mx1, NF =5m - 5 4 X2 . 5 11分 丄丄 MF NF 二 1 4 4 5 mX1 5mx? 5 5 4 10m(x1 x2) 5 2 90 k 9010 2 討如 X2) 25m2 81mk 1m 9m 显然该值与与 二的大小无关. (优化方法：借助椭圆的第二定义，应用平面几何的相关性质解决) 本题结论可进一步推广

5、: 2 2 X y (1)若MN是经过椭圆 2 =1 a b 0焦点的一条弦，其中M,N分别是直线与椭圆的两个焦点, b 则 MF (2)若 MN是经过双曲线 2 X 2 a -y2 =1焦点的一条弦，其中 M ,N分别是直线与双曲线的两个焦点，则 b 丄 (3)若MN是经过抛物线 MF NF = 2px ( p 0 )焦点的一条弦，其中 M,N分别是直线与抛物线的两个焦 112 点，则一 一定值-； MF NFp 2 2 探究3:如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆 冷 =1(a .b .0) a b 的左、右焦点分别为Fi(-c,0), F2(c,0).已知(1,e)和 3都在椭圆上，其中

6、e为椭圆的离心率. (2)设 A, B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线 AF1 与直线 BF2平行，AF2与BFi交于点P. y A x O (1)求椭圆的离心率; (i )若 AFi (ii)求证: -BF2 = ，求直线AF1的斜率; PF1 PF2是定值. x2 v2 变式：椭圆1的右焦点为F , R,P2I(,P24为24个依逆时针顺序排列在椭圆上的点，其中R是 94 椭圆的右顶点，并且N RFP2 =NP2FP3=NP3FP4 =川=NP24FR .若这24个点到右准线的距离的倒数和 为S，则S2的值为 一 180 拓展1：某人欲设计一个如图所示的“蝴蝶形图案(阴影区域)”，其中

7、AC, BD是过抛物线焦点 F且互 相垂直的两条弦，该抛物线的对称轴为EF ,通径长为4.记.EFA - ：, :-为锐角.(通径：经过抛物线 焦点且垂直于对称轴的弦) (1)用:-表示AF的长; (2)试建立“蝴蝶形图案”的面积 S关于的 函数关系式，并设计:-的大小，使 “蝴蝶形图案” 的面积最小. A 解：(1)由抛物线的定义知，AF =AF cosh -2，解得 AF 2 1 -cos: (2)据(1)同理可得bf 1 cosi n 亠展 I2 1 sin 二 CF = 1 -COS(冗中。)1 +COSG DF 一os$,-s- 所以“蝴蝶形图案”的面积 1 -cos: 1 -sin

8、 : 即 s 4 1 - sin t cos t sin :- cos : ，一。寸. 令t sin、zcos/: ，则S =4 t2 t ,t三Z亠I，所以当t =2，即=寸时，S的最小值为8. 答：当=上时，可使“蝴蝶形图案”的面积最小. 4 x = 2 cos 拓展2:已知曲线 G的参数方程是丿“ (0为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建 y=3si n 立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程是 ? = 2.正方形ABCD勺顶点都在C2上，且A B C D以逆时针次 序排列，点A的极坐标为i2,. I 3丿 (1) 求点 A B、C、D的直角坐标； 2 2 2 2 (2) 设P为

9、曲线G上任意一点，求 PA + PB + PC + PD 的取值范围. 拓展3 :已知椭圆两个焦点 F1 ( -1,0), F2 (1,0)，且椭圆与直线y = x - 、3相切. (1) 求椭圆的方程； (2) 过F1作两条互相垂直的直线 h和J，与椭圆分别交于 P,Q及M ,N两点，求四边形 PMQN面积的 最大值与最小值可进一步探究：结论能否作进一步推广？结论如何？ 推广后的结论： 222224 2e p2 c8e p8a b Smax -2 _ 2b ； Smin24 f 2 2、2 1 -e4 4e +e (a +b ) 思考1 ：已知点P(x, y)是坐标平面内的一点，且满足到点(1,0)的距离与其到定直线 x = 2 的距离之比为 2，求点p的运动轨迹方程？ 2 此时应用求轨迹方程的一般步骤求解，否则不给分，此处未告知椭圆的中心是否在坐标原点 思考2 :可模仿某年全国高考试题命题：求证四边形PMQN面积的最大值只与椭圆的短半轴长 b有关拓展4:如图，中心在原点 0的椭圆的右焦点为 F (3, 0),右准线I的方程为：x = 12 (1)求椭圆的方程; 2 2 x y d 1