高等数学：高斯公式 通量与散度

1、第六节第六节 Green 公式公式Gauss 公式公式 推广推广 一、高斯公式一、高斯公式 *二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 三、通量与散度三、通量与散度 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 高斯公式高斯公式 通量与散度通量与散度 第十章第十章 一、高斯一、高斯 ( Gauss ) 公式公式 定理定理1. 设空间闭区域设空间闭区域 由分片光滑的闭曲由分片光滑的闭曲 上上有连续的一阶偏导数有连续的一阶偏导数 , zyx z R y Q x P ddd yxRxzQzyPdddddd zyx z R ddd yxRdd 下面先证下面

2、先证: 函数函数 P, Q, R 在在面面 所围成所围成, 的方向取外侧的方向取外侧, 则有则有 (Gauss 公式公式) 高斯高斯 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2 3 1 z y x yx D ) ,(yxR yxyxRdd) ,( , ),(: 11 yxzz 证明证明: 设设 yx Dyxyxzyxzyxz ),(, ),(),(),(: 21 , 321 z z R yxz yxz d ),( ),( 2 1 yx D ),( 2 yxz ),( 1 yxz yxRdd yx D 2 zyx z R ddd yxdd 1 3 yxRdd 为为XY型区域型区域 ,

3、),(: 22 yxzz 则则 yxyxRdd) ,( yx D yx D ),( 2 yxzyxyxRdd) ,(),( 1 yxz 定理定理1 1 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 所以所以zyx z R ddd yxRdd 若若 不是不是 XY型区域型区域 , 则可引进辅助面则可引进辅助面 将其分割成若干个将其分割成若干个 XY型区域型区域, 故上式仍成立故上式仍成立 .正反两侧面积分正负抵消正反两侧面积分正负抵消, 在辅助面在辅助面 类似可证类似可证 zyx y Q ddd yxRxzQzyPdddddd zyx z R y Q x P ddd xzQdd zyx x

4、P ddd zyPdd 三式相加三式相加, 即得所证即得所证 Gauss 公式：公式： 定理定理1 1 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 使用使用Guass公式时应注意公式时应注意: 1.1.RQP,是对什么变量求偏导数是对什么变量求偏导数; ; 2 2. .是是否否满满足足高高斯斯公公式式的的条条件件; ; 3.3.是取闭曲面的外侧是取闭曲面的外侧. . GaussGauss公式的实质公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界表达了空间闭区域上的三重积分与其边界 曲面上的曲面积分之间的关系曲面上的曲面积分之间的关系. . .)coscoscos( )( dSRQP dv

5、 z R y Q x P 由两类曲面积分之间的关系知高斯公式的另一由两类曲面积分之间的关系知高斯公式的另一 种形式：种形式： 例例1. 用用Gauss 公式计算公式计算 zyxzyyxyxdd)(dd)( 其中其中 为柱面为柱面1 22 yx 闭域闭域 的整个边界曲面的外侧的整个边界曲面的外侧. 解解: 这里这里 利用利用Gauss 公式公式, 得得 原式原式 = zyxzyddd)( zrrzrddd)sin( (用柱坐标用柱坐标) zzrrrd)sin(dd 3 0 1 0 2 0 2 9 x 3 o z 1 y ,)(xzyP , 0 QyxR 及平面及平面 z = 0 , z = 3

6、所围空间所围空间 思考思考: 若若 改为内侧改为内侧, 结果有何变化结果有何变化? 若若 为圆柱侧面为圆柱侧面(取外侧取外侧) , 如何计算如何计算? 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例2. 利用利用Gauss 公式计算积分公式计算积分 SzyxId)coscoscos( 222 其中其中 为锥面为锥面 222 zyx h o z y x解解: 作辅助面作辅助面 ,: 1 hz ,:),( 222 hyxDyx yx 取上侧取上侧 1 (I 1 Szyxd)coscoscos)( 222 0, 2 1 上上在在 介于介于 z = 0 及及 z = h 之间部分的下

7、侧之间部分的下侧. 1 , 记记 h 1 所围区域为所围区域为 , , 则则 zyxzyxddd)(2yxh yx D dd 2 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 zyxzyxIddd)(2 利用重心公式利用重心公式, 注意注意 0 yx zyxzddd2 4 h yxh yx D dd 2 4 2 1 h hz 0 2 2 z zd 4 h h o z y x h 1 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例3. .dddddd)( 2223 yxzxxzyzxzyxzxI 设设 为曲面为曲面21,2 22 zyxz取上侧取上侧, 求求 解解

8、: 作取下侧的辅助面作取下侧的辅助面 1: 1 z 1:),( 22 yxDyx yx I 11 zyxddd yxxdd)( 2 xy D )1( 2 0 d 1 0dr 2 2 1 d r z 2 0 2 dcos 1 0 3 drr 12 13 1 z o x y 2 1 1 用柱坐标用柱坐标 用极坐标用极坐标 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 coscoscos z v y v x v ),(, ),(yxvyxu 在闭区域在闭区域 上具有一阶和上具有一阶和 二阶连续偏导数二阶连续偏导数, 证明格林证明格林( Green )第一公式第一公式 Sd 例例4. 设

9、函数设函数 uzyxddd u zyxddd x u y u y v z u z v 其中其中 是整个是整个 边界面的外侧边界面的外侧. uP x v uQ y v uR z v 分析分析: zyx z R y Q x P ddd yxRxzQzyPdddddd x v 高斯公式高斯公式 2 2 2 2 2 2 z v y v x v 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 证证: :令令uP , x v uQ , y v uR , z v 由高斯公式得由高斯公式得 2 2 2 2 2 2 z v y v x v u zyxddd coscoscos z v y v x v

10、 uSd 移项即得所证公式移项即得所证公式.(见见 P171) x u y u y v z u z v x v u yx z v xz y v zy x v dddddd 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 *二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 1. 连通区域的类型连通区域的类型 设有空间区域设有空间区域 G , 若若 G 内任一闭曲面所围成的区域全属于内任一闭曲面所围成的区域全属于 G, 则称则称 G 为为空间二维单连通域空间二维单连通域 ; 若若 G 内任一闭曲线总可以张一片全属于内任一闭曲线总可以张一片全属于 G 的曲面的曲面

11、, 则称则称 G 为为空间一维单连通域空间一维单连通域 . 例如例如, 球面所围区域球面所围区域 环面所围区域环面所围区域 立方体中挖去一个小球所成的区域立方体中挖去一个小球所成的区域 不是二维单连通区不是二维单连通区 域域 . 既是一维也是二维单连通区域既是一维也是二维单连通区域 ; 是二维但不是一维单连通区域是二维但不是一维单连通区域 ; 是一维但是一维但 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2. 闭曲面积分为零的充要条件闭曲面积分为零的充要条件 定理定理2. ),(),(),(zyxRzyxQzyxP设设在空间二维单在空间二维单 连通域连通域G内具有连续一阶偏导数

12、内具有连续一阶偏导数, 为为G内任一闭曲面内任一闭曲面, 则则 0dddddd yxRxzQzyP Gzyx z R y Q x P ),(,0 证证: “充分性充分性”. 根据高斯公式可知根据高斯公式可知是是的充分条件的充分条件. 的充要条件是的充要条件是: “必要性必要性”. 用反证法用反证法. 使使假设存在假设存在, 0 GM 0 0 M z R y Q x P 已知已知成立成立, 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 因因P, Q, R 在在G内具有连续一阶偏导数内具有连续一阶偏导数 ,则存在邻域则存在邻域 ,)( 0 GM ,)( 0 上上使在使在M 0 z R

13、 y Q x P 的边界为的边界为设设)( 0 M则由高斯公式得则由高斯公式得 yxRxzQzyPdddddd zyx z R y Q x P M ddd )( 0 0 与与矛盾矛盾, 故假设不真故假设不真. 因此条件因此条件是必要的是必要的. 取外侧取外侧, 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 三、通量与散度三、通量与散度 引例引例. 设稳定流动的不可压缩流体的密度为设稳定流动的不可压缩流体的密度为1, 速度场为速度场为 kzyxRjzyxQizyxPzyxv),(),(),(),( 理意义可知理意义可知, 设设 为场中任一有向曲面为场中任一有向曲面, yxRxzQz

14、yPdddddd 单位时间通过曲面单位时间通过曲面 的流量为的流量为 则由对坐标的曲面积分的物则由对坐标的曲面积分的物 由两类曲面积分的关系由两类曲面积分的关系, 流量还可表示为流量还可表示为 SRQPdcoscoscos Snvd 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 若若 为方为方向向外的闭曲面向向外的闭曲面, yxRxzQzyPdddddd 当当 0 时时, 说明流说明流入入 的流体质量少于的流体质量少于 当当 0 时时, 说明流说明流入入 的流体质量多于流的流体质量多于流出出的的, 则单位时间通过则单位时间通过 的流量为的流量为 当当 = 0 时时, 说明流入与流

15、出说明流入与流出 的流体质量相等的流体质量相等 . n 流流出出的的, 表明表明 内有泉内有泉; 表明表明 内有洞内有洞 ; 根据高斯公式根据高斯公式, 流量也可表为流量也可表为 zyx z R y Q x P ddd n 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 方向向外的任一闭曲面方向向外的任一闭曲面 , 记记 所围域为所围域为 , 设设 是是包含点包含点 M 且且为了揭示场内任意点为了揭示场内任意点M 处的特性处的特性, M 在在式两边同除以式两边同除以 的体积的体积 V, 并令并令 以以 任意方式缩小至点任意方式缩小至点 M 则有则有),(M 记作记作 VM limz

16、yx z R y Q x P VM ddd 1 lim ),( lim z R y Q x P M M z R y Q x P 此式反应了流速场在点此式反应了流速场在点M 的特点的特点: 其值为正其值为正,负或负或 0, 分别反映在该点有流体涌出分别反映在该点有流体涌出, 吸入吸入, 或没有任何变化或没有任何变化. ),( 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定义定义: 设有向量场设有向量场 kzyxRjzyxQizyxPzyxA),(),(),(),( 其中其中P, Q, R 具有连续一阶偏导数具有连续一阶偏导数, 是是场内的一片有向场内的一片有向 则称则称曲面曲面,

17、 其单位法向量其单位法向量 n, SnAd 为向量场为向量场 A 通过通过 有向曲面有向曲面 的的通量通量(流量流量) . 在场中点在场中点 M(x, y, z) 处处 称为向量场称为向量场 A 在点在点 M 的的散度散度. 记作记作 Adiv z R y Q x P 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 0div A表明该点处有正源表明该点处有正源, 0div A表明该点处有负源表明该点处有负源, 0div A表明该点处无源表明该点处无源, 散度绝对值的大小反映了源的强度散度绝对值的大小反映了源的强度. 0div A若向量场若向量场 A 处处有处处有 , 则称则称 A

18、为为无源场无源场. 例如例如, 匀速场匀速场 ),(),(为常数为常数其中其中 zyxzyx vvvvvvv 0div v 故它是无源场故它是无源场. P16 P16 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 说明说明: 由引例可知由引例可知, 散度是通量对体积的变化率散度是通量对体积的变化率, 且且 * *例例5.5.置于原点置于原点, 电量为电量为 q 的点电荷产生的场强为的点电荷产生的场强为 r r q E 3 .divE求求 解解: 3 r y y 3 r z z 3 5 22 r xr q 5 22 3 r yr 5 22 3 r zr 0 3 r x x ),( 3 zyx

19、 r q )0( r 计算结果与仅原点有点电荷的事实相符计算结果与仅原点有点电荷的事实相符. )0( r 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 qEdiv 内容小结内容小结 1. 高斯公式及其应用高斯公式及其应用 公式公式: yxRxzQzyPdddddd zyx z R y Q x P ddd 应用应用: (1) 计算曲面积分计算曲面积分 (非闭曲面时注意添加辅助面的技巧非闭曲面时注意添加辅助面的技巧) (2) 推出闭曲面积分为零的充要条件推出闭曲面积分为零的充要条件: 0dddddd yxRxzQzyP 0 z R y Q x P 机动机动 目录目录 上页上页 下页下

20、页 返回返回 结束结束 2. 通量与散度通量与散度 设向量场设向量场 P, Q, R, 在域在域G内有一阶内有一阶 连续连续 偏导数偏导数, 则则 向量场通过有向曲面向量场通过有向曲面 的通量为的通量为 G 内任意点处的散度为内任意点处的散度为 ),(RQPA SnAd z R y Q x P A div 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 练练 习习 题题 五、设五、设),(,),(zyxvzyxu是两个定义在闭区域是两个定义在闭区域 上的上的 具有二阶连续偏导数的函数具有二阶连续偏导数的函数, , n v n u ,依次表示依次表示 ),(,),(zyxvzyxu沿沿 的外法线方向的方向导的外法线方向的方向导 数数 . . 证证明明: : dS n u v n v udxdydzuvvu)()( 其中其中 是空间闭区域是空间闭区域 的整个边界