专题4.1 解三角形（理）（解析版）2021年高考数学（理）解答题挑战满分专项训练

1、专题4.1 解三角形1（2020全国高考真题（理）中，sin2Asin2Bsin2C=sinBsinC（1）求A；（2）若BC=3，求周长的最大值【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出的形式，进而求得；（2）利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，进而得到结果【解析】（1）由正弦定理可得，（2）由余弦定理得，即（当且仅当时取等号），解得（当且仅当时取等号），周长，周长的最大值为【名师点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关

2、系求得最值2（2019全国高考真题（理）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设（1）求A；（2）若，求sinC【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用正弦定理化简已知边角关系式可得，从而可整理出，根据可求得结果；（2）利用正弦定理可得，利用、两角和差正弦公式可得关于和的方程，结合同角三角函数关系解方程可求得结果【解析】（1）即，由正弦定理可得， ，；（2），由正弦定理得又，整理可得 解得或因为所以，故（2）法二：，由正弦定理得又，整理可得，即 由，所以【名师点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关

3、系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系3（2018全国高考真题（理）在平面四边形中，（1）求；（2）若，求【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据正弦定理可以得到，根据题设条件，求得，结合角的范围，利用同角三角函数关系式，求得；（2）根据题设条件以及第一问的结论可以求得，之后在中，用余弦定理得到所满足的关系，从而求得结果【解析】（1）在中，由正弦定理得由题设知，所以由题设知，所以；（2）由题设及（1）知，在中，由余弦定理得所以【名师点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理、同角三角函数关系式、诱导公式以及余弦定理，在解题的过程中，需要时刻关注题的条件，以及开方时对

4、于正负号的取舍要从题的条件中寻找角的范围所满足的关系，从而正确求得结果4（2018天津高考真题（理）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知（1）求角B的大小；（2）设a=2，c=3，求b和的值【答案】（1）；（2），【分析】（1）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得，则B=（2）在ABC中，由余弦定理可得b=结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得【解析】（1）在ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得因为，可得B=（2）在ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=由，可得因为ac，故因此， 所以， 【名师点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角

5、的关系，或全部化为边的关系题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用解决三角形问题时，注意角的限制范围5（2018北京高考真题（理）在ABC中，a=7，b=8，cosB= （1）求A；（2）求AC边上的高【答案】（1） A= （2） AC边上的高为【分析】（1）先根据平方关系求，再根据正弦定理求，即得；（2）根据三角形面积公式两种表示形式列方程，再利用诱导公式以及两角和正弦公式求，解得边上的高【解析】（1）在ABC中，因为cosB=，所以B（，），所以sinB=由正弦定理得 =，所以sinA=因为B（，），所以A（0，），所以

6、A=（2）在ABC中，因为sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA=如图所示，在ABC中，因为sinC=，所以h=，所以AC边上的高为【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的6（2019全国高考真题（理）的内角的对边分别为，已知（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围【答案】（1） ；（2）【分析】（1）利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据A，B，C均为三角形内角解得（2）根据三角形面积公式，又根据正弦定理和得到关于的函数，由于是锐角三角形，所以利用

7、三个内角都小于来计算的定义域，最后求解的值域【解析】（1）根据题意，由正弦定理得，因为，故，消去得，因为故或者，而根据题意，故不成立，所以，因为，代入得，所以（2）因为是锐角三角形，由（1）知，得到，故，解得又应用正弦定理，由三角形面积公式有：又因，故，故故的取值范围是【名师点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，和正弦定理或者余弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查是锐角三角形这个条件的利用考查的很全面，是一道很好的考题7（2019北京高考真题（理）在ABC中，a=3，bc=2，cosB=（1）求b，c的值；（2）求sin（BC）的值【答案】（1） ；（2） 【分析】（1）由题意列

8、出关于a，b，c的方程组，求解方程组即可确定b，c的值；（2）由题意结合正弦定理和两角和差正余弦公式可得的值【解析】（1）由题意可得，解得（2）由同角三角函数基本关系可得，结合正弦定理可得，很明显角C为锐角，故，故【名师点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角和差正余弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力8（2019江苏高考真题）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c（1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值；（2）若，求的值【答案】（1）；（2）【分析】（1）由题意结合余弦定理得到关于c的方程，解方程可得边长c的值；（2）由题意结合正弦定理和同角三角函数基

9、本关系首先求得的值，然后由诱导公式可得的值【解析】（1）因为，由余弦定理，得，即所以（2）因为，由正弦定理，得，所以从而，即，故因为，所以，从而因此【名师点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力9（2020全国高考真题（文）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）求A；（2）若，证明：ABC是直角三角形【答案】（1）；（2）证明见解析【分析】（1）根据诱导公式和同角三角函数平方关系，可化为，即可解出；（2）根据余弦定理可得，将代入可找到关系，再根据勾股定理或正弦定理即可证出【解析】（1）因为，所以，即，解得，又，所以；（2）因

10、为，所以，即，又， 将代入得，即，而，解得，所以，故，即是直角三角形【名师点睛】本题主要考查诱导公式和平方关系的应用，利用勾股定理或正弦定理，余弦定理判断三角形的形状，属于基础题10（2020全国高考真题（文）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知B=150（1）若a=c，b=2，求的面积；（2）若sinA+sinC=，求C【答案】（1）；（2）【分析】（1）已知角和边，结合关系，由余弦定理建立的方程，求解得出，利用面积公式，即可得出结论；（2）将代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有关角的三角函数值，结合的范围，即可求解【解析】（1）由余弦定理可得，的面积；（2），【名师点

11、睛】本题考查余弦定理、三角恒等变换解三角形，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题11（2020江苏高考真题）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）求的值；（2）在边BC上取一点D，使得，求的值【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用余弦定理求得，利用正弦定理求得 （2）根据的值，求得的值，由（1）求得的值，从而求得的值，进而求得的值【解析】（1）由余弦定理得，所以由正弦定理得（2）由于，所以由于，所以，所以所以由于，所以所以【名师点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，属于中档题12（2020浙江高考真题）在锐角ABC中，角A，B，C的

12、对边分别为a，b，c，且（1）求角B的大小；（2）求cosA+cosB+cosC的取值范围【答案】（1）；（2）【分析】（1）首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定B的大小；（2）结合（1）的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有A的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定A的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得的取值范围【解析】（1）由结合正弦定理可得ABC为锐角三角形，故（2）结合（1）的结论有：由可得，则，即的取值范围是【名师点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求最值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到

13、边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值13（2020天津高考真题）在中，角所对的边分别为已知（1）求角的大小；（2）求的值；（3）求的值【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）直接利用余弦定理运算即可；（2）由（1）及正弦定理即可得到答案；（3）先计算出进一步求出，再利用两角和的正弦公式计算即可【解析】（1）在中，由及余弦定理得，因为，所以；（2）在中，由，及正弦定理，可得；（3）由知角为锐角，由，可得，进而，所以【名师点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学运算能力，是一道容易题14（2020海

14、南高考真题）在，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，_?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【答案】详见解析【分析】解法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a，b的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解解法二：利用诱导公式和两角和的三角函数公式求得的值，得到角的值，然后根据选择的条件进行分析判断和求解【解析】解法一：由可得，不妨设，则：，即选择条件的解析：据此可得，此时选择条件的解析：据此可得，则：，此时：，则：选择条件的解析：可得，与条件矛盾，则问题中的三角形不存在解法二：因为，所以， ，所以，所以，所以，所以，若选，因为，所以，所以c=1；若选，则，；若选，与条件矛盾【名师点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用解决三角形问题时，注意角的限制范围15（2020北京高考真题）在中，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求：（1）a的值：（2）和的面积条件：；条件：注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分【答案】