倍角和半角公式汇总

1、倍角和半角公式田云江基本要求掌握倍、半角公式，并能熟练地正用、逆用和变用 知识要点1、二倍角公式在 Sa +B , Ca +B , Ta +B 中含(X = 0 得到：S2a :sin2 a =2sin a cos aC2 a :2tgdT 2 a :说明：在运用二倍角公式时，要注意不仅限于2a是3 da + B如4 a是2 a的二倍，3 a是：的二倍，a + B是 -a的二倍的形式,还有的二倍等。2 2 2 2cos2 a =cos a -sin a =2cos a -1 = 1-2sin a 由二倍角公式可以推出如下变形公式：(1)降幕公式：sinl d1 -cqs2 Cll-hco2 C

2、Lsin a cos a二- ,Sin 2 a = 二 ,cos 2 a二 -,如需讨论函数性质如求函数的值域、最值、单调区间，周期、画图等，一般利用降幕公式化函数为y=Asin( w x+ ) +B或Acos( w x+少)+B形式，(2)升幕化积公式：a_k22, E 、 一，、一1+cos a =2cos,1-cos a =2sin 如遇开方，用此公式较方便，sinl aK 2 兀(3)cos a 二出,如求 cos - cos 的值，求 cos20 cos40 cos60 的值等用此公式就非常简便。、332、三倍角公式：sin3 a =3sin a -3sin a , cos3 a =

3、4cos a -3cos a3、半角公式:Sjl:sina-=o : cosa-=j :tga对于半角公式，必须明确，“半角”是相对而言，不能认为I才是半角如2 a3aa 5 a是4 a的半角，二a是3a的半角，反之，5a分别是-，-的倍角，因此 二倍角公式与半角公式是互逆的。a对于半角公式中根号前的双重符号，它取决于L所在的象限，若没有给出决定a符号的条件，则在根号前保留正负号；若 a属于某一给定区间，则先求出 1的所a在范围，然后根据-所在范围选用符号。因无“土”号和根式在化简证明中更常用4、万能公式2心sin a =Jcos a =J说明：从左到右，a范围变小右端周期均为2 n5、合一变

4、形(sin xcos asin x+bcosx二sinx+bcosx) +cosxsin )二sin(x+ ) asin x+bcosx=占lL_sinx+Hosx)二 (sinxsin +cosxcos )其中由b sin =店+护b确定或由tg =a及点(a,b)所在象限(即角 所在象限)确定a cos M+护二 cos(x- )其中由asin =阳护b乂於十护cos = Va确定或由tg =山及点(b,a)所在象限(即角 所在象限)确定例题选讲1、已知a是第三象限的角，sin +COS a J ：,求Sni2 a ,cos2 a ,tg2 a的值3K解：. (2k+1) nVaV 2k

5、n + -(k z)4k n +2 nV 2 a V 4k n +3 n(k z)44, .222 _.乂 sin a +COS a =(sin a +COS a ) -2sin2 2a COS a丄 12 l - - sin 22 a J sin 22 a =- si n2 a =（2a在第一象限）（2a在第二象限）（2a在第一象限）（2a在第二象限）2、求 sin10 sin50 sin70。的值解：sin10 sin50 sin70 =cos20 cos40 cos80=*siw：80ft小旳16cos40 cos80= L - - -1 cos80 =；二盯=3、求函数y=cos4x-

6、sin 4x的最小正周期解: y=cos4x-sin 4x=(cos 2x+sin 2x)(cos 2x-sin 2x)=cos2xT=n4、求值旦 旦丄旦 已知 sin - -cos - =- 2 ,450 V 0 V 540 求 tg 的值 已知7cos2 a +5sin2 a =5求tg a的值1+fw6 +cos 91 已知1二二二二求cos 9的值2sin 0 +cos 9 已知- - - - ；J =-5 求 3cos2 9 +4sin2 9 的值_e_ 空解： sin - -cos - =-一 两边平方二1 -2sin - cos -二- 二 sin 450V 9 540cos0

7、 =-9 sin G 3+J5 tg -=. 一二： l； E 二旦又 112.5 135，tg-：旦又 tg 085-3/(3-5)-6 tg 二 由万能公式及已知有l-ra2理 Q7X+5X八=52 2即 7-7tg a +10tg a =5+5tg a即 6tg 2 a -5tg a -1=0丄 tg a 二-；或 1A 点 IS。 SB1 ctg -= 一 = 二：r =. -】二：二=uv 二一二: 3 = -（等比定理）旦 tg - =21-囲二 cos 0 =1 二- 解由万能公式:3（1 烧）4（辿0 ）3cos2 0 +4sin2 0 二 一 +c 阳日 2fg8 +1 又

8、sin63cd昶=fgO-3 二书 tg 0 =23-3fg2e +8fg9 7 3cos2 0 +sin2 0 =100=!2 25、右 tg a =2tg B +1求证cos2 a2+sin B =0证明：T tg cos2 a +sin B =0 a =2tg2B +122 1+tg a =2（1+tg B ）12 2-2cos? Bsec a =2sec B2小2-cos B =2cos av221 -cos B =1-2cos a2- sin B =-cos2 a自我检测的值等于如果函数y二sin w xcos w x的最小正周期是4n ,那么正实数 w ）C、* l的值是（si n2B、-cos2C、u cos2八：cos23、已知sin2 -5cos J二-则角a在第（象限C、3 Jl4、若 - VD、四则f等于A、cos-sin -C、 -cossin 一l+cps4 a起 4 35、化简二丄+二一1得（A、tg2 aB、ctg2 aC、tg aD、ctg6、如果|cos2 571|= -，- V 0 V 3n,则sin -的值（C、n 且 sinxcosx=-X则tg -等于（1十&认*8、化简ml得（）AK AA71 AA、ctg 二B、ctg(一）C、tg 二D、tg(-二)e9、已知 2si