特训“2+1+2”压轴满分练理

1、“2+1+2”压轴满分练（四） 1.已知函数f（x）= x m 1 nln x（m0,0 0, v 0, m e1nv0, m-1 0, 即 m- e- env 0, 0, m- 1 0, m- e- enw 0, 又 m0,0 w nw e, 所以 所以 m-1 0, m- e-env m 0, 0w nw e, 0, (1)或 m- 1 0, m- e-enw 0, m 0, 0w nw e, m, n满足的可行域如图（1）或图（2）中的阴影部分所示，则 n + 2 n m+1m- 1 表示 点（m, n）与点（一1, 2）所在直线的斜率, 当m n满足不等式组 e+ 2 e =+ 1 1

2、+12十， m- e en= 0, n= e, n+ 2 当m n满足不等式组时，mn的最小值在A点处取得根据 2 n= e + e, n= e, 所以最小值为 e+ 2 e2 + e+ 1 ,故选A. 2.已知P为双曲线C： 2 y g b2= 1(a0, b0)右支上的任意一点，经过点 P的直线与 双曲线C的两条渐近线分别相交于 A B两点若点A, B分别位于第一、四象限，O为坐标 1 原点，当AP = 2 PB时， AOB勺面积为2b,则双曲线 C的实轴长为() 32 A. 6 16 B. 9 解析：选 A 设 A(X1, y1), B(X2, y2), P(x, y), 由P = 1B

3、 , 得(x X1, y y1)= 2(X2 x, y2y), 2 1 3x1+3x2, 2 1 y=3y1+ 30, 2 2 b2 =1. 2 1 2 2 1 3x1+3x23y1+3y 所以 2 a 易知点A在直线y= Bx上，点B在直线y = bx 上, 7 aJ a bb 则 y1=a% , y2= ax?, 2122b b 2 _ 3x1+3x23ax1a72. b2 所以 22= 1 , a 即 b1 所以 AOB的面积为 刖OA| OBsin / AOB= |xi + 1x2 2- a2 xi ：X22=a2b2, 333a 3a 化简可得a2= 8x1x2. 由渐近线的对称性可

4、得 sin / AOB= sin 2 / AOx= 2sin / AO)cos / AOx2tan / AOx 222 sin / AOx cos / AOx tan / AO灶 1 2b 2 x1+ ylx Jx2+ y2x sin / AOB a2ab x x 9 2 ab =8ax bvax 1+ 2 b 22ab X2+ _X2 X 22 a b + a 2 2 a 2 a =9a2xx b2+ 8 b2 + a2 1 + b2x 严 a b + a 9 ab= 2b, 8 得a = 16,所以双曲线C的实轴长为 眷 _ . . I 322 3.已知数列an共 16 项，且 a1= 1

5、 ,8= 4.记关于 x 的函数 f n(x) = -x anx + (an-1)x, 3 n N*.若x = an+1(1 b 0) 的左、右焦点分别为 Fi, F2,左顶点为A,离心率 为,点B是椭圆上的动点， ABF面积的最大值为. (1) 求椭圆C的方程； (2) 设经过点Fi的直线I与椭圆C相交于不同的两点 M N线段MN的中垂线为I 若 直线I 与直线I相交于点P,与直线x= 2相交于点Q,求|MN的最小值. 解：(1)由已知得 e= a22, 即卩 a2= 2c2. 2 . 2 2 . / a = b + c , b= c. 设B点的纵坐标为yo( yoM 0), 小11-1 则

6、 SAABF= /a c) ! yo| 心一c)b= , 即( 2b b) b= 2 1,. b= 1, a= 2. 2 x o 椭圆C的方程为-+ y = 1. 由(1)可知F1( 1,0), 由题意知直线l的斜率不为0,故设直线l : x= my- 1, 设 Mx1, y1) , Nx2, y2), Rxp, yp), Q2 , yQ). x2 + 2y2= 2, 联立，得消去x, x= my- 1, 22 得(m+ 2)y 2my- 1 = 0, 此时=8( m +1) 0, 2m1 - y1 + y2 = 2 -, yy2= -2 . y y m+2 八 m+2 由弦长公式，得| MN

7、 = . 1 + m| y1 y2| 又yp= .4ni+ 4m + 8 m + 2 m+1 m+ 2. 屮 + y2= 2 = m m+ 2, - xp= myp 1 = 2 m+ 2, 2m + 6 2 m+ 2 | pq = 1+m| xp 2| = 1 + m |PQ2m + 6农 吊+ 3 型2 -时2时+1 = 2= 2(7m+ 1+i)2 当且仅当 m+ 1 = I，即m=l时等号成立， x/m +1 当m= 1,即直线l的斜率为1时，|MN取得最小值2. 5.已知函数 f(x) = xln x+ ax+ 1, a R. 当x0时，若关于x的不等式f(x) 0恒成立，求a的取值范

8、围; ,.n23 2n+1 2 n 当 n N时，证明：2774v(ln 2)+ “ 2 + “ 0,得 xln x + ax+1 0( x 0), 1一、1 即一aw In x + 恒成立，即一 aw In x + _ min. xx 11 令 F(x) = In x+ -(x 0)，贝U F(x)=- xx 函数F(x)在(0,1)上单调递减，在(1 ,+s)上单调递增, 1 函数F(x) = In x + -的最小值为 F(1) = 1, x -aw 1，即 a 1, a的取值范围是1, +). 证明：-2为数列 1 n+ 1 n+2 的前n项和, n+ 1为数列 1 n n+1 前n项和, 只需证明 1 n+1n+2 In n+ 1 21 n 0，即 In x1x， 令x =也 1,得In也1 nn n 1 n+ 1 = n+ 1 In n+ 1 2 n 2 n+1 1 n+1 n+2 n+ 1 2 n n +1 n+ 1 n ,n n+1, n n+1 n+ 1 n n+沖 1 现证明 2ln x 1), x 1 构造函数 Qx) = x 一 2ln x(x 1), x 2 12 x 2x+ 1 则 G(x) = 1 +二一=2 0, x x x 函数qx)在(1 ,+s)上是增函