集合的含义与表示教学设计

1、集合的含义与表示教学设计 松阳二中 洪丽春 一、教学目标 1、了解集合的含义 (1) 通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系； (2) 知道常用数集及其专用记号； (3) 了解集合中元素的确定性、互异性、无序性； (4) 会用集合语言表示有关数学对象。 2、会用适当的方法表示集合 (1) 能用自然语言、集合语言 (列举法或描述法 )描述不同的具体问题，感受 集合语言的意义和作用； (2) 掌握列举法和描述法的格式； (3) 集合作为一种基本的数学语言， 学习并掌握它的最好方法是使用， 因此， 教学中要多引导学生使用集合语言描述对象，进行自然语言与集合语言间的转 换练习。 3、培养学

2、生抽象概括的能力 通过实例抽象概括集合的共同特征，从而引出集合的概念是本节课的重要 任务之一。因此教学时，不仅要关注集合的基本知识的学习，同时还要关注学 生抽象概括能力的培养。 二、教学重点难点 1、教学重点：集合的含义与表示方法 2、教学难点：集合的表示方法 三、教学方法 自学辅导法 四、教学用具 多媒体投影 五、课堂教学设计 问题情景 设计意图 教师活动 学生活动 (1)在小学和初 中，我们已经接触过 一些集合，你能举出 一些集合的例子吗？ 结合学生已有知 识经验，启发学生思 考，激发学生学习兴 趣 引导学生回忆、 举例，对学生生活进 行评价 回忆，举例，交 流 (2)对于教科书 中的8个

3、例子，都能 组成集合吗？它们的 元素分别是什么？归 纳总结这些例子，你 能说出它们的共同特 征吗?(多媒体投影) 使学生了解不但 数、点可以做集合的 元素，而且图形、物 体、动物等都能做集 合的兀素；这样既为 了解集合的含义做铺 垫，又培养学生概括 能力。 引导学生阅读教 科书上的8个例子并 进行思考、概括 阅读教科书上的 8个例子，尝试概括 8 个例子的共同特征， 并发表白己的意见。 (3)集合的含义 是什么？ 明确集合的含义 提问学生 回答问题 (4)多媒体投影： “集合论的创始人康 托尔称集合为一些确 定的、不同的东西的 总体，人们能意识到 这些东西，并且能判 断一个给定的东西是 否属于

4、这个总体。” 从这段材料中概括出 集合兀素的特征。 让学生了解数学 史，激发学习兴趣， 并培养学生的阅读、 概括和提取信息的能 力；提高学生的理解 能力；进一步加深对 集合含义的理解。 引导学生阅读材 料，并思考、概括并 提炼出有用的信息， 引导学生举反例 阅读材料，思考 并概括出集合元素的 三个特征，并举出不 是集合的反例来。 (5)集合相等的 定义 进一步明确集合 元素的三特征 提问学生 回答问题 (6)兀素与集合 的关系应当如何描 述？ 明确元素与集合 的关系 引导学生阅读教 科书中的相关内容， 并提出类似于“ 1-20 以内的质数组成集合 A,贝y 3与A, 6与A 分别是什么关系 ？

5、” 阅读教科书，思 考问题，发表自己的 看法。 (7)你知道常用 数集的记号吗？ 使学生回忆数集 的扩充过程，认识常 用数集的记号。 引导学生回忆数 集的扩充过程，阅读 教科书第3页表格中 的内容。 回忆数集扩充过 程阅读教科书，认识 常用数集记号，完成 教科书第6页练习第 l题，习题1 . 1A组第 1题 (8)你能用列举 法表示例1中的集合 吗？ 使学生用列举法 表示集合，并发现集 合元素的无序性 先让学生自己尝 试用列举法表示集 合，再引导学生归纳 列举法的特点。 阅读教科书，尝 试用列举法表示集 合，并思考列举法的 特点，完成习题I.IA 组第3题 (9) 你能从教科 书第4页的“思考

6、” 中想到了什么 ？ 使学生体会用描 述法表示集合的必要 性，学会用描述法表 示集合。 提出教科书中的 思考题，引导学生思 考、讨论用列举法表 示相应集合的困难， 激发学生学习描述法 的积极性；引导学生 阅读教科书中描述法 的相关内容，归纳描 述法的特点。 思考不能用列举 法表示相关集合的理 由，与同学讨论交流； 阅读教科书，思考描 述法的特点，与同学 们交流阅读体会，说 出自己对描述法的特 点的认识，完成例 2 讨论应当如何根据问 题选择适当的集合表 示方法，讨论两种表 示法各自特点，适用 对象等。 (10)请你说出下 列四个集合的区别与 联系 A=xN|x5 B=xZ|x5 C=xQ|x5

7、 D=xR|x5 使学生进一步理 解描述法的格式。 引导学生思考四 个集合的区别，并用 自然语言表示各个集 合。 思考问题，与同 学讨论交流，说出四 个集合的区别，并用 自然语言表示各个集 合。 (11)请你说出下 列四个集合的区别与联 系 2 A=y|y=x 2 B=x|y=x 2 C=(x, y)|y=x 2 D=y=x 让学生进一步理 解掌握描述法的格 式，并学会区别点集 与数集。 引导学生思考四 个集合的含义，启发 学生将四个集合分别 化简，然后比较其区 别，并让学生总结区 别数集与点集的方 法。 思考问题，与同 学讨论交流，说出每 个集合的含义，并区 分四个集合的异同， 总结区别数集

8、与点集 的方法。 (12)通过学习， 你现在能解决教科 书第6页练习与习 题1.1中的哪些问 题? 反馈学生掌握 集合概念的情况，巩 固所学知识。 先让学生做第 6页练习第2题，习 题1 . 1A组第2题， 然后让学生讲述解 情况，最后作出评价 并给出正确答案。 独立思考，解决 问题 (13) 小结：为什 么要学习集合？选择 集合表示法时应注 意些什么？ 归纳整理本节 课所学知识。 引导学生思考、 概括。 思考、概括，表 述概括结果 六、典例精讲 (一)新课标理念题 1、科学探究思维专题 科学探究思维导析：本节中探索性题目主要体现在探究元素与集合的关系, 要紧紧抓住所给元素的特征，深入分析，大

9、胆推理。 【例 1 】集合 A=x | x=3n+ 1 , n Z ; B=(x | x=3n+2, n Z); C=x | x=6n+3, n Z: (1) 若 c C,问是否存在 a A, b B, 使 c= a + b . (2) 对于任意a A , b B，是否一定有(a + b) C?并证明你的结论 解： 令 c=6m+3，贝U c=3m+1+3m+2(m Z) 令 a=3m+1， b=3m+2，贝U c=a + b 故若c C, 一定有 a A，b B使c=a + b成立 (2)不一定有(a + b) A ,证明如下：设 a=3m+1 , b=3n+2 , m, n Z ,则 a+

10、b=3 (m + n)+3，因此当 m + n=2k(k Z)时，a + b=(6k+3) C,当 m + n=2k+1(k Z) 时，a + b=(6k+6) C 点拨：(1)中由c C可写出C的表达形式，再根据 A , B中元素的特征， 寻找a, b； (2)中可表a, b,然后寻找a + b,在探索过程中，要抓住各元素的特 征，利用构造法去寻找，同时注意分类讨论的思想。 2、开放性思维专题 开放性思维导析：本节中的开放性问题主要考查同学们对集合三个特性的 理解程度，尤其注意集合中元素的互异性，要大胆想象，同时要注意培养自己 的发散思维能力。 【例2】x , x2 x , x3 3x能表示

11、一个集合吗？如果能表示一个集合，则 4 说明理由；如果不能表示，则需要添加什么条件才能使它表示一个集合 解：它不一定能表示一个集合，因为x， x2 x， x33x之间有可能相等， 因而不一定满足集合元素的互异性。 由 x=x2 x 得 x=0 或 x=2 ;由 x=x33x 得 x=0 或 x= 2 由 x2 x=x33x 得 x=0 或 x=2 或 x= 1 故只需添加条件 x工0且x工一1且x工2且x工一2，则x，x2x，x3 3x 就能表示一个集合。 点拨：本题利用集合元素的特征来解决，由于集合中元素必须是互异的， 因此若表示一个集合，则x的取值不能使集合中三个元素有相等的情况，因此 必

12、须添加一定的条件，才能使它表示一个集合。 （二）综合应用创新题 创新思维导析： 本节创新应用主要是结合集合与元素的关系，集合中元素 的特性设置题目，通过创新题目可培养思维的灵活、严谨以及准确应用知识的 能力。 【例3】（巧题妙解）数集0,1，x2x中的x不能取哪些数值？ jVxOx式0且心 解：因为数集中的元素是互异的，所以2,解得 ,5 .， x x1X式且X式 12 2 故x不能取的值是 点拨：本题解法巧妙地利用了集合元素的互异性，列出对元素的限制，从 而求出满足条件的 x 1 【例4】（新信息题）数集A满足，若a A ； aM 1，则 A . 1 -a （1）若2 A，A中仅含有三个元素

13、，求A; （2）求证：集合 A不可能是单元素（只有一个元素）集； （3）求证：集合A中至少有三个元素 1 11 1 （1）解：由 2 A，贝U =1 A，于是- A，一- =2 A，以 1-21-（-1） 2仁丄 后重复出现，所以A=2， 1, - 2 1 1 证明：若A是单元素集合,由a A则1- A可得a=丄即 1 -a1-a a2 a+1=0，此方程无实数解。 所以a 丄，故a与丄都是集合 A中的元素，A不是单元素集 1-a1-a （3）证明: 1 由已知：a A，得 口 A， 所以 1 1 _ a 1 A，现只需证 -a 匚三个数互不相等。 若 a=，则 1 -a 若 1=1a = ?

14、 1 -a-a 若 a=a，则 a a2 a+仁0方程无实数解，所以aM - 0 1 -a 则a2 a+仁0方程无实数解，所以 a2 a+仁0方程无实数解，所以 1 - a -a aM 1a。故集合A中至 -a 少有三个元素。 点拨：解答本题要充分理解题中所给元素之间的关系；并从三种不同设问 求证中归纳总结出题目所呈现的循环往复的规律，从而看到结论的相似点。 （三）高考题 高教思维导析：本节内容由于是高中数学的开端，高考中很少单独命题， 主要与后面集合运算结合起来，重点考查集合与元素之间的关系，难度不大。 【例51（2005,湖北，5分）设P,Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q=（a+b|a

15、 P，b Q），若 P=0，2，5，Q=1，2，6，则 P+Q 中元素的个数是（） A、9个B、8个 C、7个 D、6个 解：B 点拨“利用穷举法，因为0+1=1，0+2=2，0+6=6，2+1=3，2+2=4， 2+6=8，5+1=6，5+2=7，5+6=11，所以 P+Q=1，2，3，4，6，7，8，11 七、课堂教学总结 1、集合与元素的关系、表示方法与特性 序号 项目 必记知识 必记内容 巧记方法 1 基本概念 集合与元素的关系 设A为集合，x为兀素，若兀素 x 是集合A的元素，则 x A，否则 x老A “属于”，“不属 于”二者具有其一 2 基本概念 列举法 把集合中的兀素一一列举出

16、来， 与在大括号内表示集合的方法 a，b，c 3 基本概念 描述法 用集合中所含兀素的共冋特征来 表示集合的方法称为描述法 A=x l|P(x) 4 基本性质 集合中元素的特性 确定性：互异性；无序性 一常二异三无序 2、常用数集 (1) N :自然数集(含0)即非负整数集 (2) N*或N + ;正整数集(不含0) (3) Z :整数集 Q:有理数集 R :实数集 二、教材中的“ ？ ”解答 1、问题：教材中的例 和例(8)，也都能组成集合吗？它们的元素分别是什 么？归纳总结这些例子，你能说出它们的共同特征吗？ 解答：例，例(8)也都能组成集合，它们的元素分别是：金星汽车厂2003 年生产的

17、每辆汽车；新华中学2004年9月入学的高一每位学生，它们的共同特 征是把指定对象的全体放在一起就组成了一个集合。 2、问题：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由： (1) 大于3小于11的偶数； (2) 我国的小河流。 解答：(1)能组成集合为：4，6，8，10，因为这些元素是确定的。 (2) 不能组成集合。这是因为小河流没有一个明确的标准，多小才是小河流， 没有规定。不符合集合中元素的确定性。 3、 问题：(1)你能用自然语言描述集合 2，4，6，8吗？ (2)你能用列举法表示不等式x 73的解集吗？ 解答：(1)能，用自然语言描述为：大于1且小于9的偶数。 不能，因为x 73即x10

18、，集合中元素太多，有无数个，在数轴上它 们是小于10的连续的点，无法列出 4、问题：(1)结合上述实例，试比较用自然语言、列举法和描述法表示集 合时，各自的特点和适用的对象。 自己举出几个集合的例子，并分别用自然语言、列举法和描述法表示出 来。 解答：(1)自然语言描术的特点是通俗易懂。适用于不易用列举法和描述法 表示的集合。如：红星农场的拖拉机等，列举法具有直观明了的特点，适用于 有限集及元素不太多的情况；描述法抽象概括，适用于无限集及不便用列举法 表示的集合。 (2)分别用自然语言、列举法、描述法表示绝对值不大于3的整数为：绝 对值不大于 3 的整数； 3， 2， 1，0，1，2，3 ;

19、(x|x| 3，x Z);分 别用自然语言、列举法、描述法表示方程 x2 3x+2=0的解为：方程x2 3x+2=0 的解；1，2 ; x|x=1 或 x=2。 三、本节重难点知识点总结 知识点I:元素与集合的关系(这是重点) 详解：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做 集合(简称集)，给定的集合，它的元素必须是确定的。一个给定集合中的元素 是互不相同的。也就是说，集合中的元素是不重复出现的。我们通常用大写字 母A、B、C表示集合，用小写字母a,bc表示集合中的元素。如果a集合A的 元素，就说a属于集合A，记作a A，如果a不是集合A的元素，就说a不属 于A，记作a A。

20、只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是 相等的。 【例1】下列关系中不正确的个数为() (1) -4 R ； (2)3 - Q; (3) | -20 K N* ; (4) H 2 | Q ； (5) -5 -一 Z ; (6)0 N 3 A、2 个 3 B、3 个 C、4 个 D、5 个 解：B 点拨：本题考查元素与集合的关系，由R、Q、Z、N、N*的含义 可知：，正确；(3)，不正确，故选 B。 知识点2:列举法(这是重点) 详解：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“ ”括起来表示集合的 方法叫做列举法，其特点是元素表示完整、清楚。使用列举法应注意：(1)满足 集合元素的互异

21、性，即元素不能重复；(2)可无序排列；(3)元素间用“，”隔开； (4) 对于含有较多元素的集合，如果构成集合的元素有明显规律，可用列举法， 但必须把元素间的规律显示出来，如表示不大于50的自然数，可表示为0,1 , 2, 3，50 , N 可表示为0 , 1 , 2, 3,。 【例2】用列举法表示下列集合 (1) 不大于10的非负偶数集； (2) 所有的正偶数； 方程组2x+y=的解的集合。 |x - y+3=0 解：(1)因为不大于10是小于或等于10，非负即大于或等于零，所以不大 于10的非负偶数用列举法表示为0 , 2, 4, 6, 8, 10。 正偶数是2, 4, 6,有无穷多个，但

22、它们有明显规律，用列举法表示： 2 , 4, 6, 8， (3)由v；+3=0解得仁1用列举法表示: ( 1 , 2) 点拨：认真读题，理解题意 ？问题便可迎刃而解 知识点3:描述法(这是重点) 详解：用集合中元素的共同特征来表示集合的方法称为描述法。它的一般 形式为x l|P(x) , x表示集合的元素，I表示x的取值范围，P(x)表示元素应 满足的关节炎系，如表示不大于5的解集，可表示为x R|x 5, x R。也可 写成x|x 5, x R。这里I已很明确，可把I省去，一般可写成x|x 0,y0,y0，x R， y R的意义是（ A、第一象限的点 B、第三象限的点 C、第一和第三象限的点 D、不在第二象限也不在第四象限的点 4、下列各组集合中，表示同一集合的是（） A、M=（3，2），N=（2