第18炼利用导数解函数的最值

1、第 18 炼 函数的最值一、基础知识：1、函数的最大值与最小值：（1）设函数 f x 的定义域为 D ，若x0D ，使得对xD ，均满足 fxfx0，那么称 x x0 为函数 f x 的一个最大值点，f x0 称为函数f x 的最大值（2）设函数 f x 的定义域为 D ，若x0D ，使得对xD ，均满足 fxfx0，那么称 x x为函数 f x 的一个最小值点，f x 称为函数 f x 的最小值00（3）最大值与最小值在图像中体现为函数的最高点和最低点（4）最值为函数值域的元素，即必须是某个自变量的函数值。例如： f xln x, x1,4，由单调性可得f x 有最小值f 10 ，但由于 x

2、 取不到4，所以尽管函数值无限接近于ln 4 , 但就是达不到。fx 没有最大值。（5）一个函数其最大值（或最小值）至多有一个，而最大值点（或最小值点）的个数可以不唯一，例如fxsin x ，其最大值点为x2kkZ，有无穷多个。22“最值”与“极值”的区别和联系右图为一个定义在闭区间a,b 上的函数f ( x) 的图象图y中 f (x1 ) 与 f ( x3 ) 是极小值，f ( x2 ) 是极大值函数f ( x) 在a, b 上的最大值是f (b) ，最小值是f (x3 )ax 1Ox 2x 3bx（1）“最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性； 而“极值” 是个局部

3、概念， 是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性（ 2）从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；（ 3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个（ 4）极值只能在定义域内部取得， 而最值可以在区间的端点处取得， 有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值3、结论：一般地，在闭区间a,b 上函数 yf ( x) 的图像是一条连续不断的曲线，那么函数 yf (x) 在 a,b 上必有最大值与最小值4、最值点只可能在极值点或者边界点处产生，其余的点位于单调区间中，意味着在这些点的周围既有

4、比它大的，也有比它小的，故不会成为最值点5、利用导数求函数的最值步骤:一般地，求函数f ( x) 在 a,b 上的最大值与最小值的步骤如下：（ 1）求 f ( x) 在 (a,b) 内的极值；（ 2）将f ( x) 的各极值与端点处的函数值f (a) 、f (b) 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数f (x) 在a,b上的最值6、求函数最值的过程中往往要利用函数的单调性，所以说，函数的单调区间是求最值与极值的基础7、在比较的过程中也可简化步骤：（ 1）利用函数单调性可判断边界点是否能成为最大值点或最小值点（ 2）极小值点不会是最大值点，极大值点也不会是最小值点8、最值点

5、的作用（ 1）关系到函数的值域（ 2）由最值可构造恒成立的不等式：例如： f xln xx1 ，可通过导数求出 f x minf 1 0 ，由此可得到对于任意的x 0，均有 fxfx min 0 ，即不等式 ln x x1二、典型例题：例 1：求函数 fxxe x 的最值思路：首先判定定义域为R , 对函数进行求导，根据单调区间求出函数的最值解： f x1x e x ，令 f x0 , 解得： x1f x 的单调区间为：x,11,f ( x)fxf x max f 11，无最小值e小炼有话说： 函数 fxxe x 先增再减， 其最大值即为它的极大值点，我们可以将这种先增再减，或者先减再增的函数

6、成为“单峰函数”，在单峰函数中，极值点即为函数的某个最值点。例 2：已知函数 f xx3ax22 , x 2是 f x 的一个极值点，求：（ 1）实数 a 的值（ 2）判断 f x 在区间1,4 上是否存在最大值和最小值解：（ 1）f x3x22axx2 是 fx 的一个极值点f 2124a0a3（2）思路，由第（1）问可得 fxx33x22 ，进而求出单调区间得到最值解： f x3x26x 3xx2, 令 f x0, 解得： 1x 0 或 2 x 4f x 的单调区间为：x1,00,22,4f (x)fx计算 f 12, f02, f22, f418f x max f418fx minf22

7、小炼有话说： 在本题中， 最小值的求解尽管x1不在所给区间中， 但也需要代入到 f x中计算，此时计算出的是函数左边界的临界值，如果f 1f 2 ，则函数就不存在最小值了。所以在求定义域为开区间的函数最值时，也要关注边界处的临界值。例 3：已知函数 f xax36ax2b , 是否存在实数 a, b，使得 fx 在 1,2 上取得最大值 4 ，最小值29 ?若存在，求出 a, b的值，若不存在，请说明理由思路：利用 f x 求出函数的单调区间，在根据单调区间判断最大最小值点的可能位置，进而根据最大最小值解出a, b解： f x3ax212ax3ax x4，（1）当 a0时，x1,2x40, x

8、0f x0f x 在 1,2单调递减fx maxf1b5a4a3fx minf3b16a29b19（2）当 a0时，x1,2x40, x0f x0f x 在 1,2单调递增fx maxf3b16a4a3fx minf1b5a29b44a3a3或b19b44小炼有话说： 本题在求最值时由于函数带有参数，从而在解单调区间的过程中涉及到对参数的分类讨论。从而确定最值的选取（有关含参数单调区间的计算详见2.1 ）例 4：求函数 f x2 x39 x212x ( x1,3 ) 的最值思路一：考虑去掉绝对值得到一个分段函数，在利用导数求出每段的最值，再进行比较解： f xx2x29x122 x29x 12

9、 0 恒成立x2 x29 x12 , x0,3f xx2x 29x12 , x1,0当 x0,3 时， f x2x29 x124x 29x6 x1x2可得：f x 在 0,1 ,2,3单调递增，在1,2单调递减f 00, f 15, f 39, f 24x0,3 时 , fx min 0, fx max9当 x1,0 时，f x2x29x124x29x6x1 x 2f x 在1,0单调递减，f xmaxf 123当 x0时， fx0可得函数 fx的最值为 fx maxf123 ， fx minf00思路二：考虑先求出绝对值里表达式的值域，然后在加上绝对值求出最值。解：令 g x 2 x39 x

10、212xgx 6 x 1 x 2 , x1,3令 gx0，解得:1x 1 或 2x3gx的单调区间为：x1,11,22,3f (x)fxg123,g 15, g24, g 39gx的值域为23,9fxgxfx的值域为0,23fx max23 ， f x min 0小炼有话说：（ 1）第一种方法为处理含绝对值函数的常用方法，绝对值的函数中若绝对值内部比较简单， 则通常先通过讨论绝对值内部的符号，将函数转化成为分段函数进行分析，而求分段函数的最值时可分别求出每一段的最值再进行比较（2）第二种方法用于当绝对值内部的符号不易确定时（例如绝对值为0 的点不好确定） ，也可考虑先求出内部的取值范围，再取绝

11、对值进而得到值域。例 5：已知函数fxex0,+ ，求 fx 在 m, m 1 m0 上的最值的定义域为xexf x 1 ex思路： fx的单调区间可通过导数来确定，x, x1 是 fx 的极x2x值点，而极值点是否在m, m 1 会影响最值点的选取，从而要依次进行分类讨论解： f xx 1 ex，令 f x0 解得 x 1x2f x在 0,1 单调递减，在1,+单调递增x1 为 fx 的极小值点（1）当 m1时， fx 在 m, m1 单调递增fx minfmem, fx maxfm1em 1mm1（2）当 0m1时， m11fx 在m,1 单调递减，在1,m1单调递增fx minf1efx

12、 maxmaxfm, f m1f mem , f m 1em 1mm1下面比较 fm , fm1的大小若 fmfm1emem 11emm1mm1m1emm1e1m1时， fxfm1em 1maxe1m1当 m1时， fx maxfm1f meme1 ee 1e1m当 0m1时， fx maxfmeme1m综上所述： m1 时， fx minfmem , fx maxfm1em 1mm11m 1时， f xf 1e ， f xf m 1em 1e1minmaxm1m1 时， f xmaxf m 1f me 1 ee 1e10m1时， fxmaxfmeme1m例 6：已知函数f()lnxm (mR

13、)在区间上取得最小值，则m _x1,ex41m1m思路一：函数 f ( x) 的定义域为 (0,)， f(x)f ( x)00 ，xx2当时，x2x当 m0时， f( x)0， f ( x) 为增函数，所以f ( x) minf (1)m4， m4 ，矛盾舍去；当 m0 时，若 x(0,m)， f(x)0 ，f ( x) 为减函数，若 x( m,) ，f( x) 0 ，f ( x) 为增函数，所以f (m)ln(m)1 为极小值，也是最小值；当m1 ，即1 m0 时， f ( x) 在 1,e 上单调递增， 所以 f (x)minf (1)m 4，所以 m4（矛me ，即 me时， f ( x

14、) 在 1,e 上单调递减，f ( x) minf ( e) 1m盾）；当4 ，e所 以 m3e 当1me ， 即em1 时 ， f ( x) 在 1,e上的最小值为f ( m)ln(m) 14 ，此时 me2e （矛盾）综上 m3e思路二： f x1mx m，令导数 f x0xm ，考虑最小值点只有可能xx2x2在边界点与极值点处取得，因此可假设 xm, x1, xe 分别为函数的最小值点 , 求出 m 后再检验即可。答案： 3e小炼有话说：（ 1）思路一为传统解法，即考虑函数是否有极值点，以及结合函数单调性分析最小值点的位置， 但由于函数fx 含有参数， 导致解单调区间和极值点时要进行分类

15、讨论，过程较为复杂（2）思路二的想法源于最值点的出处，即最值点只会在边界点与极值点处产生，而本题中f x 的边界点与可能的极值点个数较少，故采取先算再验的手段，方法比较简便。例 7 ：已知函数fxx ln xax 在0,e上是增函数，函数g xexa2a. 当2x0,ln3时，函数 g x的最大值M与最小值m 的差为3 ，则a_.2思路： g x 含有绝对值，故考虑利用分段函数去掉绝对值后寻找最值，先利用fx 的条件确定 a 的取值范围，f xa1ln x ，由fx在0,e上是增函数可得对任意的x0,e ，fxa1ln x0 恒成立a1ln xmax ，而 1ln x1ln e2，a2 ，g

16、xexa2a，绝对值的分界点为exa0xln a ，由 a2 及定义域0,ln32需对 ln a 是否在区间中进行分类讨论（1）当 a3 时，则 exag xa ex a2，可判断出 gx 为减函数2g x g xga2a 1 g x mina2max0g ln 3a 322gx min25max，故舍去2aa2ex,0xln a（2）当 2 a3时， gx2a2xa,ln ax ln 3e2x0,ln a时， exa0 gxaa 2ex 单调递减，2g xg ln aa2, g xg 0aa21min2max2当 x ln a,ln3 时g xexaa2单增，gxming ln aa 2,

17、gxmaxgln 3aa23 。222a2 ，所以aa23 aa21。所以 Mg 0aa2a 2，从而有221, N22MNa15。3 ，解得 a22答案： 52例 8：若函数 fxlog ax2ax1 有最小值，则实数a 的取值范围是（）2A.0,1B.0,11,2C.1,2D.2,思路：观察到真数部分为开口向上的抛物线，所以若fx取到最小值，则底数a1且 真数 txx2ax1取到最小值，而真数部分恒大于零，所以只需t xx2ax1有22221，从而大 于 零 的 最 小 值 即 可 。 t x x2ax1xaa2242tx mina210 ，解得 a2 ，另一方面 a 1 ，所以 a1,242答案： C例9：已知3fxx 3 xm0,2上任取三个不同的数a, b, c,均存在以在 区 间fa , f b , fc为边长的三角形 , 则 m 的取值范围是.思路：考虑三角形成立的条件：两条较短的边的和大于第三边，由于a, b,c 任取，f a , f b , f c 也可取值域中的任意值。要保证能构成三角形，满足两个条件：f a , f b , f c 均大于零，即fxmin0 ， 极端情形短边均取最小值，和大于第三边即可。f x3x23令 f x0结合定义域解得：1x2