材料加工中的数值模拟方法-微观组织数值模拟(5)[稻谷书苑]

1、材料加工过程的数值模拟 微观组织数值模拟(V) 任课教师: 王锦程 Office：公字楼216 Tel O) Email ： The Cahn-Hilliard Equation (for conserved quantities) F M t The Ginzbug-Landau (Allen-Cahn) Equation (for non-conserved quantities) 2 el 1 d 2 V Ff cfcV ,ctr描述同构相变过程中，只涉及到成分场 的变化，成 分场 变化采用Cahn-Hilliard方程描述： M为化学迁移率，一般为系统成分和

2、温度的函数。这类模型可 描述同构相变过程 系统化学自由能密度 梯度能系数 弹性能 24 1020 f cA ccAcc ), r ( ), r ( tc F M t tc Ni-Al合金系统析出过程 , , , 1,3 , 2, i i ctF M tct tF L tt i r r r r 3 22 1 , 22 el ii V i Ff ccfdV elelel ijklijkl 1 2 frrrr (1,2, 3): (1,1,1)0, (-1,-1,1)0, (-1,1,-1)0, (1,-1,-1)0 1 2 222 32 123112123123 444222222 54 2312

3、2313 1 , 263 2424 AA f cA cccc AA Landau多项式自由能形式 2 324 112 234 1 , 2234 AAA f cA cccc 2 11 1 , 2 0fcA cc 2 324 112 234 eqeqeqeq 1 , 2234 AAA fcA cccc 2 2 eq33424 42ccAAA AA 三个序 参量场 一个序 参量场 1 11 1 11 1 2 2 1 4 4 3 3 1 AlAl123 2 AlAl123 3 AlAl123 4 AlAl123 1 1 1 1 yc yc yc yc 2 2 NiNiNiNi L1orderofcco

4、fcc1234o mAlAlNiNiijklijkl i=Al j=Al k=Al l=Al 4Ni L1ssxs iim s 1i=Al ln 4 GcGcGy y y yG RT yyG dis00 xsmg mAlAlNiNiAlAlNiNimm lnlnGcGcGRT ccccGG CALPHAD自由能形式 123 disorder 123 ,cGGcGc orderorderorder 123123123 ,0GcGcGc o ofccfcc23 AlNi0123 222222223 AlNi12341234123 123123 123123 1 1(1)(21)(21)(21) 4

5、121 248 1ln1 4 11ln 11 1 c GcGccLLcLcLc UcU ccU c RT cc cc c G 23123 123123 123123 123123 123123 123123 ln1 11ln 11 1ln1 11ln 11 1ln1 11ln 11 c cc cc cc cc cc 高斯 散度 定理 , VSV d ft dVtdSqt dV dt rg rnr 平衡方程（物质或能量守恒） ,=, SV tdSt dV g rng r , VVV d ft dVt dVqt dV dt rg rr , , ft tqt t r g rr 微分 方程 随时间的

6、变化率 通量的散 度 内部的 源或汇 =- ,=- =- v tqT JD C g r 动量通量 热量通量 质量通量 , , ct t t r J r cF M tc 2 Ff k cc 化学势 F JMM c 变分是求泛函的极值 c M t J广义菲克定律 化学势梯度，扩散 的驱动力 守恒序参量 非守恒序参量 F L t 场量变化速率与驱 动力成正比 序参量可看成广义坐标，能量对坐标的变分导数，类 似于能量对广义坐标的微分导数，可看成广义力，即 驱动力。 粘性弛豫：运动速度（广义坐标的变化率）与驱动力 成正比（最简单的情形）。 相场模型建立步骤： 1.分析问题的物理背景，确定描述该体系组织演

7、变的序 参量 2.根据所确定的序参量，建立描述体系各状态的统一自 由能形式 3.根据序参量特性，确定相应的动力学方程 4.确定模型中的各种参数 5.确定是否考虑系统中可能存在的各向异性 6.确定是否需要考虑系统的随机涨落 7.选择合适的数值算法求解偏微分方程组 相场法应用实例（II） 纯物质凝固相场模型的建立纯物质凝固相场模型的建立 1. 序参量确定序参量确定 2. 自由能密度函数确定自由能密度函数确定 3. 相场动力学方程相场动力学方程 4. 温度场方程温度场方程 5. 相场参数确定相场参数确定（渐近分析法，平衡解法）（渐近分析法，平衡解法） 6. 各向异性各向异性 7. 噪声噪声 TT c

8、 k t T p 22 TT 对于一个封闭空间Rd，材料由界面 (t)Rd-1分割为固/液两态。对于纯物质有 Lsnf nTnTKVL 1 M TT 枝晶生长：典型的Stefan 问题（自由边界问题） 远场条件 尖锐尖锐 界面界面 模型模型 需跟踪 界面 v M L T 2 max M m RT vL kinetic mobility 传热方程 界面守恒 Gibbs-Thomson 关系（曲率效应） Gibbs-Thompson 系数 纯物质相场模型包含 两个场变量：相场和 温度场(无浓度场)。 自由能密度写为序参量的级数展开形式： 序参量平衡值的确定: 0 , Tf 自由能密度函数的构造(1

9、) 在凝固点Tm进行泰勒展开： 234 22 234 ( , )()()()() ()()() m Lmmmm L mm T fTfTr Tw Tu T df TTBBBTT dT m T T r B 2 m T T w B 3 m T T u B 4 其中：其中： 432 )()()()(),( mmmmLm TuTwTrTfTf 当T=Tm时： 在 T=TM时，固相与液相的自由能相等 )()( mm THTr)()( mm THTu)(2)( mm THTw 选取：选取： 1 0 S L This term tilts the free energy wells up/down, allo

10、wing for discontinuous change in as T goes through 1st order transition at TM。 234 22 234 ( , )()()()() () ()() m Lmmmm L mm T fTfTr Tw Tu T df TTBBBTT dT )()()1 ()()(),( 22 432 22 mmLmL TTBBBHTTSTfTf m T L dTdfS/ m T L B3 2 m T L B2 3 0 4 B 2 )23()( m L T L SS )()1 ()(),( 22 mmL TTSHTfTf 222 432 )2

11、3()( m T L BBB )()( mm THTr)()( mm THTu )(2)( mm THTw )()23()1 ()(),( 222 m m LmL TT T L SHTfTf 0)1 ( )( 6)23(2 ),( 32 m m T TTL H Tf 最终得到：最终得到： 1 0 S L 极小值在：极小值在： )()()( mLmLL TTSTfTf )()( )()()()( m m L m m mLmLS TT T L Tf TT T L TTSTfTf 0 1 由于液相的自由能与序参量无关，可以将其作为参考态，由于液相的自由能与序参量无关，可以将其作为参考态， 令其取值为

12、令其取值为0， 可将可将 f(,T) 重新写为如下形式：重新写为如下形式： 222 )23( )( )1 (),( m m T TTL HTf )( )( )(),(p T TTL HgTf m m 22 )1 ()(g)23()( 2 p 0.00.40.81.2 0.00 0.02 0.04 0.06 g() 0.00.20.40.60.81.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 p() The “Double-Well” Free Energy Density 是一个双阱曲线，其在 处，取最小值，对应着固相和液相。 10、 )(g 选择如此形式要满足：当 时，其导数 ，从而

13、保证 曲线独立于温度，在 处（即固相和液相）取极小值，而使体系处于稳态； 同时 满足 时 ， 时 0)(p),(Tf 10、 10、)(p )(p 00)(p11)(p Need a thermodynamic state function in terms of and so that solid liquid degree of ordering and a penalty for isothermally transforming from solid to liquid 自由能函数的构造(2) )()()()()(1 (),(gWTfpTfpTf A S A L AA Assembli

14、ng the Free Energy Function “classic” Gibbs free energy of transformation can be set to zero, if liqid component A is taken as the reference state melting temperature )()()()()(),(gWTfTfpTfTf A L A S A L AA )()( SLSLSL SSTHHGGG m m m T TT L T T LG )1 ( m TT 0G当时 m SL T L SS故 TSHG Trends in the Free

15、Energy liquidsolid )( )( )(),(gW T TTL pTf A A m A mA A 系统自由能 )(),()(),()(1 (),(WgTfpTfpTf SL 0.00.20.40.60.81.0 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 Solid Energy total Solid+Liquid interface penalty liquid TTm liquid Interface penalty without 2 dTfF 2 2 2 1 ),( solid with 2 相场动力学方程 initial prep

16、aration of (x,t=0) subsequent (x,t) Solid s=1 liquid L=0 propagation of interface )( )( )( 2 2 2 p T TTL HgF m m V 22 )1 ()(g )23()( 2 p V F M t dFF V )23(2)( 32 g )1 (6)( p )( )( )( 1 22 p T TTL gH tM m m 根据标准热传导方程: 0 Q J t Q 考虑固/液界面熵的变化： Pf hQT cL ttt 温度场方程 ( ) t pQf Th cJL t This (phenomenologica

17、l) term accounts for the release of latent heat as the interface advances ( )h t ( ( , )hx t ( ( ,)hx tt q Jk T This is a flux-conservative equation, i.e. it conserves heat Flux in the absence of latent heat W Fourier定律 p dHTdSdQ)(LhTcH pp ( ) t pf Th ck TL t 纯物质凝固相场模型 ( ) t pf Th ck TL t 2 T hu Du

18、tt )( )( )( 1 22 p T TTL gH tM m m 22 )1 ()(g )23()( 2 p upg t )()( 22 MH 1 H/ HTc L Mp 2 p m cL TT u / p T c k D )(h Karma纯物质凝固相场模型 A. Karma and W.J. Rappel PRE 1998, 57:4323 1 固相： 1 液相： upg t )()( 22 t h uD t u T )( 2 1 2 42 )( 42 g 53 2 )( 53 p )(h The phase-field (order parameter) and temperature field approach sharp- interface profiles when w0 p渐近性分析的目的是将相场模型与尖锐界面模型联系起来， 从而证明相场法在解决自由边界问题的适用性。分析的原理 是选