矩阵的秩与线性方程组[稻谷书苑]

1、第一节第一节 矩阵的秩矩阵的秩 Ch3 矩阵的秩与线性方程组矩阵的秩与线性方程组 一、矩阵秩的概念一、矩阵秩的概念 二、矩阵秩的计算二、矩阵秩的计算 三、小结、思考题三、小结、思考题 . , , 1 2 阶子式阶子式的的称为矩阵称为矩阵 阶行列式，阶行列式，的的中所处的位置次序而得中所处的位置次序而得变它们在变它们在 不改不改元素元素处的个处的个），位于这些行列交叉），位于这些行列交叉 列（列（行行中任取中任取矩阵矩阵在在定义定义 kA kA knk mkkkAnm . 个个阶子式共有阶子式共有的的矩阵矩阵 k n k m CCkAnm 0.)(. . )( 0 1 02 ArOA ArA r

2、AD rD rA 即即等于零等于零 并规定零矩阵的秩并规定零矩阵的秩的秩，记作的秩，记作称为矩阵称为矩阵 的最高阶非零子式，数的最高阶非零子式，数称为矩阵称为矩阵，那末，那末于于 ）全等）全等阶子式（如果存在的话阶子式（如果存在的话，且所有，且所有式式 阶子阶子的的中有一个不等于中有一个不等于设在矩阵设在矩阵定义定义 . )( 最高阶数最高阶数 中非零子式的中非零子式的是是的秩的秩矩阵矩阵AArAnm ，对于对于 T A)1().()(ArAr T 显然有显然有 注意：注意： ).,min()()2(nmAr nm .)()3(kArkA 阶阶子子式式不不为为零零，则则有有一一个个若若 ).(

3、)(, 0)5( .)(1)4( ArAr kArkA 则如 阶子式均为零，则的所有若 为可逆阵 且阶方阵，则为若 AAnAr nArnA 0)( ,)()6( 例例1. 174 532 321 的秩的秩求矩阵求矩阵 A 解解中，二阶子式中，二阶子式在在 A ，阶子式只有一个阶子式只有一个的的又又AA3 . 0 32 21 ，且且0 A . 2)( Ar 例例2. 00000 34000 52130 23012 的秩的秩求矩阵求矩阵 B 解解行，行，”，其非零行有”，其非零行有是一个“行阶梯形矩阵是一个“行阶梯形矩阵3B .4阶子式全为零阶子式全为零的所有的所有B , 0 400 230 31

4、2 而而 . 3)( Br 取自非零行首非零元所在列取自非零行首非零元所在列 说明说明.非零行的行数非零行的行数行阶梯形矩阵的秩即其行阶梯形矩阵的秩即其 例例3 3，求该矩阵的秩，求该矩阵的秩已知已知 5102 3120 2231 A , 02 20 31 二阶子式二阶子式 102 120 231 502 320 231 解解计算计算A的的3阶子式，阶子式， , 0 , 0 510 312 223 512 310 221 , 0 , 0 . 0 . 2 Ar 做初等变换，做初等变换，对矩阵对矩阵 5102 3120 2231 A另解另解 , 0000 3120 2231 5102 3120 2

5、231 得得 显然，非零行的行数为显然，非零行的行数为2， . 2 Ar 此方法简单！此方法简单！ 问题：问题： ？若若对对，有有没没有有理理论论根根据据这这种种方方法法到到底底对对不不对对？ 3定义定义矩矩阵阵为为称称满满足足以以下下两两个个条条件件的的nm 行阶梯形矩阵：行阶梯形矩阵： 元个数多；元个数多；个数比其上一行这种零个数比其上一行这种零 的话）前的零元的话）前的零元每行的非零元（如果有每行的非零元（如果有)1( . )2( 元素全为零元素全为零 则其下所有行的则其下所有行的如果某行没有非零元，如果某行没有非零元， 为为 ，则称其，则称其是是所在的列的其它元素都所在的列的其它元素都

6、，且这些，且这些 行的首非零元均为行的首非零元均为若行阶梯形矩阵的非零若行阶梯形矩阵的非零 011 .行最简形矩阵行最简形矩阵 . , 形矩阵形矩阵行变换把它变为行阶梯行变换把它变为行阶梯 总可经过有限次初等总可经过有限次初等对于任何矩阵对于任何矩阵 nm A 问题：问题：经过初等变换后，矩阵的秩变吗？经过初等变换后，矩阵的秩变吗？ . ,2 BrArBA 则则若若定理定理 证明略证明略 1定理定理 证明略证明略 初等变换求矩阵秩的方法：初等变换求矩阵秩的方法： 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵， 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩行阶梯形矩阵中非

7、零行的行数就是矩阵的秩. 例例4 的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式秩，并求秩，并求 的的求矩阵求矩阵设设 A AA, 41461 35102 16323 05023 阶阶梯梯形形矩矩阵阵：作作初初等等行行变变换换，变变成成行行对对A 解解 41461 35102 16323 05023 A 05023 35102 16323 41461 14 r 05023 35102 11340 41461 )1( 42 r 05023 35102 16323 41461 14 r 12812160 1179120 11340 41461 )3( )2( 14 13 r r 05023 35102

8、11340 41461 )1( 42 r 12812160 1179120 11340 41461 )3( )2( 14 13 r r 84000 84000 11340 41461 )3( 23 r )4( 24 r 00000 84000 11340 41461 (1)由阶梯形矩阵有三个非零行可知由阶梯形矩阵有三个非零行可知 . 3)( Ar )1( 34 r 84000 84000 11340 41461 )3( 23 r )4( 24 r . )2(的一个最高阶子式的一个最高阶子式再求再求 A 四列得四列得二二三行及一三行及一二二取第一取第一, A对应矩阵对应矩阵0 4 14 161

9、0 161 502 623 ，阶阶可可逆逆矩矩阵阵设设An , 0 A,AA的的最最高高阶阶非非零零子子式式即即为为 .)(nAr 故故 .为为满满秩秩矩矩阵阵 ，故故称称可可逆逆矩矩阵阵可可逆逆矩矩阵阵的的秩秩等等于于阶阶数数 .奇奇异异矩矩阵阵为为降降秩秩矩矩阵阵 :满秩矩阵满秩矩阵 阶满秩矩阵，则必有阶满秩矩阵，则必有 阶、阶、分别是分别是矩阵，而矩阵，而是任一是任一设设 n mQPnmA, 的推论：的推论：定理定理1 1推论推论 ()()()()r Ar PAr AQr PAQ 证明：证明： .1 , 即即知知本本推推论论成成立立由由定定理理果果， 结结作作了了有有限限次次初初等等变变

10、换换的的均均可可看看成成是是对对 这这样样乘乘积积矩矩阵阵有有限限个个初初等等矩矩阵阵的的乘乘积积 ）可可以以表表示示成成满满秩秩矩矩阵阵（即即可可逆逆矩矩阵阵 APAQ AQPA 2推论推论的标准形分解为的标准形分解为矩阵矩阵若已知任一若已知任一Anm Q OO OI PPNQA r .)(的阶数）的阶数）（即单位矩阵（即单位矩阵则必有则必有 r IrAr 1即得。即得。提示：利用推论提示：利用推论 . IA的标准形必为单位阵的标准形必为单位阵显然，可逆矩阵显然，可逆矩阵 例例5 5 4 3 2 1 , 6063 3242 0842 1221 bA设设 .),(的的秩秩及及矩矩阵阵求求矩矩阵

11、阵bABA 解解 ), , ( bABB 的行阶梯形矩阵为的行阶梯形矩阵为若若 分析：分析： 的行阶梯形矩阵，的行阶梯形矩阵，就是就是则则AA ).()() , ( BrArbAB及及中可同时看出中可同时看出故从故从 46063 33242 20842 11221 B 13600 51200 02400 11221 )2( )2( 13 12 r r )3( 14 r 13600 51200 02400 11221 10000 50000 01200 11221 )1( ) 2 1 ( 23 2 r r )3( 24 r )2( )2( 13 12 r r )3( 14 r 00000 100

12、00 01200 11221 )5( 43 r 34 r . 3)(, 2)( BrAr 10000 50000 01200 11221 )1( ) 2 1 ( 23 2 r r )3( 24 r (2)(2)初等变换法初等变换法 1. 矩阵秩的概念矩阵秩的概念 2. 求矩阵秩的方法求矩阵秩的方法 (1)(1)利用定义利用定义 (把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行 阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩). (即寻找矩阵中非零子式的最高阶数即寻找矩阵中非零子式的最高阶数); , 6333 4222 211 k kk

13、 k A已知矩阵已知矩阵 取何值时，取何值时，问：问：k )1(; 1)( Ar)2(; 2)( Ar)3(. 3)( Ar 解：解： 6333 4222 211 k kk k A )1(6)1(3)1(30 )1(4)1(2)1(20 211 2 kkk kkk k 0)1)(2(00 )1(2)1()1(0 211 kk kkk k ；时，时，即得，当即得，当1)(1 Ark ；时，时，当当2)(2 Ark . 3)(12 Arkk时，时，且且当当 0)1)(2(00 )1(2)1()1(0 211 kk kkk k A由由 (2) ,()( )? T Ar A Ar A设设为为任任一一实

14、实矩矩阵阵与与是是否否相相等等 (1)设设A为可逆阵为可逆阵,且且r(A)=3,则则r(AB)-r(B)=-。 0 相等相等. , 0 x因因为为对对于于任任一一实实向向量量,0时时当方程组当方程组 Ax , 0 AxAT必有必有有有时时反之当反之当,0 AxAT0 AxAx TT 即即 2 0 T AxAxAx; 0 Ax 由此可知由此可知, 俩方程组俩方程组 ,00同解同解与与 AxAAx T .ArAAr T 故故 第二节第二节 齐次线性方程组齐次线性方程组 判定判定一、线性方程组有解的一、线性方程组有解的 二二、线线性性方方程程组组的的解解法法 三、小结、思考题三、小结、思考题 Ch3

15、 矩阵的秩与线性方程组矩阵的秩与线性方程组 的的解解组组 的的秩秩，讨讨论论线线性性方方程程如如何何利利用用系系数数矩矩阵阵 0 Ax A问题问题： 引例引例 求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组 034 0222 022 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx 解解 3411 2212 1221 A 4630 4630 1221 施行的初等行变换：施行的初等行变换：同时记录对系数矩阵同时记录对系数矩阵 A )1( )2( 13 12 r r 034 0222 022 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx - 2 ， - ，得，得 0463 0463

16、022 432 432 4321 xxx xxx xxxx 消消元元法法来来解解此此方方程程组组，利利用用Gauss 4630 4630 1221 0463 0463 022 432 432 4321 xxx xxx xxxx 0000 3 4 210 1221 ) 3 1 ( )1( 2 23 r r - ， 得得 ) 3 1 ( 0 3 4 21 022 432 4321 xxx xxxx 说明第说明第3 3个方个方 程是多余的程是多余的！ 说明什么说明什么 问题？问题？ 0000 3 4 210 1221 )2( 21 r 0000 3 4 210 3 5 201 0 3 4 2 0 3

17、 5 2 432 431 xxx xxx 得，得，2 行最简形行最简形 矩阵矩阵 0 3 4 21 022 432 4321 xxx xxxx 即得与原方程组同解的方程组即得与原方程组同解的方程组 , 0 3 4 2 , 0 3 5 2 432 431 xxx xxx 移项即得移项即得 , 3 4 2 , 3 5 2 432 431 xxx xxx ).,( 43 xx称称自由未知量自由未知量 , 3 4 2 , 3 5 2 212 211 ccx ccx 形式形式，把它写成通常的参数，把它写成通常的参数令令 2413 ,cxcx . 1 0 3 4 3 5 0 1 2 2 21 4 3 2

18、1 cc x x x x 即即原原方方程程组组的的解解为为 ),( 21 可取任意实数可取任意实数参数参数cc ,01 213 ccx ,10 214 ccx .)( . 0 个个参参数数表表达达式式中中含含有有 且且通通解解矩矩阵阵的的秩秩的的充充分分必必要要条条件件是是系系数数 有有非非零零解解元元齐齐次次线线性性方方程程组组 Arn nAr xAn nm 证证 必要性必要性. . , n DnAnAr阶非零子式阶非零子式中应有一个中应有一个则在则在若若 , 根据克拉默定理根据克拉默定理个方程只有零解个方程只有零解所对应的所对应的 nDn 从而从而 有有非非零零解解，（反反证证）设设方方程

19、程组组0 Ax 定理定理1 1 方方程程组组的的通通解解 线线性性个个参参数数的的一一般般解解，称称为为定定义义：含含有有)(Arn 于是，有于是，有 这与原方程组有非零解相矛盾，这与原方程组有非零解相矛盾， .nAr 即即不能成立不能成立nAr )( 充分性充分性. . ,nrAr 设设 .个自由未知量个自由未知量从而知其有从而知其有r n 任取一个自由未知量为，其余自由未知量为，任取一个自由未知量为，其余自由未知量为， 即可得方程组的一个非零解即可得方程组的一个非零解 . 个非零行，个非零行，的行阶梯形矩阵只含的行阶梯形矩阵只含则则rA .证毕证毕 为求齐次线性方程组的解，只需将为求齐次线

20、性方程组的解，只需将系数矩系数矩 阵化成阵化成行最简形矩阵行最简形矩阵，便可写出其通解。，便可写出其通解。 结结论论： 例例1 求解齐次方程组的通解求解齐次方程组的通解 032 03 0 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx 解解 对系数矩阵对系数矩阵A进行初等变换进行初等变换 3211 3111 1111 A 2100 4200 1111 . 0000 2100 1011 , 42 Ar由于由于故方程组有非零解，且有故方程组有非零解，且有 43 421 2xx xxx 424 423 422 421 10 20 01 11 xxx xxx xxx xxx 2100 42

21、00 1111 为什么选为什么选 为非自由未知量？为非自由未知量？ 31, x x 选选行最简形矩阵行最简形矩阵中非零中非零 行首非零元行首非零元1所在列！所在列！ 1 2 12 3 4 11 10 . 02 01 x x cc x x 12 (,)c cR 得方程组的通解为得方程组的通解为 424 423 422 421 10 20 01 11 xxx xxx xxx xxx 由由 例例2 2 设有齐次线性方程组设有齐次线性方程组 0 0 0 321 321 321 xxx xxx xxx ?,有有非非零零解解取取何何值值时时问问 解解 11 11 11 A 11 11 11 作初等行变换，

22、作初等行变换，对系数矩阵对系数矩阵 A 11 11 11 2 110 110 11 2 200 110 11 2100 110 11 2 200 110 11 ,11时时当当 000 000 111 A ., 31知知方方程程组组有有非非零零解解此此时时，由由 Ar 且其通解为且其通解为 33 22 321 xx xx xxx ., 21 Rcc 1 0 1 0 1 1 21 3 2 1 cc x x x 即即 ,2)2(时时当当 000 110 101 000 330 211 2100 110 11 A ., 32知知方方程程组组有有非非零零解解此此时时，由由 Ar 且其通解为且其通解为 )

23、( 1 1 1 3 2 1 Rcc x x x 即必须有非零解为使. 0,0AAx 0) 1)(2( 11 11 111 )2( 11 11 11 2 . 12 或或解解得得 代入代入讨论同前讨论同前。 另解另解因为因为系数矩阵系数矩阵 为含参数的方阵，故可为含参数的方阵，故可 考虑使用考虑使用“行列式行列式”法，法， 对齐次线性方程组对齐次线性方程组0 Ax nAr ;0只只有有零零解解 Ax nAr .0有有非非零零解解 Ax 解法一解法一因为因为系数矩阵系数矩阵 为含参数的方阵，故可为含参数的方阵，故可 考虑使用考虑使用“行列式行列式”法，而法，而 A . 0323 , 0 , 022

24、, 0 4321 4321 4321 4321 x a xxx xx a xx xxxx xxxx 当当a取何值时，下述齐次线性方程组有非取何值时，下述齐次线性方程组有非 零解，并且求出它的通解零解，并且求出它的通解 a a A 323 111 2121 1111 3050 2120 1010 1111 a a 2000 0100 1010 1111 a a )2)(1( aa :,1化化成成最最简简形形把把系系数数矩矩阵阵时时当当Aa 0000 1000 0010 0101 1323 1111 2121 1111 A ).(, 0 1 0 1 4 3 2 1 为任意常数为任意常数kkx x

25、x x x 通解为通解为 ，且，且即知方程组有无穷多解即知方程组有无穷多解由由, 43)( Ar 0000 0300 1010 1111 2323 1211 2121 1111 ,2 A Aa化化为为由由初初等等行行变变换换可可把把时时当当 0000 0100 1010 0001 ).( , 1 0 1 0 4 3 2 1 为为任任意意常常数数 为为从从而而得得到到方方程程组组的的通通解解 k kx x x x x 0000 0100 1010 0001 A由由 a a A 323 111 2121 1111 3050 2120 1010 1111 a a 解法二解法二用用“初等行变换初等行变

26、换”（法）把系数矩阵（法）把系数矩阵 化为阶梯形化为阶梯形 A ., , 4)(,21 解解可可仿仿照照解解法法一一求求出出它它的的非非零零解解 此此时时方方程程组组有有时时或或者者当当 Araa 2000 0100 1010 1111 a a 3050 2120 1010 1111 a a 注意：注意：是是含含参参数数的的方方阵阵时时，只只有有当当系系数数矩矩阵阵 A)1( ；才才能能使使用用“行行列列式式”法法 是不含参数的是不含参数的当系数矩阵不是方阵或当系数矩阵不是方阵或)2( 等等行行变变换换”法法！方方阵阵时时，只只能能使使用用“初初 第三节第三节 非齐次线性方程组非齐次线性方程组

27、 Ch3 矩阵的秩与线性方程组矩阵的秩与线性方程组 有有解解的的判判定定一一、非非齐齐次次线线性性方方程程组组 的的解解法法二二、非非齐齐次次线线性性方方程程组组 三三、小小结结、思思考考题题 的解的解讨论线性方程组讨论线性方程组 的秩，的秩，和增广矩阵和增广矩阵如何利用系数矩阵如何利用系数矩阵 bAx AA 问题问题： :回答回答 组组 线性方程线性方程一定有解不同，非齐次一定有解不同，非齐次与与0 Ax )0( bbAx 不不一一定定有有解解，而而是是有有 证证必要性必要性,有解有解 ( (反证法反证法) )设方程组设方程组bAx 个个任任意意参参数数。有有时时，其其通通解解表表达达式式中

28、中含含 ；且且在在有有无无穷穷多多解解充充分分必必要要条条件件是是 有有解解的的元元非非齐齐次次线线性性方方程程组组 )( )()( Arn ArAr bxAn nm 这与方程组有解相矛盾这与方程组有解相矛盾. 定理定理1 ,rAr 设设A 则则 的行最简形矩阵中最后一个非零行对应矛的行最简形矩阵中最后一个非零行对应矛 盾方程，盾方程， A ).()(ArAr 因此只能是因此只能是 并令并令 个自由未知量任意取值，个自由未知量任意取值，r n 即可得方程组的一个解即可得方程组的一个解 充分性充分性. . 证毕证毕 个非零行，个非零行，的行阶梯形矩阵中含的行阶梯形矩阵中含则则rA 其余其余 个作

29、为自由未知量个作为自由未知量, ,rn 把这把这 行的第一个非零元所对应的未知量作为行的第一个非零元所对应的未知量作为 非自由未知量非自由未知量, , r ),()()(nrArAr 设设 推推论论有有解解的的充充分分必必要要条条件件是是矩矩阵阵方方程程BAX ),()(BArAr .其化为行最简形矩阵其化为行最简形矩阵 进行初等行变换而将进行初等行变换而将阵阵求解，主要是对增广矩求解，主要是对增广矩 的的线性方程组线性方程组由上一节，我们知道对由上一节，我们知道对 A bAx 例例1 求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组 . 3222 , 2353 , 132 4321 4321 432

30、1 xxxx xxxx xxxx 解解 对增广矩阵对增广矩阵 进行初等变换进行初等变换，A 定理定理11 32212 23513 11321 A 10450 10450 11321 )1( 23 r 20000 10450 11321 , 3)(2)( ArAr显然，显然， 故方程组无解故方程组无解 )2( )3( 13 12 r r 更更常常用用的的描描述述是是：定定理理1 ，元元非非齐齐次次线线性性方方程程组组对对bxAn nm 方程组有唯一解；方程组有唯一解； nArAr)()()1( 方程组有无穷多解；方程组有无穷多解； nArAr)()()2( .)()()3(方程组无解方程组无解

31、ArAr 此乃第三章的此乃第三章的 精华所在精华所在 结结论论： 为求解非齐次线性方程组为求解非齐次线性方程组 ，只需将，只需将增广增广 矩阵矩阵 化成化成行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵，便可判断其是否有，便可判断其是否有 解若有解，再将行阶梯形矩阵化成解若有解，再将行阶梯形矩阵化成行最简形行最简形 矩阵矩阵，便可写出其通解。，便可写出其通解。 bAx A 个个方方程程的的线线性性方方程程组组个个未未知知数数容容易易看看出出，nn .1 .1 要要推推广广是是克克拉拉默默法法则则的的一一个个重重而而定定理理 故故的的必必要要条条件件是是定定理理时时使使用用的的克克拉拉默默法法则则只只 例例2 求解非

32、齐次方程组的通解求解非齐次方程组的通解 2132 13 0 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx 解解 对增广矩阵对增广矩阵 进行初等变换进行初等变换A 213211 13111 01111 A 212100 14200 01111 00000 212100 211011 A 00000 212100 01111 化简得化简得 继续继续方程组有无穷多解方程组有无穷多解 知知由由 . , 42)()( ArAr 212 21 43 421 xx xxx 010 2120 001 2111 424 423 422 421 xxx xxx xxx xxx 对应同解方程组对应同解

33、方程组 00000 212100 211011 A 而行最简形矩阵矩阵而行最简形矩阵矩阵 . 0 21 0 21 1 2 0 1 0 0 1 1 21 4 3 2 1 cc x x x x ),( 21 Rcc 其中其中 所以方程组的通解为所以方程组的通解为 注意：注意： ！的通解表达式不唯一的通解表达式不唯一线性方程组线性方程组bAx 的的行行最最简简形形矩矩阵阵广广矩矩阵阵例例如如，在在本本例例中中，从从增增A 00000 212100 211011 A 方方程程组组 得得同同解解作作为为自自由由未未知知量量，于于是是中中也也可可取取 31, x x 212 21 34 142 xx xx

34、x 则得通解为则得通解为 若令若令, 2311 cxcx 1 2 12 3 4 100 11 21 4 . 010 01 21 4 x x cc x x ),( 21 Rcc 其中其中 的的一一切切解解 它它在在有有解解的的情情况况下下，求求出出是是 有有解解的的充充要要条条件件证证明明方方程程组组 . 0 54321 515 454 343 232 121 aaaaa axx axx axx axx axx 例例3 证证 方程组的增广矩阵为方程组的增广矩阵为 对增广矩阵对增广矩阵 进行初等变换，进行初等变换，A 5 4 3 2 1 10001 11000 01100 00110 00011

35、a a a a a A 5 1 4 3 2 1 00000 11000 01100 00110 00011 i i a a a a a 0 5 1 i i a ArAr 有解有解 行，得行，得加到第加到第 各行全各行全，将将 5 4321 . 0 5 1 i i a是是方方程程组组有有解解的的充充要要条条件件 由于原方程组等价于方程组由于原方程组等价于方程组 454 343 232 121 axx axx axx axx 由此得通解：由此得通解： 11234 2234 334 44 5 xaaaac xaaac xaac xac xc .为任意实数为任意实数c Rc a aa aaa aaaa c x x x x x 01 1 1 1 1 4 43 432 4321 5 4 3 2 1 例例4 设有线性方程组设有线性方程组 2 321 321 321 1 xxx xxx xxx ?,无无解解？有有无无穷穷多多个个解解有有唯唯一一解解取取何何值值时时问问 解一解一 2 11 11 111 A 111 11 11 2 作初等行变换，作初等行变换，对增广矩阵对增广矩阵),(bAA 32 2 2 1110 110 11 322 2 2 1200 110 11 2 2 112100 1110 11