医用高等数学：复习２

1、第一章第一章 分析基础分析基础 函数函数 极限极限 连续连续 研究对象研究对象 研究方法研究方法 研究桥梁研究桥梁 函数与极限函数与极限 （Function :两个重要极限两个重要极限 :无穷小量无穷小量,无穷大量的概念无穷大量的概念,等价无穷小量及其运算性等价无穷小量及其运算性 质质,同阶无穷小量同阶无穷小量,高阶无穷小量高阶无穷小量,低阶无穷小量的概念低阶无穷小量的概念 :掌握连续的概念掌握连续的概念,初等函数的连续性初等函数的连续性,并会并会 利用连续性求极限利用连续性求极限 初等函数初等函数 (1) 基本初等函数基本初等函数 常函数、幂函数、常函数、幂函数、 指数函数、指数函数、对数函

2、数、对数函数、 三角函数、三角函数、反三角函数反三角函数 (2) 初等函数初等函数 由六类基本初等函数由六类基本初等函数 否则称为否则称为非初等函数非初等函数 . 并可用并可用一个式子一个式子表示的函数表示的函数 , 经过经过有限次有限次四则运算和复合步四则运算和复合步 骤所构成骤所构成 ,称为称为初等函数初等函数 . 2 22 ln sin,4,(arctan) 3arccos xxx x xxeyeye x 000 ( )xxxxxf x 定义 如果 从 的左侧（）无限趋于 时，函数 0 ( )f xx无限趋于常数A，则称A为函数在点 处的左极限 0 0 lim( )(0) xx f xA

3、f xA （left limit）,记为或 0 000 0 0 ( ) ( ) (lim ),lim( )(0) xx xxxxxf x f xx rightitf xAf xA 如果 从 的右侧（）无限趋于 时，函数 无限趋于常数A，则称A为函数在点 处的右极限 记为， x 0 0 x 0 xx 0 xx 0 ( )f xxx函数当时极限存在的充分必要条件是 它的左极限和右极限同时存在且相等； 0 lim( ) xx f xA 00 lim( )lim( ) xxxx f xf xA 推论推论:左右极限不存在或左右极限存在不相等左右极限不存在或左右极限存在不相等 极限不存在 给定函数给定函数

4、 1,0 ( )0,0 1,0 xx f xx xx 讨论讨论 0 x时时)(xf的极限是否存在的极限是否存在 . 解解: 利用定理利用定理 3 .因为因为 )(lim 0 xf x ) 1(lim 0 x x 1 )(lim 0 xf x ) 1(lim 0 x x 1 显然显然 , )0()0( ff 所以所以)(lim 0 xf x 不存在不存在 . x y O 1 1 xy 1 1 xy 结论结论 m mm n nn x bxbxb aaxxa 1 10 1 0 lim（a00，b00，m,n0). 解：解： 1）m=n, 原式原式 0 0 10 10 11 11 lim b a x

5、b x bb x a x aa nn nn x 2）mn, 原式原式 0 11 lim 10 1 0 mm m n mnmn x x b x bb xaaxxa 3）mn，原式，原式=. 可见可见 , 函数函数)(xf在点在点 0 x 一、一、 函数连续性的定义函数连续性的定义 定义定义:)(xfy 在在 0 x的某邻域内有定义的某邻域内有定义 , , )()(lim 0 0 xfxf xx 则称函数则称函数 .)( 0 连续在xxf (1) )(xf在点在点 0 x 即即)( 0 xf (2) 极限极限)(lim 0 xf xx (3). )()(lim 0 0 xfxf xx 设函数设函数

6、 连续必须具备下列条件连续必须具备下列条件: 存在存在 ; 且且 有定义有定义 ,存在存在 ; 0 0 limsinsin xx xx 0 0 lim coscos xx xx 初等函数的连续性初等函数的连续性 基本初等函数在定义区间内连续基本初等函数在定义区间内连续 连续函数经四则运算仍连续连续函数经四则运算仍连续 连续函数的复合函数连续连续函数的复合函数连续 一切初等函数一切初等函数 在在定义区间内定义区间内 连续连续 例如例如, 2 1xy 的连续区间为的连续区间为 1, 1 (端点为单侧连续端点为单侧连续) 一元初等函数在其定义域内连续，其图形是一条连续不断一元初等函数在其定义域内连续

7、，其图形是一条连续不断 的曲线；的曲线； 0 sin lim1. x x x 两个重要极限两个重要极限 e)1(lim 1 x x x 说明利用复合函数求极限的运算法则说明利用复合函数求极限的运算法则 此结论可推广到此结论可推广到 ( )05 sin ( )sin(1) lim1lim1 ( )(1) xx xx xx ( ) 1 ( ) ( ) lim (1)e, x x x 1 0 lim(1)e z z z 例例. 求求 1 5 lim(1) . x x x 解解: 令令 1 5 lim(1) x x x 11 5 155 5 lim(1) x x x e 说明说明 ：若利用若利用, e

8、)1 (lim )( )( 1 )( x x x 则则 原式原式 11 1 e)1 (lim x x x 一、一、 无穷小无穷小（极限为（极限为0的量）的量） 定义定义1 . 若若 0 xx 时时, 函数函数,0)(xf则称函数则称函数)(xf 0 xx )x(或 为为 时的时的无穷小量无穷小量(dimensionless)，简称无穷小，简称无穷小 . )x(或 二二:无穷大量的概念无穷大量的概念 三三:无穷大量与无穷小量的关系无穷大量与无穷小量的关系 根据无穷小量的定义以及极限的定义和运算法则，可以证根据无穷小量的定义以及极限的定义和运算法则，可以证 明无穷小量有如下性质：明无穷小量有如下性

9、质： 性质性质1 有限个无穷小量的和、差、积以及常数与无穷小量的乘有限个无穷小量的和、差、积以及常数与无穷小量的乘 积仍为无穷小量。积仍为无穷小量。 性质性质2 有界函数与无穷小量的乘积仍为无穷小量。有界函数与无穷小量的乘积仍为无穷小量。 定义定义. ,0lim 若若则称则称 是比是比 高阶高阶的无穷小的无穷小, )(o lim, 若若 若若 , 1lim 若若 lim0,C 或或 ,设设是自变量同一变化过程中的无穷小是自变量同一变化过程中的无穷小, 记作记作 则称则称 是比是比 低阶低阶的无穷小的无穷小; 则称则称 是是 的的同阶同阶无穷小无穷小; 则称则称 是是 的的等价等价无穷小无穷小,

10、 记作记作 若若 lim0,C 例如例如 , sin xx 1,sin(1) (1)xxx在时 , 1lim 若若 或或 则称则称 是是 的的等价等价无穷小无穷小, 记作记作 0 sin lim1, x x x 时时当当 0 x 000 tan1ln(1) lim1; lim1; lim1; x xxx xex xxx 结合复合函数求极限的性质结合复合函数求极限的性质,我们有我们有 利用等价无穷小量来计算极限利用等价无穷小量来计算极限 00 00 0 , ,() ( ) ( ) (1)lim( ) ( ),lim( ) ( ); ( )( ) (2)lim,lim ( )( ) o xxxx

11、xxxx f g hU x f xg x f x h xAg x h xA h xh x BB f xg x 定理：设函数在内有定义，且有 若则 若则 第二章微分学第二章微分学 掌握掌握:导数的概念导数的概念,导数的几何意义导数的几何意义 基本初等函数的求导公式基本初等函数的求导公式 微分的概念微分的概念,求函数的微分求函数的微分 利用洛必达法则求极限利用洛必达法则求极限 利用导数判断函数的单调区间利用导数判断函数的单调区间,判断极值的两个充判断极值的两个充 分条件分条件,驻点的概念驻点的概念 导数的定义导数的定义 定义定义1 . 设函数设函数 )(xfy 在点在点 0 x 0 lim xx

12、0 0) ()( xx xfxf x y x 0 lim )()( 0 xfxfy 0 xxx 存在存在,)(xf并称此极限为并称此极限为 )(xfy 记作记作: ; 0 xx y ; )( 0 x f ; d d 0 xxx y 0 d )(d xxx xf 即即 0 xx y )( 0 x f x y x 0 lim x xfxxf x )()( lim 00 0h xfhxf h )()( lim 00 0 则称函数则称函数 若若 的某邻域内有定义的某邻域内有定义 , 在点在点 0 x处处可导可导, 在点在点 0 x的的导数导数. x y x 0 lim x xfxxf x )()( l

13、im 00 0 右导数右导数: 左导数左导数: 0 000 0 0 0 ( )()()() ()limlim; xxx f xf xf xxf x fx xxx 0 000 0 0 0 ( )()()() ()limlim; xxx f xf xf xxf x fx xxx 单侧导数单侧导数 定理定理. 函数函数在点在点 0 x)(xfy ,)()( 00 存在与xfxf 且且 )( 0 xf. )( 0 xf 可导的可导的充分必要条件充分必要条件 是是 )( 0 x f 存在存在 )( 0 xf)( 0 xf 2 sin10 ( ) 0 xx f x xx 求：的左导数和右导数 二、二、 导

14、数的几何意义导数的几何意义 曲线曲线)(xfy 在点在点),( 00 yx的切线斜率为的切线斜率为 )(tan 0 x f 若若 ,)( 0 x f切线与切线与 x 轴垂直轴垂直 . 曲线在点曲线在点处的处的),( 00 yx 切线方程切线方程:)( 000 xxxfyy 法线方程法线方程: )( )( 1 0 0 0 xx xf yy )0)( 0 x f ,)( 0 时 x f x y O )(xfy C T 0 x M 0 lim x y x 00 ( )(,()f xxf xx曲线在的切线存在，也不垂直与 轴； 几何意义：几何意义： 2021-5-28 三、四则运算求导法则 定理定理1

15、. 的和、 差、 积、 商 (除分母 为 0的点外) 都在点 x 可导, 且 可导都在点及函数xxvvxuu)()( )()(xvxu及 )()( )()() 1 (xvxuxvxu )()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu )( )()()()( )( )( )3( 2 xv xvxuxvxu xv xu )0)(xv 2021-5-28 ) (cscx xsin 1 x 2 sin )(sinx x 2 sin 例. 求证求证,sec)(tan 2 xx 证证: .cotcsc)(cscxxx x x x cos sin )(tan x 2 cos xx cos)(sin)

16、(cossinxx x 2 cos x 2 cosx 2 sin x 2 sec xcos xxcotcsc 类似可证:,csc)(cot 2 xx.tansec)(secxxx 2021-5-28 四、反函数的求导法则 ) arcsin(x 2 1 1 x ) arccos(x 2 1 1 x ) arctan(x 2 1 1 x ) cotarc(x 2 1 1 x 2021-5-28 在点 x 可导, 五、复合函数求导法则 定理定理3.( )ug x)(ufy 在点 )(xgu 可导复合函数 fy ( )g x且在点 x 可导, d ( )( ) d y f u g x x 或， xux

17、 uyy dx du du dy dx dy 2021-5-28 例如,)(, )(, )(xvvuufy x y d d )()()(xvuf y u v x u y d d v u d d x v d d 关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导. 推广：此法则可推广到多个中间变量的情形此法则可推广到多个中间变量的情形. 2021-5-28 , )cos(eln x y 求 . d d x y 解解: x y d d )cos(e 1 x )sin(e( x x e )tan(ee xx 2021-5-28 六:隐函数的导数 若由方程 0),(yxF可确定 y 是 x 的函数 , 隐函

18、数求导法则隐函数求导法则:用复合函数求导法则；直接对方程两边用复合函数求导法则；直接对方程两边 求导求导. 函数为隐函数隐函数 （implicit function ）. 则称此 隐函数求导方法求导方法: 0),(yxF d ( , ( )0 d F x y x x 两边对 x 求导( 注意 y = y(x) ) (含导数 的方程) y 练习：练习： lncos2 xy eyxx y 求由下列方程所确定的隐函数的导数 ()ln2sin2 xy y eyxyyxx x 2sin2 ()ln2sin2 ln xy xy y xye y x yeyxyyxx xxx 2021-5-28 例. 求求

19、sin cos3(0) x yxx（） 的导数 . 解解: 两边取对数 , 化为隐式 lnsinlncos3yxx 两边对 x 求导 y y 1 coslncos3xx 1 sin( sin3 )3 cos3 xx x sin cos3(coslncos33sintan3 ) x yxxxxx 七:取对数的求导 六、由参数方程确定的函数的导数 若参数方程 )( )( ty tx 可确定一个 y 与 x 之间的函数 )(, )(tt可导, 且,0 )( )( 22 tt 则 0)( t 时, 有 x y d d x t t y d d d d t x t y d d 1 d d )( )( t

20、t 0)( t 时, 有 y x d d y t t x d d d d t y t x d d 1 d d )( )( t t (此时看成 x 是 y 的函数 ) 关系, 2021-5-28 二、微分运算法则二、微分运算法则 三、微分在近似计算中的应用三、微分在近似计算中的应用 第三节第三节 一、微分的概念及几何意义一、微分的概念及几何意义 函数的微分 2021-5-28 的微分微分, 定义定义2.7: 若函数若函数)(xfy 在点 的增量可表示为 0 x )()( 00 xfxxfy ( A 为不依赖于为不依赖于x 的常数的常数) 则称函数 )(xfy 而 称为xA在)(xf 0 x点记作

21、,dy即 dyA x )( xoxA 在点 0 x可微可微, 0 () lim0 x ox x 2021-5-28 定理 : 函数函数)(xfy 在点 可微的充要条件充要条件是 0 x )(xfy 在点 处可导, 0 x且, )( 0 xfA即 0 d()yfx dx 2021-5-28 1. .基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式 dc = 微分的基本公式及其运算法则微分的基本公式及其运算法则 0. dx = x - -1dx. dex =exdx.dax = axlnadx. .d 1 x x .d ln 1 x ax dsin x =cos xdx.dcos x = - - si

22、n xdx. dtan x = sec2 xdx. dcot x =- - csc2 xdx. dsec x = sec xtan xdx. dcsc x =- - csc xcot xdx. ln x dax dlog 2021-5-28 .d 1 1 2 x x .d 1 1 2 x x .d 1 1 2 x x .d 1 1 2 x x arcsin x d arccosx d arctan x d cot x darc 2021-5-28 三、其他未定式三、其他未定式 二、二、 型未定式型未定式 一、一、 型未定式型未定式 0 0 导数的应用导数的应用 洛必达法则 2021-5-28

23、一、 1) lim( )lim ( )0 xaxa f xg x ( ) 3) lim ( ) xa fx g x 存在 (或为 ) ( )( ) limlim ( )( ) xaxa f xfx g xg x 2)( )( ),f xg x与可导( )0g x 且 定理定理1 型未定式型未定式 0 0 (洛必达法则) 2021-5-28 二、 型未定式型未定式 1) lim( )lim( ) xaxa f xg x ( ) 3) lim ( ) xa fx g x 存在 (或为) ( ) lim ( ) xa f x g x 定理定理 2. ( ) lim ( ) xa fx g x (洛必

24、达法则) 2)( )( ),f xg x与可导 ( )0g x且 2021-5-28 用洛必达法则应注意的事项用洛必达法则应注意的事项 , 0 0 )1(才可能用法则才可能用法则的未定式的未定式或或只有只有 , 0 0 或或 只要是只要是 则可一直用下去则可一直用下去; ; (3) (3) 每用完一次法则每用完一次法则, ,要将式子整理化简要将式子整理化简; ; (5) (5) 为简化运算经常将法则与等价无穷小及极为简化运算经常将法则与等价无穷小及极 限的其它性质结合使用限的其它性质结合使用. . (2) (2) 在用法则之前在用法则之前, ,式子是否能先化简式子是否能先化简; ; (4) (

25、4) 运算过程中有非零极限因子，可先算出极限运算过程中有非零极限因子，可先算出极限; ; 2021-5-28 三、其他未定式:,0 , ,00,1 型 0 解决方法解决方法: 通分 转化转化 0 0 0 取倒数 转化转化 0 0 1 0 取对数 转化转化 例例. 求).0(lnlim 0 nxx n x 型0 解解: 原式 n xx x ln lim 0 1 1 0 lim n x xxn 0)(lim 0 n x n x 洛洛 2021-5-28 型型 00 ,1 ,0. 3 ln0 1ln 0ln0 1 0 0 0 取对数取对数 .0 通过通过 )(ln)()( )( xfxgxg exf

26、 将三种不定式转化为将三种不定式转化为0.型。型。 例例 解解 .lim 0 x x x 求求 )0( 0 xx x e ln 0 lim 原式原式 xx x e lnlim 0 2 0 1 1 lim x x x e 0 e . 1 x x x e 1 ln lim 0 2021-5-28 练习练习 解解 .)(cotlim ln 1 0 x x x 求求)( 0 ,)(cot )ln(cot ln 1 ln 1 x xx ex 取对数得取对数得 )ln(cot ln 1 lim 0 x x x x xx x1 sin 1 cot 1 lim 2 0 xx x xsincos lim 0 ,

27、 1 . 1 e原式原式 2021-5-28 第三节第三节 函数的单调性函数的单调性 与极值与极值 一、单调性的判别法 二、函数的极值及其求法 2021-5-28 确定某个函数单调性的一般步骤是确定某个函数单调性的一般步骤是： （1）确定函数的定义域确定函数的定义域。 ）不不存存在在的的点点，并并（和和）（）求求出出使使（xfxf 02 这些点为分界点，将定义域分为若干个区间这些点为分界点，将定义域分为若干个区间。 （3）确定）确定)(x f 在各个子区间内的符号，从而判断在各个子区间内的符号，从而判断 ）的的单单调调性性。（出出xf 2021-5-28 定理 1 (极值第一判别法) ,)(

28、0 的某邻域内连续在设函数xxf且在空心邻域 内有导数, 0时 由小到大通过当xx (1) )(x f “左左正正右右负负” , ;)( 0 取极小值在则xxf(2) )(x f “左左负负右右正正” , .)( 0 取极大值在则xxf 0 ( )f xx则在处没有极值点(3) )(x f 的符号保持不变的符号保持不变, x y o 0 x x y o 0 x 2021-5-28 x y o 0 x 0 x 求极值的步骤求极值的步骤: : );()1(x f 求导数求导数 (2)( )0;fx求驻点，即方程的根 与不可导点； ;,)()3(判断极值点判断极值点在驻点左右的正负号在驻点左右的正负

29、号检查检查x f .)4(求极值求极值 ( (不是极值点情形不是极值点情形) ) x y o 定理定理4(4(第二充分条件第二充分条件) ) 证证)1( x xfxxf xf x )()( lim)( 00 0 0 , 0 异号，异号，与与故故xxfxxf )()( 00 时，时，当当0 x)()( 00 xfxxf 有有, 0 时，时，当当0 x)()( 00 xfxxf 有有, 0 所以所以，函数函数)(xf在在 0 x处取得极大值处取得极大值 同理可证 同理可证(2).(2). 第三章积分学第三章积分学 :原函数的概念原函数的概念; :不定积分的概念不定积分的概念; :会用换元积分法会用

30、换元积分法,分部积分法分部积分法; :定积分的概念定积分的概念,性质性质,几何意义几何意义; :微积分基本公式微积分基本公式; :定积分的换元积分法和分部积分法定积分的换元积分法和分部积分法; 2021-5-28 一、 原函数与不定积分的概念 定义定义3. 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x) 满足 )()(xfxF,d)()(dxxfxF或 在区间 I 上的一个原函数 . 则称 F (x) 为f (x) 存在原函数 . 上在则Ixf)( 定理定理 ,)(上连续在区间若函数Ixf 2021-5-28 定义3. 2. )(xf在区间 I 上的原函数全体称为Ixf在)

31、( 上的不定积分,d)(xxf 其中 若 , )()(xfxF 则 CxFxxf )(d)( C 为任意常数 ) C 称为积分常数积分常数, 不可丢不可丢 ! 记作 2021-5-28 (1) ( )d( )f xxf x d xxfd)(xxfd)( ( )( )fx dxf xC ( )( )df xfx dx ( )( )fx dxdf xd ( )( )f xf xC (2) dxxC 特别是： ( ) ( )f f x x 无论是先求导再积分；还是先积分后求导； 都参加了两种运算，而这两种运 都会被 算是互逆的； 两还原出来种运算互相抵消； 只 ； 积分要是加常数C （4） （3）

32、不定积分与导数的关系 2021-5-28 基基 本本 积积 分分 表表 kCkxkdx()1(是常数是常数); );1( 1 )2( 1 C x dxx ;|ln)3( Cx x dx dx x 2 1 1 )4(;arctanCx dx x 2 1 1 )5(;arcsinCx xdxcos)6(;sinCx 2021-5-28 xdxsin)7(;cosCx x dx 2 cos )8( xdx 2 sec;tanCx x dx 2 sin )9( xdx 2 csc;cotCx (10); xx e dxeC (11); (01) ln x x a a dxCaa a 且 不定积分不定积

33、分 掌握第一类,第二类换元法; 掌握分部积分法 2021-5-28 dxxxf)()( CxF duuf xu )( )( )( 第一类换元公式第一类换元公式（凑微分法） 说明：使用此公式的目的在于化难为易 CxFCuF duufdxxxf xu )()( )()()( )( 定理定理1 1 难难 易易 换元公式 可导，则有，具有原函数设)()()(xuuFuf 2021-5-28 常用的几种配元形式: 1)()df axbx ()f axb )(dbxa a 1 1 2)()d nn f xxx )( n xf n xd n 1 3)(sin )cos dfxx x )(sin xfxsin

34、d 4)(cos )sin dfxx x )(cosxfxcosd 2021-5-28 5)(e )e d(e )de xxxx fxf 1 6)(ln ) d(ln )dlnfxxfxx x 例 求求. )ln21 ( d xx x xln21 xlnd 解解: 原式 = xln212 1 )ln21 (dx Cx ln21ln 2 1 2021-5-28 设设 )(tx 是是单单调调、可可导导函函数数，且且 0)( t )(,)()()( 1 xtctFdtttf 又又设设 )()(ttf 具具有有原原函函数数，即即 定理定理2 2 .)()( 1 cxFdxxf 则则 注：注：1）保证代

35、换）保证代换x= (t)的单调连续（有反函数）；的单调连续（有反函数）； 第二类积分换元公式第二类积分换元公式 )( 1 )()()()2 xt dtttfdxxf 代换代换 x= (t)，一起换。，一起换。代回原变量 2021-5-28 小结: 1. 第二类换元法常见类型第二类换元法常见类型: ,d),() 1 xbaxxf n 令 n bxat ,d),()2 xxf n dxc bxa 令 n dxc bxa t ,d),()3 22 xxaxf令 taxsin ,d),()4 22 xxaxf令taxtan ,d),()5 22 xaxxf令taxsec 2021-5-28 (16)t

36、an dxx xxdcot)17( Cx cosln Cx sinln 2. 常用基本积分公式的补充常用基本积分公式的补充 7) 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换倒代换 ,d)()6 xaf x 令 x at 2021-5-28 x xa d 1 )20( 22 x xa d 1 )22( 22 x ax d 1 )23( 22 x ax d 1 )21( 22 C a x a arctan 1 C ax ax a ln 2 1 C a x arcsin Caxx)ln( 22 x ax d 1 )24( 22 Caxx 22 ln 2021-5-28 分部积分公式分部积分公式 xvuuv

37、xvudd uvvuvudd 分部积分法 “ 反对幂指三反对幂指三” b a dxxf)( 0 1 lim( ) n ii i fx ）据定积分的定义，在）据定积分的定义，在a，b上连续非负函数的定积上连续非负函数的定积 分总表示由分总表示由y=f(x)，x=a，x=b与与x轴围成的单曲边梯形的轴围成的单曲边梯形的 面积，即面积，即 b a dxxf )( 的几何意义是由的几何意义是由y=f(x)，x=a，x=b与与x轴围成区域的轴围成区域的 代数面积代数面积 ） 定积分是一个数，定积分是一个数， 不定积分是一个函数的原函数的全体不定积分是一个函数的原函数的全体 因此，定积分和不定积分是两个完全不同的概念因此，定积分和不定积分是两个完全不同的概念 定积分存在定理定积分存在定理 定理定理3.4 上连续在函数,)(baxf .,)(可积在baxf 定理定理3.5 ,)(上有界在函数baxf且只有有限个间断点 (证明略) .,)(可积在baxf ( ),( ),f xa bf xa b在上可积 则在上连续 定积分的性质(设所列定积分都存在) a b b a xxfxxfd)(d)(. 1 0d)( a a xxf 2.d b a xba xxg b a d)( xxf