计算机控制原理之离散控制理论

1、计算机控制原理之离散控制理论1 补充内容补充内容3 3 离散控制系统的理论基础离散控制系统的理论基础 计算机控制原理之离散控制理论2 离散系统与连续系统：既有本质的不同，又有分析离散系统与连续系统：既有本质的不同，又有分析 研究方面的相似性。研究方面的相似性。 主要讨论：离散系统的分析主要讨论：离散系统的分析 建立信号采样和保持的数学描述建立信号采样和保持的数学描述 z 变换理论和脉冲传递函数变换理论和脉冲传递函数 线性离散系统稳定性和性能的分析与校正方法线性离散系统稳定性和性能的分析与校正方法 计算机控制原理之离散控制理论 1 1 采样系统的基本概念采样系统的基本概念 2 2 信号的采样和复

2、现的数学描述信号的采样和复现的数学描述 3 3 差分方程差分方程 3 z3 z变换理论变换理论 4 4 脉冲传递函数脉冲传递函数 5 5 采样系统的稳定性与稳态误差采样系统的稳定性与稳态误差 目录目录 计算机控制原理之离散控制理论 1 1 采样系统的基本概念采样系统的基本概念 如果控制系统中的所有信号都是时间变量的连如果控制系统中的所有信号都是时间变量的连 续函数续函数,则这样的系统称为连续时间系统则这样的系统称为连续时间系统 （continuous time system),简称连续系统简称连续系统;如果如果 控制系统中有一处或几处信号是控制系统中有一处或几处信号是脉冲序列或数码脉冲序列或数

3、码, , 则这样的系统称为离散系统则这样的系统称为离散系统( (discrete time system).). 通常通常,把系统中的离散信号是脉冲序列形式的离散把系统中的离散信号是脉冲序列形式的离散 系统系统,称为采样控制系统称为采样控制系统;而把数字序列而把数字序列(数码数码)形式的离形式的离 散系统散系统,称为数字控制系统称为数字控制系统(digital control system)或或 计算机控制系统计算机控制系统(computer control system). 计算机控制原理之离散控制理论 1.1 1.1 采样控制系统（采样控制系统（Sampled-Data Control S

4、ystem)Sampled-Data Control System) 炉温采样控制系统原理图 计算机控制原理之离散控制理论 t e(t) 0 图图1-1 1-1 信号的采样信号的采样 采样系统是对连续系统的信号在某些规定的时采样系统是对连续系统的信号在某些规定的时 间上取值间上取值,成为断续形式的脉冲信号成为断续形式的脉冲信号,而相邻两个脉而相邻两个脉 冲之间是没有信号值的冲之间是没有信号值的,如图如图1-1所示所示. t e*(t) 0 TT2 计算机控制原理之离散控制理论 采样又可分为周期采样和非周期采样采样又可分为周期采样和非周期采样(随机采样随机采样)。本本 章仅讨论周期采样章仅讨论周

5、期采样,且如果系统中有几个采样器且如果系统中有几个采样器,则它们则它们 应该是同步等周期的应该是同步等周期的。 为了实现两种信号的转换为了实现两种信号的转换,在连续信号和脉冲序列之在连续信号和脉冲序列之 间要用采样器间要用采样器(sampler),而在脉冲序列和连续信号之间而在脉冲序列和连续信号之间 要用保持器要用保持器(hold).采样器和保持器采样器和保持器,是采样控制系统中两是采样控制系统中两 个特殊环节个特殊环节. 信号采样和复现信号采样和复现 在采样控制系统中在采样控制系统中,把连续信号转变为脉冲序列的把连续信号转变为脉冲序列的 过程过程,称为采样过程称为采样过程,简称采样简称采样.

6、实现采样的装置称为采实现采样的装置称为采 样器样器,或称采样开关或称采样开关,如图如图1-2所示所示. 计算机控制原理之离散控制理论 t e(t) 0 图图1-2 1-2 采样过程采样过程 t T 0 T2T3T e*(t) 秒 弧度 或 秒 次 采样频率 传输时间采样时间 采样周期 TT f T ss 21 : )(- - - - period) sampling(- - - - (1-1)(1-1) e(t) T e*(t) S 开关闭合开关闭合 开关打开开关打开 nTt nTt 计算机控制原理之离散控制理论 在采样控制系统中在采样控制系统中,把脉冲序列转变为连续信号的过程把脉冲序列转变为

7、连续信号的过程, 称为信号复现过程称为信号复现过程.实现复现过程的装置称为保持器实现复现过程的装置称为保持器,如图如图1- 3所示所示。 保持器的作用有保持器的作用有: 实现两种信号之间的转换实现两种信号之间的转换; 对脉冲信号进行复现滤波对脉冲信号进行复现滤波,避免高频噪声加入到系统避免高频噪声加入到系统 的连续部分中去的连续部分中去. e*(t) t 0 TT2 eh(t) t 0 TT2 保持器保持器 图图1-3 1-3 复现过程复现过程 计算机控制原理之离散控制理论 采样系统的典型结构图采样系统的典型结构图 根据采样器在系统中所处的位置不同根据采样器在系统中所处的位置不同,可以构成各种

8、采样系统可以构成各种采样系统.如果采如果采 样器位于系统闭合回路之外样器位于系统闭合回路之外,或者系统本身不存在闭合回路或者系统本身不存在闭合回路,则称为开环采则称为开环采 样系统样系统;如果采样器位于系统闭合回路之内如果采样器位于系统闭合回路之内,则称为闭环采样系统则称为闭环采样系统.在各种采在各种采 样控制系统中样控制系统中,用得最多的是误差采样控制的闭环采样系统用得最多的是误差采样控制的闭环采样系统,如图如图1-4所示所示. Gp(s) H(s) r(t) + - c(t)( * te S T Gh(s) )(te)(teh b(t) 图图1-4 1-4 采样系统典型结构图采样系统典型结

9、构图 0 )(te t )( * te 0t0 )(teh t 计算机控制原理之离散控制理论 由图由图1-4可见可见,采样开关采样开关 S 的输出的输出 的幅值的幅值,与其与其 输入输入 的幅值之间存在线性关系的幅值之间存在线性关系。当采样开关和系当采样开关和系 统其余部分的传递函数都具有线性特性时统其余部分的传递函数都具有线性特性时,这样的系统这样的系统 就称为线性采样系统就称为线性采样系统. )(te )(te 计算机控制原理之离散控制理论 1.2 1.2 数字控制系统数字控制系统(digital control system)(digital control system) 图图1-5

10、1-5 小口径高炮高精度数字伺服系统小口径高炮高精度数字伺服系统 计算机控制原理之离散控制理论 数字控制系统是一种以数字计算机为控制器去控制具有连数字控制系统是一种以数字计算机为控制器去控制具有连 续工作状态的被控对象的闭环系统续工作状态的被控对象的闭环系统.包括：包括： 数字计算机（离散）；被控对象（数字计算机（离散）；被控对象（controlled plant） （连续）（连续） 计算机作为系统的控制器（计算机作为系统的控制器（controller）,其输入输出只能其输入输出只能 是二进制编码的数字信号是二进制编码的数字信号,即在时间上和幅值上都离散的信号即在时间上和幅值上都离散的信号,

11、而系统中被控对象和测量元件的输入输出是连续信号而系统中被控对象和测量元件的输入输出是连续信号,所以在计所以在计 算机控制系统中算机控制系统中,需要需要A/D和和D/A转换器转换器,以实现两种信号的转换以实现两种信号的转换. 计算机控制系统的典型原理图如图计算机控制系统的典型原理图如图1-6所示所示。 系统类型：系统类型： 采样系统采样系统 时间离散，数值连续时间离散，数值连续 数字系统数字系统 时间离散，数值离散时间离散，数值离散 计算机控制原理之离散控制理论 数字控制器数字控制器 被控对象被控对象 数字计算机数字计算机 测量元件测量元件 A/DD/A - )( * te)( * tu)(tu

12、h )(te)(tr)(tc 图图1-6 1-6 计算机控制系统典型原理图计算机控制系统典型原理图 A/DA/D：模数转换器，将连续的模拟信号转换为离散的数字信号。：模数转换器，将连续的模拟信号转换为离散的数字信号。 包括采样包括采样、量化量化与编码与编码三个三个过程。过程。 D/AD/A：数模转换器，将离散的数字信号转换为连续的模拟信数模转换器，将离散的数字信号转换为连续的模拟信 号。包括解码与复现两过程。号。包括解码与复现两过程。 计算机控制原理之离散控制理论 1.3 数字控制系统的典型结构图数字控制系统的典型结构图 通常通常,假定所选择的假定所选择的 A/D 转换器有足够的字长来表示数码

13、转换器有足够的字长来表示数码, 量化单位量化单位 q 足够小足够小,所以由量化引起的幅值断续性可以忽略所以由量化引起的幅值断续性可以忽略. 此外还假定此外还假定,采样编码过程是瞬间完成的采样编码过程是瞬间完成的,可用理想脉冲的幅可用理想脉冲的幅 值等效代替数字信号的大小值等效代替数字信号的大小,则则 A/D 转换器可以用周期为转换器可以用周期为 T 的理想开关来代替的理想开关来代替。同理同理, D/A转换器可以用保持器来替代转换器可以用保持器来替代, 其传递函数为其传递函数为 Gh(s)。图。图1-6中的中的数字控制数字控制器实质上是一个数器实质上是一个数 字校正装置字校正装置, ,在结构图中

14、可以等效为一个传递函数为在结构图中可以等效为一个传递函数为 G Gc(c(s s) ) 的脉冲控制器和一个周期为的脉冲控制器和一个周期为 T T 的理想采样开关的理想采样开关 S S 相串联相串联. . 则图则图1-61-6的等效采样系统结构图如图的等效采样系统结构图如图1-91-9所示所示. .实际上实际上, ,图图1-91-9 也是数字控制系统的常见典型结构图也是数字控制系统的常见典型结构图. . 计算机控制原理之离散控制理论 图图1-9 1-9 数字控制系统典型结构图数字控制系统典型结构图 Gc(s)Gp(s) H(s) Gh(s) - )( * te )( * tu )(tuh )(t

15、e)(tr)(tc)(tu b(t) S S 计算机控制原理之离散控制理论 1.4 1.4 离散控制系统的特点离散控制系统的特点 由数字计算机构成的数字校正装置由数字计算机构成的数字校正装置,效果比连续式校正装置好效果比连续式校正装置好,且由且由 软件实现的控制规律易于改变软件实现的控制规律易于改变,控制灵活控制灵活. 采样信号采样信号,特别是数字信号的传递可以有效地抑制噪声特别是数字信号的传递可以有效地抑制噪声,从而提高了从而提高了 系统的抗干扰能力系统的抗干扰能力. 允许采用高灵敏度的控制元件允许采用高灵敏度的控制元件,以提高系统的控制精度以提高系统的控制精度. 可用一台计算机分时控制若干

16、个系统可用一台计算机分时控制若干个系统,经济性好经济性好. 对于具有传输延迟对于具有传输延迟,特别是大滞后的控制系统特别是大滞后的控制系统,可以引可以引入入采样的方式采样的方式 使其趋于稳定使其趋于稳定. 信号采样后，采样点之间的信息会丢失，而且采样保持器输 出后会有一定的延迟，所以，与连续系统相比，离散控制系 统的性能会有所下降，然而离散控制系统较之连续系统具有 以下优点： 计算机控制原理之离散控制理论 1.5 1.5 离散系统的研究方法离散系统的研究方法 线性连续控制系统线性连续控制系统线性离散控制系统线性离散控制系统 微分方程差分方程 拉普拉斯变换Z变换 传递函数脉冲传递函数 状态方程离

17、散状态方程 计算机控制原理之离散控制理论 第一节 差分方程 一、差分及差分方程的概念 1.什么是差分？ 设一连续函数y=f（t）在以t为步长的采样点有值，在 其定义域（a，b）上有界 步长 n ba t n采样次数 tt+t f（t）f（t+t） f（t+t）- f（t）称为函数y=f（t）在t处的差分， 也叫一阶差分 b y t att+tt-t 计算机控制原理之离散控制理论 一阶差分 y=f(t) -f(t-t) y=f(t+t)- f(t) y=f(t+t) -f(t-t) /2 前项差分 后项差分 中心差分 2.差商 称为y(t)在t处的差商，也也称为一阶差商 t y 3.高阶差分 如

18、果y=f(t+t)- f(t)是t的函数，则y的差分为 (y)称为二阶差分，可表示为2y 计算机控制原理之离散控制理论 常用的二阶差分 前项二阶差分 (y(t)=y(t+t)-y(t) 取前项 = y(t+2t)- y(t+t)-y(t+t)-y(t) 取前项 =y(t+2t)- 2y(t +t)+ y(t) 后项二阶差分 (y(t)=y(t+t)-y(t) 取前项 = y(t+t)-y(t)-y(t)- y(t-t) 取后项 =y(t+t)- 2 y(t) + y(t -t) 计算机控制原理之离散控制理论 同理可以求出K阶差分（前项） ky(t)=k-1y(t+t)- k-1y(t) 4.差

19、分方程 含有t，y(t)，y(t)，的方程表达式 F（ t，y(t)，y(t)， ky(t)）=0 称为未知函数y(t)的差分方程 y(t)，y(t)， ，ky(t)为一阶，二阶， k阶差分 另一种定义差分的方法 计算机控制原理之离散控制理论 对于一个单输入单输出的线性离散系统，设输入脉冲序列 u(kT)表示，输出脉冲序列用y(kT)表示。为了简化省略采样周 期T。 在某一采样时刻y(k)除了以这一时刻的输入值u(k)有关，还与 过去采样时刻的输入u(k-1), u(k-2),有关，也与此时刻以前 的输出y(k-1)， y(k-2) 有关，最常用的描述形式是： y(k)+a1 y(k-1)+a

20、2 y(k-2)+ + any(k-n)=b0u(k)+b1u(k- 1)+b2u(k-2)+bmu(k-m) 这就是n阶线性常系数差分方程 写出递推形式 y(k)=u(k)+b1u(k-1)+b2u(k-2)+bmu(k-m)-a1 y(k-1)-a2 y(k-2)- -any(k-n)= 上式特别适用于计算机控制 m 0i n 1j ji jkyaikub)()( 计算机控制原理之离散控制理论 例：y(k)-5y(k-1)+6y(k-2)=u(k) 其中u(k)=I(k)=1 (k0) 初始条件：y(0)=0 y(1)=1 解：写出递推形式 y(k)=5y(k-1)-6y(k-2)+u(k

21、) 用迭代法： y(0)=0 y(1)=1 Y(2)= 5y(1)-6y(0)+u(2)=6 Y(3)= 5y(2)-6y(1)+u(3)=25 输出序列的每一项 计算机控制原理之离散控制理论 物理概念： 如果响应过程不存在动态滞后，则y(k)完全取决于u(k)，此 时y(k)=b0u(k)就是比例环节。 如果响应过程存在动态滞后，则y(k)也与它过去的值y(k-1), y(k-2),y(k-n)有关。 计算机控制原理之离散控制理论 二、由系统的微分方程建立差分方程 设系统为一阶惯性环节 1sT K sU sY sW I )( )( )( 离散化 写出相应的微分方程 ) t (Ku) t (y

22、) t (y dt d T K) s (U 1sT)s (Y 1 1 计算机控制原理之离散控制理论 T:采样周期 n：采样序列 求出y(nT)和u(nT)之间的关系式 u(nT)y(nT) T T1nynTy t y dt dy nTutu nTyty 210nnTt )()( )()( )()( , )()( )()( nTKunTy T nTyT1ny T1 )()( )()( nTKunTy T nTyT1ny T1 计算机控制原理之离散控制理论 结论：差分方程的求解比较容易，较之微分方程要简捷 的多，完全可以采用递推公式求解。 问题：要想得到差分方程的解析解，就必须借助于Z变 换。 计

23、算机控制原理之离散控制理论 第二节 Z变换 一、 Z变换的定义 对连续信号x (t)进行周期为T的采样，可以得到采样信号x* (t)，它是在采样时刻t = 0, T, 2T,，定义的，即 采样信号x *(t)亦可看做连续信号x(t）对脉冲系列的调制 对上式进行拉氏变换，可得到采样信号x*(t)的拉氏变换 计算机控制原理之离散控制理论 引入记号 z=eTs 由上式可定义一种新的变换 它称为采样信号x* (t)的z变换。 z变换的定义并不要求x* (t)一定是某连续信号的采样值，它可 以是一纯数字系列xi 。因此z变换的引出虽然是建立在拉氏 变换上的，但它不同于拉氏变换，它是面向离散系统的一种特

24、殊变换。 根据z变换的定义如果一个采样信号x*(t)的z变换可展开为 的形式，那么xo, x1, x2,就是该信号在t = 0, T, 2T,时刻的 值。 计算机控制原理之离散控制理论 二、Z传递函数 离散系统的输入脉冲序列为xi,输出脉冲序列为yi)，它们 的z变换分别为X (z) 和Y (z)。 当一个系统的连续传递函数G (s）已知时，则可通过下列步骤 得到它的Z传递函数。 它表征了离散系统对采样信号的输入输出传递性能。 计算机控制原理之离散控制理论 根据G（s）求出系统脉冲响应函数 确定系统脉冲响应函数在采样时刻t =iT的值gi 根据Z变换定义得到系统的Z传递函数 由此可见，如果一个

25、系统的Z传递函数可展开为 的形式，那么g0，g1，g2就是该系统的单位脉冲响应在t = 0, T, 2T,时刻的值。 为符号简洁起见，将连续传递函数为G（s）的系统所对应 的Z传递函数记为 计算机控制原理之离散控制理论 三、Z变换的性质 设f (t), g (t)为采样信号，它们的Z变换分别记为 则Z变换的主要性质有： (1）线性关系 (2）右移（延迟）定理 计算机控制原理之离散控制理论 （3）左移（超前）定理 (4）阻尼定理 （5）微分定理 （6）初值定理 计算机控制原理之离散控制理论 )(f （7）终值定理 （8）卷积定理 （9）非一一对应性 利用Z变换表查找Y(z)得原函数y(t)致使许

26、多可能的答案 之一 计算机控制原理之离散控制理论 四、采样保持系统的Z传递函数 计算机输出的采样数字信号x*( t)，在作用到被控对象G0(s)以 前，应首先通过D/ A转换还原为连续控制信号。这通常是由 零阶保持器来实现的，它的连续传递函数为 它的作用是将数字信号变换为阶梯信号。 计算机控制原理之离散控制理论 采样保持系统的Z传递函数定义为 它也可由 导出。根据Z变换的性质，不难将上式改写为便于计算的形式 计算机控制原理之离散控制理论 五、开环和闭环系统的Z传递函数 在分析采样系统的方框图中，常需求出不同环节组合后的Z 传递函数。与连续系统的情况略有区别，这儿必须注意采 样开关的位置。 计算

27、机控制原理之离散控制理论 计算机控制原理之离散控制理论 六、 Z传递函数的计算机实现 数字调节器具有传递函数D(z)（如图B-3所示），它可写成有理 式形式 此处m, n为正整数或零，如果bo0，则必须有ao0，以保证调 节器的物理可实现性。 a0u(k)+a1u(k-1)+a2u(k-2)+ + anu(k-n)= b0e(k)+b1e(k-1)+b2e(k-2)+bme(k-m) 计算机控制原理之离散控制理论 用数字计算机可以用不同的方式实现这一Z传递函数。 (1)直接数字实现 直接数字实现是对上述Z传递函数直接取Z反变换，得到 从而可得到现时控制量u(k)的计算式 这一计算式需要有m+n

28、个存储单元用以保留过去时刻的信息， 在每次计算后需要进行m+n次时延运算。为了减少所占存储和 时延运算数，可引入一中间函数C(z), 计算机控制原理之离散控制理论 显然存储数与时延运算数都减小到max(m, n)+ 1 (2）串接数字实现 每个环节Dk (z）的Z传递函数都为简单的一阶或二阶有 理分式形式 计算机控制原理之离散控制理论 (3)并行数字实现 每个环节Dk(z)的z传递函数为常数、纯时延或易于用直接方法 实现的简单的一阶二阶形式，控制量的计算可由它们给出的分 量求和而成 。 计算机控制原理之离散控制理论 az z kcosa az z a k k 补充 计算机控制原理之离散控制理论

29、 八、用Z变换求解差分方程 例1.一阶系统的差分方程为 y(k+1)-by(k)=u(k) 已知输入条件u(k)=ak,起始条件y(0)=0，求y(k) 解：对差分方程两边进行Z变换 Zy(k+1)-by(k)=Zu(k) zy(z)-zy(0)-by(z)=u(z) 由于u(k)=ak，查表u(z)=zak=z/z-a 起始条件u(0)=0，所以方程 )bz)(az( z )z(y az z )z(by)z(zy 计算机控制原理之离散控制理论 在对y(z)进行z反变换 ). 3 , 2 , 1 , 0k()ba ( ba 1 )k(y bz z az z ba 1 )z(y bz ab 1

30、az ba 1 )bz)(az( 1 z )z(y kk 计算机控制原理之离散控制理论 例2.用Z变换求下列差分方程 y(k+2)+3y(k+1)+2y(k)=0 已知起始条件y(0)=0,y(1)=1 求：y(k) 解：对方程两边求z变换 Zy(k+2)+3y(k+1)+2y(k)=Z0 z2y(z)-z2y(0)-zy(1)+3zy(z)-3zy(0)+2y(z)=0 (z2+3z+2) y(z)=z 2z z 1z z 2z3z z zy 2 )( ),()()()( 210k21ky kk 把输入0改为(t)作为家庭作业 计算机控制原理之离散控制理论 sT1 sT1 ) s (X )

31、s (Y ) s (G 2 1 dt dx T) t (x dt dy T) t (y ) s (X) sT1 () s (Y) sT1 ( sT1 sT1 ) s (X ) s (Y 1 22 12 2 1 两端求拉氏反变换 ：由解法 例3.已知一个系统的传递函数为 使用一阶差分近似法求它的差分方程和脉冲传递函数 计算机控制原理之离散控制理论 1 22 1 11 1 11 1 22 1122 12 z T T ) T T 1 ( z T T ) T T 1 ( )z(X )z(Y )z(G )z(Xz T T ) T T 1)(z(X)z(Yz T T ) T T 1)(z(Y Z ) 1k

32、(x T T ) T T 1)(k(x) 1k(y T T ) T T 1)(k(y T ) 1k(x)k(x T)k(x T ) 1k(y)k(y T)k(y 整理 变换两端求 近似差分法 计算机控制原理之离散控制理论 解法2.由近似公式 Tz)TT)(z (XTz)TT)(z (Y T)TT( z)z (XT)TT( z)z (Y ) z (X ) z (Y T)TT( z T)TT( z Tz 1z T1 Tz 1z T1 ) z (G sT1 sT1 ) s (G Tz 1z s 1 1 12 1 2 1122 22 11 2 1 2 1 代入 取反变换 ) 1k(x T T )k(x

33、) T T 1 () 1k(y T T )k(y) T T 1 ( ) 1k(xT)TT)(k(x) 1k(yT)k(y)TT( 1122 1122 结论一样 计算机控制原理之离散控制理论 例4.已知一个系统的微分方程为 uy dt dy RC dt yd LC 2 2 试用差分近似法求出它的脉冲传递函数 )k(uu )k(yy T ) 1k(y)k(y t y dt dy T )2k(y) 1k(y2)k(y t y dt yd 22 2 2 2 计算机控制原理之离散控制理论 212 2 2212 222 2 2 LCzz)RCTLC2()RCTLCT( T )z(U )z(Y )z(UT)z(YLCz)z(Yz)RCTLC2()z(Y)RCTLCT Z )k(u)2k(y T LC ) 1k(y T )RCTLC2( )k(y