【研究生入学考试考研数学】文登考研数学--线性代数--习题集及其答案 共（45页）

1、第一章 行列式一. 填空题1. 四阶行列式中带有负号且包含a12和a21的项为_.解. a12a21a33a44中行标的排列为1234, 逆序为0; 列标排列为2134, 逆序为1. 该项符号为“”, 所以答案为a12a21a33a44.2. 排列i1i2in可经_次对换后变为排列inin1i2i1.解. 排列i1i2in可经过1 + 2 + + (n1) = n(n1)/2 次对换后变成排列inin1i2i1.3. 在五阶行列式中=_.解. 15423的逆序为5, 23145的逆序为2, 所以该项的符号为“”.4. 在函数 中, x3的系数是_.解. x3的系数只要考察. 所以x3前的系数为

2、2.5. 设a, b为实数, 则当a = _, 且b = _时, .解. . 所以a = b = 0.6. 在n阶行列式d = |aij|中, 当i r1 (b) r r1 (c) r = r1 (d) r与r1的关系依c而定解. , 所以 又因为 , 于是 所以 . (c)是答案.9. 设a、b都是n阶非零矩阵, 且ab = 0, 则a和b的秩(a) 必有一个等于零 (b) 都小于n (c) 一个小于n, 一个等于n (d) 都等于n解. 若, 矛盾. 所以 . 同理. (b)是答案.三. 计算证明题1. 设, . 求: i. abba ii. a2b2 iii. btat解. , 2. 求

3、下列矩阵的逆矩阵i. ii. iii. iv. 解. i., ii. . 由矩阵分块求逆公式:得到: iii. . 由矩阵分块求逆公式: 所以 iv. 由矩阵分块求逆公式:得到: 3. 已知三阶矩阵a满足. 其中, , . 试求矩阵a.解. 由本题的条件知: 4. k取什么值时, 可逆, 并求其逆.解. 所以 5. 设a是n阶方阵, 且有自然数m, 使(e + a)m = 0, 则a可逆.解. 因为 所以 . 所以a可逆.6. 设b为可逆矩阵, a是与b同阶方阵, 且满足a2 + ab + b2 = 0, 证明a和a + b都是可逆矩阵.解. 因为, 所以. 因为b可逆, 所以所以 . 所以都

4、可逆.7. 若a, b都是n阶方阵, 且e + ab可逆, 则e + ba也可逆, 且 解. = =所以 .8. 设a, b都是n阶方阵, 已知|b| 0, ae可逆, 且(ae)1 = (be)t, 求证a可逆.解. 因为(ae)1 = (be)t, 所以(ae)(be)t = e所以 , 由 |b| 0 知存在. 所以 . 所以a可逆.9. 设a, b, a + b为n阶正交矩阵, 试证: (a + b)1 = a1 + b1.解. 因为a, b, a + b为正交矩阵, 所以所以 10. 设a, b都是n阶方阵, 试证明: .解. 因为 所以 因为 , 所以 11. 设a为主对角线元素均

5、为零的四阶实对称可逆矩阵, e为四阶单位矩阵 i. 试计算|e +ab|, 并指出a中元素满足什么条件时, e + ab可逆;ii. 当e + ab可逆时, 试证明(e + ab)1a为对称矩阵.解. i. , , 所以当 时, e + ab可逆.ii. 因为a, b为实对称矩阵, 所以为实对称矩阵, 所以(e + ab)1a为对称矩阵.12. 设, 求an.解. 使用数学归纳法. 假设 =则 = =所以 =13. a是n阶方阵, 满足am = e, 其中m是正整数, e为n阶单位矩阵. 今将a中n2个元素aij用其代数余子式aij代替, 得到的矩阵记为a0. 证明.解. 因为am = e,

6、所以, 所以a可逆. 所以 14. 设矩阵i. 证明: n 3时, (e为三阶单位矩阵)ii. 求a100.解. i. 所以 假设 则 =所以 ii. 15. 当时, a6 = e. 求a11.解. , 所以 因为 16. 已知a, b是n阶方阵, 且满足a2 = a, b2 = b, 与(ab)2 = a + b, 试证: ab = ba = 0.解. 因为(ab)2 = a + b, 所以 于是 , 所以 因为 a2 = a, b2 = b, 所以 2ab = 0, 所以.第三章 向量一. 填空题1. 设, 则k = _时, a1, a2, a3, a4线性相关.解. 考察行列式 = 13

7、k +5 = 0. 2. 设, 则t = _时, a1, a2, a3, a4线性相关.解. 考察行列式 . 所以对任何t, a1, a2, a3, a4线性相关. 3. 当k = _时, 向量b = (1, k, 5)能由向量 线性表示.解. 考察行列式 得k =8. 当k =8时, 三个向量的行列式为0, 于是线性相关. 显然线性无关, 所以可用线性表示.4. 已知, 则秩(a1, a2, a3, a4) = _.解. 将a1, a2, a3, a4表示成矩阵 . 所以 r (a1, a2, a3, a4) = 35. 设, 则秩(a) = _.解. 所以 r (a) = 3.6. 已知矩

8、阵a = ab, 则秩(a) = _.解. a = ab = 所以 r (a) = 1. 7. 已知向量, 且秩(a1, a2, a3, a4) = 2, 则t = _.解. a = (a1, a2, a3, a4) 所以当t = 7时, r (a) = 2.二. 单项选择题1. 设向量组a1, a2, a3线性无关, 则下列向量组线性相关的是(a) a1 + a2, a2 + a3, a3 + a1 (b) a1, a1 + a2, a1+ a2 + a3(c) a1a2, a2a3, a3a1 (d) a1 + a2, 2a2 + a3, 3a3 + a1解. 由 得 因为向量组a1, a

9、2, a3线性无关, 所以得关于的方程组 的系数行列式为 . 所以有非零解, 所以a1a2, a2a3, a3a1线性相关. (c)是答案.2. 设矩阵amn的秩为r(a) = m 0, 即 .5. 设a为n阶实对称矩阵, 证明: 秩(a) = n的充分必要条件为存在一个n阶实矩阵b, 使是正定矩阵.解. “充分性”(反证法)反设 , 则|a| = 0. 于是是a的特征值, 假设相应的特征向量为x, 即, 所以 . 所以 , 和是正定矩阵矛盾;“必要性”因为 , 所以a的特征值全不为0. 取 , 则, 它的特征值为全部为正, 所以是正定矩阵.考研数学复习时间安排表 考研数学的复习不像政治可以用

10、突击的形式来完成的，由于考察的是考生基础知识的掌握和运用解题能力，所以数学复习是绝对需要一步一步的积累、循序渐进地完全掌握的。根据多年的辅导经验，数学考研辅导专家认为数学的全程复习一般分为四个阶段是比较科学合理的。下面，就为2011年的考生具体来说一下这四个阶段的时间安排表以及复习应该注意的问题。 时间：3月中旬-7月中旬，约4个月 名称：基础阶段 内容：这一阶段的目标是通过对教材的复习理解大纲中要求的三基本基本概念、基本理论、基本方法。辅导专家提醒2011年的考生在这个阶段花大力气，花大时间把基础夯实是很值得的。在这个阶段，大家可以分为以下两轮来复习。 第一轮：3月中旬-6月中旬，约3个月时

11、间。这一阶段主要的焦点要集中在教材的身上。把教材好好地梳理，不仅仅是看，并且要做教材上的习题，认真地把教材做熟，把理论搞透。 第二轮复习：6月中旬到7月中旬，约1个月时间。这里建议大家找一本基础练习题，最好题量大一点的，比如口碑极好的李永乐的基础过关660题。考生这一阶段需要通过做基础过关660题强化加深对教材概念的理解。 此外，这个阶段要边做题边温习教材。除了要做题外，大家还要把教材迅速的再过一遍，过完教材上的内容就做一下660题相应部分的题目。 时间：7月中旬到10月底，约三个半月 名称：强化训练 内容：这一阶段的目标是通过做一本高质量的辅导材料把课本上的基础知识转化为自己的做题能力。 第

12、一轮：学习时间是7月中旬到9月底两个半月。第二轮：大概用一个月的时间也就是9月中旬到10底，把督导教材或一本比较全面地辅导教材再复习一遍。 时间：11月、12月 名称：巩固提高 内容：这一阶段的目标是通过钻研历年的真题和高质量的模拟题达到考研数学考高分的要求。建议考生们主要是针对真题和模拟题来训练，使自己有做题实战的感觉，找到做题的技巧和摸索出题特点，从而找到更好的“考试”的感觉。 时间：12月至考前 名称：冲刺阶段 内容：这一阶段的目标是保住自己在前几个阶段的成果，推荐给大家的资料是：最后冲刺的模拟考研试卷类，建议考生要做到： 1.要总结、思考，不要光做题。对上一阶段做的真题和模拟题进行总结(这里的总结主要包括理清基本的解题思路和对遗忘知识点的查漏补缺)。一味的做题，不总结是不能够把知识转化成数学能力沉淀下来的。用什么补缺呢？通过作模拟题对思路不清楚的题型进行专项训练。 2.要练习套题。