不等式证明放缩法

1、不等式的证明(放缩法)1设 x 0,y 0， A x y1xy,Bx1xy ，则 A,B 的大小关系是1yA. A BB.ABC.B D.2已知三角形的三边长分别为a,b,c，设Mb1b,Nc1c,Qab，1ab3456789则 M ,N 与 Q 的大小关系是A. M N Q B.MQC.QNMD.设不等的两个正数 a,b满足 a3 b3A. (1, ) B.11 设 A 210 210 111 设 S 1 12 13已知a,b,c 均为正数，求证：，求证：，求证：b2，则 a b 的取值范围是10设 Sn124(1,43)1210C.121112241,43D.(0,11，则A与1的大小关系

2、是1 ，则 S 的整数部分为10032cc2 ，求证：2b3 c3.12512 (2n 1)2n114223L所有的正整数 n都成立 .1Ln211.2nL (2n)2n (n 1) ，1.求证：不等式n(n 1)2Sn(n 1)2 对2简答：1B提示：Ax1xyxy1xy2D提示：由 a b c ，得1 1 ，abc3B提示：由条件得 a2abb2 ayxyB1xy1x1y1ab1c1111ababccb ，所以(ab)222a2 ab b2a b ，故ab1 .又 (a b)20，22可得 3(a2 ab b2)224(a2 ab b2) ，从而3(ab)24(a b) ，所以4a b ，

3、故 1 a3b 4 .34A 2 时，证： n 2log n(n 1)log n(n1)caac c cdddacb ab c cdcaddc即原式成立求证： log n(n log n (n 1)1)log n(n0, log n(n2logn(n 1) log n(n 1)log n n 22n 2 时, logn(n 1)logn(n 1) 11)1)abdda1 bclog n (n2 1)2例三、求证：112122132证：1n(n 1)11 n 1 n112122132n1122n反证法：例四、设a, b,求证：(1a)b, (1b)c, (1c) a, 不可能同时大于证：设 (1

4、a)b 1, (14b)c 1, (14c)则三式相乘： ab ,41c)a 64又 0 0 ， ab +bc + ca 0， abc 0 ，求证证：设 a 0, bc 0,则 b+ c = a 0ab + bc +ca = a(b + c)+ bc 0矛盾， 必有 a 0同理可证：b 0,c 0原式成立a, b, c 0四、 作业：证明下列不等式：2 a cb2 c1，又 a, b, c 0, n a c2acbn cb2 cnnabn1ccR*)nn c (求证：且c 0,n 3, nb,ba,2 c，2a2 +na +b2 =8设 0 a, b, c 0, y 0, a1y，求证： a

5、左边1212n1)1)log n (nb c,1n1中式1)1ab2 (alogn(n221bc1b)(b c)112n1)log2 nn 2ca2 (a2b) (bc)(nR ,n2nn2n2)7已知大于 1仿例四1 y 1 x9若 x, y 0 ，且 x + y 2 ，则 和 中至少有一个小于 2xy1 y 1 x反设2，2 x, y 0 ，可得 x + y 2 与 x + y 2 矛xy盾用放缩法证明不等式所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的 过程，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度” ，否则就不能同向传递了，此法既可以 单独用来证明不等式，也可以是

6、其他方法证题时的一个重要步骤。下面举例谈谈运用放 缩法证题的常见题型。一 . “添舍”放缩通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。例 1. 设 a， b 为不相等的两正数，且 a3 b3 a2 b2，求证 1 a b a2 abb2ab，又 ab0， 得 a b 1，又 ab 1（ab）2，而（ab）2ababab 1 （ab）2，即 3（a4 4 4 b） 2 ab，所以 ab 4 ，故有 1ab 4 。33例 2. 已知 a、 b、 c 不全为零，求证：a 2（a2b ）a 2ba b2，同理 b2 bc c2 b2c ，c2aca2ca2 。所以a2abb2b2bc

7、c2c2ac a2 3 （abc）分式放缩一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。例 3. 已知 a、 b、c 为三角形的三边，求证： 1cacba， abc a bb c ，abcacbc，abc所以ab b c acc a a b a b cbabcabc1，又 a，b， c 为三角形的边，故b+ca，则 b a c为真分数，则a 2a b c a b c同理 b 2ba c a b ccab2ca b c故bacabcacb2.综合得 1 a b b c a c acb2。三 . 裂项放缩

8、若欲证不等式含有与自然数n 有关的 n 项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。例 4. 已知 nN*，求 11证明：因为 1n2nnn 1)，则 11123，证毕。n(n 1)2立。n15.an(n2 1)nN1) 对所有正整数2an1 2n 都成立。证明：因为 n(n 1)n2 n ，所以 an又 n(n 1)n(n 1)223n n 1)n(n 1) ，n(n 1)22 n 1 2 n求证：所以 an122232n(n 1) 3 52 2 22n(n 21) ，综合知结论成四 . 公式放缩利用已知的公式或恒不等式，把欲证不等式变形后再放缩，可获简解。例 6.已知函数f(x)2x2x 11

9、 ，证明：对于3 都有 f (n)n。n1证明：由题意知f (n)nn12n 12n 1nn1(1 2n2 1)(1n11)1n12n2n 12n (2n 1)(n 1)(2n 1)又因为 n3，所以只须证2n 2n1，又因为2n(1 1)n Cn0 Cn1 Cn2Cnn 1Cnn1 nn(n 1)2n12n 1 所以 f (n)n。n17.已知 f （x） 1 x 2 ，求证：当 ab 时 f （ a）f（b）f（ a）f（b）b2a2 b21 a21 b2b a b1 a2 1 b2b a bab(a b)a babb 证毕。五 . 换元放缩对于不等式的某个部分进行换元，可显露问题的本质，

10、然后随机进行放缩，可达解题目的。例 8. 已知 a1b c ，求证 10。证明：因为 a b c ，所以可设 a c t ， b c u(t u 0) ，所以 t u 0 则111a b b c c a1 1 1 1 1 t u t u u t u t tu1110 ，即 1 1 1 0 。a b b c c a例 9. 已知 a，b，c 为 ABC的三条边，且有 a22 2 *b2 c2 ，当 n N* 且 n 3时，求证nnn： a b c 。证明：由于 a2b2 c2 ，可设 a=csina ，b=ccosa(a 为锐角)，因为 0 sina 1，0 cosa 1 ，则当 n3时， si

11、nna sin2 a ， cosn a cos2 a ，所以 an bn cn (sin n a cosn a) cn(sin2a cos2 a) cn。六 . 单调函数放缩根据题目特征，通过构造特殊的单调函数，利用其单调性质进行放缩求解。例 10.已知 a，b R，求证ab1abab1a1bf(x1) f(x2 )x11 x1x21 x 2x1 x 2(1 x 1)(1 x 2)0 ，所以 f x1f x2 ，所以 f (x) 在0, 上是增函数，取 x1a b，x2 a b ，显然满足 0 x1x2所以 f (a b) f(|a| |b|)，即 |a b| |a| |b| |a|b|a|1

12、 |a b| 1 |a| |b| 1 |a| |b| 1 |a| |b| 1 |a| 1 |b|b| 。证毕。放缩法在不等式的应用所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的 过程，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度” ，否则就不能同向传递了，此法既可以 单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。证明数列型不等式， 因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而 综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题 的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入 剖

13、析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一 . “添舍”放缩通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。例 1. 设 a，b 为不相等的两正数，且 a3b3a2 b2，求证 1 a b a2 abb2ab，又 ab0， 得 a b 1，又 ab 1（ab）2，而（ab）2ababab 1 （ab）2，即 3（a4 4 4 b） 2 ab，所以 ab 4 ，故有 1ab3 （abc）2证明：因为a2abb2（a2b ）43b2（ab2 ）ab2 ab2 ， 同理 b2 bc c2b 2c， c2 ac a2c a2 。所以a2ab b2b2bcc2c2ac

14、a2 3 （abc）二 . 分式放缩一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。例 3. 已知 a、 b、c 为三角形的三边，求证： 1 a b c a ， b b ， b c a b c a c a b cbacabcacba b c1，又a bc abc abca，b， c 为三角形的边，故 b+c a，则b 2b ， a c a b c为真分数，则 a 2a ，同理 c b c a b cc 2c ， a b a b c故bacabcacba 2ba c 2b 2ca b ca b c2.综合

15、得1bac abcacb2。若欲证不等式含有与自然数三 . 裂项放缩n 有关的 n 项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。例 4. 已知 n N*，求 111232（ n n 1） ，则 1 1 112证明：因为 1 2 n n n n n 11n12( 2 1)2( 3 2 )2( n n 1) 2 n 11)化简得：an2an 1 2(1)n1an( 1)nan 1n12( 1)2,an 2( 1)n 3an 1n12( 1)23故数列 an n 2是以( 1)n 3a1 23为首项 , 公比为2 的等比数列 .故 an n( 1)n 32 ( 13)( 2)nan 322n 2 (1)

16、n数列 an 的通项公式为：an232n 2 ( 1)n.观察要证的不等式，左边很复杂，先要设法对左边的项进行适当的放缩，使之能够求和。而左边111L a4a5am23221 1 2311 L2m2 1( 1)m，如果我们把上式中的分母中的 1去掉，就可利用等比数列的前 n 项公式求和，由于 -1 与 1 交111111a4 a 5ama4a5a6所以对任意整数m4，有11a4a5117amam 1817。am82, an 12 anan 1, n N2)当 n 2且 n N ，有 an 1an an 1 a2a1 1成立。3)11220061a11a21。a20061111，2 2 123

17、1223，231111114 ，因此，可将 21 保留，再将后面的项两两组合后放缩，2422 12 3 124 123错出现，容易想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩，尝试知：即可求和。这里需要对m 进行分类讨论，1）当 m 为偶数 （ m 4） 时，11111111()()a4a5a ma4a5a6am 1am13111)(34m 2 )22 2 3241311)(1m4)22421372882）当 m 是奇数 （m4) 时， m1为偶数，本题的关键是并项后进行适当的放缩。2、 先求和再放缩例 3 （武汉市模拟）定义数列如下：证明：（ 1）对于 n N 恒有 an 1 an 成立。分析：（1）用数学归纳法易证。22)由 an 1 anan 1得：an 1 1 an (an 1)an 1 an 1( an 1 1)a2 1 a1 ( a1 1)以上各式两边分别相乘得：an 11ana n 1a2a1 (a11)，又